Fie A și B două mulțimi și o lege de corespondență f, care face ca fiecărui element x din A să îi corespundă un singur element y din B. Vom spune că am definit o funcție pe A cu valori în B.

Mulțimea A se numește domeniul de definiție al funcției, iar mulțimea B se numește codomeniu.

Notație:

$$\begin{gathered} f:A\to B \\ f\left(x\right)=y \end{gathered}$$

Pentru a defini o funcție, trebuie să cunoaștem:

• domeniul de definiție
• codomeniul (mulțimea în care ia valori funcția)
• legea de corespondență.

Legea de corespondență poate fi dată în trei moduri:

• printr-o formulă de calcul
• printr-un tabel de valori 
• printr-o diagramă.

Exemplu de funcție:

$f:\left\{0,1,2\right\}\to \left\{1,2,3\right\}, f\left(x\right)=x+1.$

Fie f : A→B o funcție. Imaginea funcției f (sau mulțimea valorilor funcției f ) este mulțimea:

                                                      $I{m}_f=\left\{f\left(x\right) \overline{) x\in A}\right\}$

Observație. Imaginea unei funcții se mai poate nota și astfel:

$I{m}_f=f\left(A\right)=\left\{ y\in B \overline{) \exists x\in A, a. î. y=f\left(x\right)} \right\}$

$I{m}_f\subset B$

Exemplu:

$$\begin{gathered} f:\left\{1,2\right\}\to \left\{0,3,6,9\right\}, f\left(x\right)=3x \\ \overline{)f\left(1\right)=3 \\ f\left(2\right)=6} \Rightarrow I{m}_f=\left\{f\left(1\right), f\left(2\right)\right\}=\left\{3,6\right\} \end{gathered}$$

Fie f : A→B o funcție. Mulțimea punctelor din plan având coordonatele (x, f(x)), unde x este un element din mulțimea A, va fi numită graficul funcției f.

                                        $G_f=\left\{ \left(x, f\left(x\right) \overline{) x\in A}\right) \right\}$

Un punct M(a,b) aparține graficului unei funcții dacă și numai dacă f(a)=b.

$\boxed{ M(a,b)\in G_f\iff f\left(a\right)=b }$

Fie f : A→B o funcție. Mulțimea punctelor din plan având coordonatele (x, f(x)), unde x este un element din mulțimea A, va fi numită graficul funcției f.

                                        $G_f=\left\{ \left(x, f\left(x\right) \overline{) x\in A}\right) \right\}$

Un punct M(a,b) aparține graficului unei funcții dacă și numai dacă f(a)=b.

$\boxed{ M(a,b)\in G_f\iff f\left(a\right)=b }$

O funcție 

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}$

se numește funcție liniară.

Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții liniare este o dreaptă.

Pentru a trasa acest grafic, este suficient să-i determinăm două puncte (dăm variabilei x două valori distincte).

Cazuri particulare:

• dacă a=0, se obține funcția f(x)= b, numită funcție constantă, pentru ca toate valorile ei sunt egale cu b. Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa absciselor, care trece prin punctul de coordonate (0,b).
• dacă b=0, se obține funcția f(x)= ax, al cărei grafic este o dreaptă care trece prin origine.
• dacă a=0 și b=0, se obține funcția f(x)= 0, al cărei grafic este axa Ox.

Când trasăm graficul unei funcții liniare f(x)=ax+b, uneori este mai util să găsim acele puncte care se află la intersecția dintre grafic și axele de coordonate.

• pentru a determina punctul de intersecție dintre graficul funcției și axa OY, punem condiția x=0 și apoi calculăm f(0). Punctul va avea coordonatele A(0; f(0)).
• pentru a găsi punctul de intersecție dintre graficul funcției și axa OX, punem condiția ca f(x)=0 și rezolvăm apoi această ecuație, determinând valoarea lui x. Soluția ecuației va fi x= -b/a. Astfel, punctul de intersecție va avea coordonatele B(-b/a; 0).

$$\begin{gathered} G_f\cap Oy=A\left(0; f\left(0\right)\right) \\ {G}_f\cap Ox=B\left(-\frac{b}{a}; 0\right). \end{gathered}$$

Graficul unei funcții de forma  f: I→R, f(x)=ax+b, (unde I este un interval) este un segment sau o semidreaptă.

• dacă intervalul este mărginit, atunci graficul este un segment
• dacă intervalul este nemărginit, atunci graficul este o semidreaptă.

Definiție. Fie A și B două submulțimi ale mulțimii numerelor reale. Funcția

$f:A\to B$

se numește funcție numerică (sau funcție reală de variabilă reală).

Exemple:

$$\begin{gathered} a) f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f(x)=x; \\ b) f:\left[1,2\right]\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=\frac{x}{2}; \end{gathered}$$

Contraexemplu: fie A mulțimea țărilor din Europa și B mulțimea capitalelor; funcția care asociază fiecărei țări, capitala corespunzătoare NU este o funcție numerică.

Definiție. Graficul funcției f este mulțimea de perechi:

$G_f=\left\{\left(x, f\left(x\right) \overline{) }x\in A\right)\right\}=\left\{(x,y) \overline{) }x\in A, y\in B\right\}\subseteq A\times B.$

Intersecția graficului funcției f cu axele de coordonate:

$$\begin{gathered} G_f\cap Ox=\left\{A(x,0) \overline{) }f\left(x\right)=0\right\} \\ {G}_f\cap Oy=\left\{B(0,y) \overline{) }y=f\left(0\right)\right\}. \end{gathered}$$

Observație:

$M(x,y)\in G_f\iff f\left(x\right)=y.$

Fie funcțiile:

$f:A\to \mathrm{ℝ}, g:B\to \mathrm{ℝ}, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

• Suma funcțiilor f și g este funcția:

$f+g:A\cap B\to \mathrm{ℝ}, (f+g)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right), \forall x\in A\cap B.$

• Produsul funcțiilor f și g este funcția:

$f·g:A\cap B\to \mathrm{ℝ}, (f·g)\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right), \forall x\in A\cap B.$

• Câtul dintre funcția f și funcția g este funcția:

$\frac{f}{g}:A\cap B-\left\{x \overline{) }g\left(x\right)=0 \right\}\to \mathrm{ℝ}, \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, \forall x\in A\cap B, g\left(x\right)\ne 0.$

• Produsul dintre un număr real și funcția f este funcția:

$\alpha f:A\to \mathrm{ℝ}, \left(\alpha f\right)\left(x\right)=\alpha f\left(x\right), \forall x\in A (\alpha \in \mathrm{ℝ}).$

Fie funcția:

$f:A\to B, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiție. Imaginea funcției f (sau mulțimea valorilor funcției f) este mulțimea:

$\mathrm{Im}f=f\left(A\right)=\left\{f\left(x\right) \overline{) }x\in A \right\}=\left\{y\in B \overline{) }\exists x\in A a. î. f\left(x\right)=y\right\}\subseteq B.$

Definiție. Funcția f este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este inclusă într-un interval de numere reale.

Funcția f este mărginită dacă:

$$\begin{gathered} \bullet \exists a, b\in \mathrm{ℝ} a. î. a\le f\left(x\right)\le b, \forall x\in A. \\ \bullet \exists a, b\in \mathrm{ℝ} a. î. Imf\subset \left[a,b\right] \\ \bullet \exists M>0 a. î. \left|f\left(x\right)\right|\le M, \forall x\in A. \end{gathered}$$

Observație. Dacă o funcție este mărginită, atunci graficul acesteia este cuprins între două drepte paralele cu axa Ox.

Fie funcția:

$f:A\to B, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiție. Imaginea funcției f (sau mulțimea valorilor funcției f) este mulțimea:

$\mathrm{Im}f=f\left(A\right)=\left\{f\left(x\right) \overline{) }x\in A \right\}=\left\{y\in B \overline{) }\exists x\in A a. î. f\left(x\right)=y\right\}\subseteq B.$

Definiție. Funcția f este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este inclusă într-un interval de numere reale.

Funcția f este mărginită dacă:

$$\begin{gathered} \bullet \exists a, b\in \mathrm{ℝ} a. î. a\le f\left(x\right)\le b, \forall x\in A. \\ \bullet \exists a, b\in \mathrm{ℝ} a. î. Imf\subset \left[a,b\right] \\ \bullet \exists M>0 a. î. \left|f\left(x\right)\right|\le M, \forall x\in A. \end{gathered}$$

Observație. Dacă o funcție este mărginită, atunci graficul acesteia este cuprins între două drepte paralele cu axa Ox.

Definiție. O mulțime A se numește mulțime simetrică dacă:

$\forall x\in A\Rightarrow -x\in A (A\subseteq \mathrm{ℝ}).$

Definiție.Fie f o funcție numerică și A o mulțime simetrică

$f:A\to R (A\subseteq \mathrm{ℝ}).$

Atunci:

• f se numește funcție pară dacă:

$f(-x)=f\left(x\right), \forall x\in A.$

• f se numește funcție impară dacă:

$f(-x)=-f\left(x\right), \forall x\in A.$

Observație. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy, iar graficul unei funcții impare este simetric față de originea O a reperului cartezian.

Fie funcția

$f:A\to R, A\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiție. Funcția f se numește funcție periodică dacă:

$\boxed{\exists T>0 a. î. \forall x\in A să avem: f(x+T)=f\left(x\right)}$

Numărul T se numește perioadă a funcției. Cea mai mică perioadă a funcției (dacă există) se numește perioadă principală. 

Proprietate. Dacă f este o funcție periodică având perioada T, atunci pentru

$\forall x\in A, \forall k\in \mathrm{\mathbb{Z}} a. î. (x+kT)\in A$

are loc relația:

$f(x+kT)=f\left(x\right).$

Observație. Reprezentarea grafică a unei funcții periodice se poate obține trasând graficul acesteia pe un interval de lungimea unei perioade T și apoi translatându-l la stânga și la dreapta de-a lungul axei Ox pe intervale de lungimea T.

Fie funcția

$f:A\to B, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiții: 

• Funcția f este crescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right).$

• Funcția f este strict crescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right).$

•  Funcția f este descrescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right).$

•  Funcția f este strict descrescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).$

• Funcția f este monotonă pe A dacă este crescătoare sau descrescătoare.

Modalități de a studia monotonia unei funcții:

$Fie f:A\to B, x_1, x_2\in A, x_1<x_2.$

1. Calculăm diferența $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ și o comparăm cu zero:

$$\begin{gathered} a) f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrow f strict crescătoare \\ b) f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\Rightarrow f strict descrescătoare. \end{gathered}$$

2. Studiem semnul raportului de mai jos, numit raport de variație a funcției:

$\boxed{R=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}} x_1, x_2\in A, x_1\ne x_2.$

$$\begin{gathered} a) R>0\Rightarrow f strict crescătoare \\ b) R<0\Rightarrow f strict descrescătoare. \end{gathered}$$

Fie funcția

$f:A\to B, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiții: 

• Funcția f este crescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right).$

• Funcția f este strict crescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right).$

•  Funcția f este descrescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right).$

•  Funcția f este strict descrescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).$

• Funcția f este monotonă pe A dacă este crescătoare sau descrescătoare.

Modalități de a studia monotonia unei funcții:

$Fie f:A\to B, x_1, x_2\in A, x_1<x_2.$

1. Calculăm diferența $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ și o comparăm cu zero:

$$\begin{gathered} a) f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrow f strict crescătoare \\ b) f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\Rightarrow f strict descrescătoare. \end{gathered}$$

2. Studiem semnul raportului de mai jos, numit raport de variație a funcției:

$\boxed{R=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}} x_1, x_2\in A, x_1\ne x_2.$

$$\begin{gathered} a) R>0\Rightarrow f strict crescătoare \\ b) R<0\Rightarrow f strict descrescătoare. \end{gathered}$$

Definiție. Fie funcțiile:

$f:A\to B, g:B\to C.$

Se numește compusa funcției g cu funcția f, funcția definită astfel:

$g\circ f:A\to C, (g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right), \forall x\in A.$

Observație. Compunerea funcției g cu funcția f se poate defini numai atunci când codomeniul lui f coincide sau este inclus în domeniul de definiție a lui g.

Proprietăți ale compunerii funcțiilor

1. Compunerea funcțiilor este asociativă:

$$\begin{gathered} f:A\to B, g:B\to C, h:C\to D \\ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f). \end{gathered}$$

2. Fie funcțiie:

$f:A\to B și 1_A:A\to A, 1_A\left(x\right)=x (\mathrm{funcția} \mathrm{identică} \mathrm{a} \mathrm{mulțimii} \mathrm{A}).$

Atunci:

$f\circ 1_A=f.$

Observație. Compunerea funcțiilor nu este comutativă.

Definiție. Fie funcțiile:

$f:A\to B, g:B\to C.$

Se numește compusa funcției g cu funcția f, funcția definită astfel:

$g\circ f:A\to C, (g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right), \forall x\in A.$

Observație. Compunerea funcției g cu funcția f se poate defini numai atunci când codomeniul lui f coincide sau este inclus în domeniul de definiție a lui g.

Proprietăți ale compunerii funcțiilor

1. Compunerea funcțiilor este asociativă:

$$\begin{gathered} f:A\to B, g:B\to C, h:C\to D \\ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f). \end{gathered}$$

2. Fie funcțiie:

$f:A\to B și 1_A:A\to A, 1_A\left(x\right)=x (\mathrm{funcția} \mathrm{identică} \mathrm{a} \mathrm{mulțimii} \mathrm{A}).$

Atunci:

$f\circ 1_A=f.$

Observație. Compunerea funcțiilor nu este comutativă.

Forma generală a funcției de gradul I este:

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, \boxed{f\left(x\right)=ax+b} a, b \in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Graficul funcției de gradul I:

Graficul funcției de gradul I este o dreaptă. 

•  Dacă domeniul de definiție este un interval mărginit, atunci graficul este un segment;
•  Dacă domeniul de definiție este un interval nemărginit, atunci graficul este o semidreaptă;

Pentru a reprezenta grafic funcția de gradul I, se atribuie lui x două valori arbitrare și se calculează valorile corespunzătoare ale funcției. O altă modalitate este de a determina punctele de intersecție dintre graficul funcției și axele de coordonate.

Intersecția graficului cu axele de coordonate:

$$\begin{gathered} {\mathit{G}}_{\mathbf{f}}\mathbf{\cap }\mathit{O}\mathit{x}\mathbf{:} \\ y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\Rightarrow ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}\Rightarrow A\left(-\frac{b}{a},0\right)\in Ox \\ {\mathit{G}}_{\mathbf{f}}\mathbf{\cap }\mathit{O}\mathit{y}\mathbf{:} \\ x=0; f\left(0\right)=b\Rightarrow B\left(0,b\right)\in Oy. \end{gathered}$$

Monotonia funcției de gradul I:

Semnul lui a stabilește monotonia funcției de gradul I, astfel:

• Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare.
• Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare.

Forma generală a funcției de gradul I este:

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, \boxed{f\left(x\right)=ax+b} a, b \in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Graficul funcției de gradul I:

Graficul funcției de gradul I este o dreaptă. 

•  Dacă domeniul de definiție este un interval mărginit, atunci graficul este un segment;
•  Dacă domeniul de definiție este un interval nemărginit, atunci graficul este o semidreaptă;

Pentru a reprezenta grafic funcția de gradul I, se atribuie lui x două valori arbitrare și se calculează valorile corespunzătoare ale funcției. O altă modalitate este de a determina punctele de intersecție dintre graficul funcției și axele de coordonate.

Intersecția graficului cu axele de coordonate:

$$\begin{gathered} {\mathit{G}}_{\mathbf{f}}\mathbf{\cap }\mathit{O}\mathit{x}\mathbf{:} \\ y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\Rightarrow ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}\Rightarrow A\left(-\frac{b}{a},0\right)\in Ox \\ {\mathit{G}}_{\mathbf{f}}\mathbf{\cap }\mathit{O}\mathit{y}\mathbf{:} \\ x=0; f\left(0\right)=b\Rightarrow B\left(0,b\right)\in Oy. \end{gathered}$$

Monotonia funcției de gradul I:

Semnul lui a stabilește monotonia funcției de gradul I, astfel:

• Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare.
• Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare.

Fie funcția

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a\ne 0.$

Ecuația atașată funcției este ax + b = 0, cu soluția:

$\boxed{x=-\frac{b}{a}}$

A stabili semnul funcției de gradul I înseamnă a găsi valorile lui x pentru care funcția este pozitivă, respectiv găsirea acelor valori ale lui x pentru care funcția este negativă. Semnul funcției de gradul I este dat de semnul coeficientului a, conform tabelului de mai jos: 

$\overline{)\frac{x}{f\left(x\right)}}\frac{-\infty -{\displaystyle \frac{b}{a}} +\infty }{ semn contrar lui a 0 semnul lui a }$

Fie funcția

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a\ne 0.$

Ecuația atașată funcției este ax + b = 0, cu soluția:

$\boxed{x=-\frac{b}{a}}$

A stabili semnul funcției de gradul I înseamnă a găsi valorile lui x pentru care funcția este pozitivă, respectiv găsirea acelor valori ale lui x pentru care funcția este negativă. Semnul funcției de gradul I este dat de semnul coeficientului a, conform tabelului de mai jos: 

$\overline{)\frac{x}{f\left(x\right)}}\frac{-\infty -{\displaystyle \frac{b}{a}} +\infty }{ semn contrar lui a 0 semnul lui a }$

Definiție. Funcția de gradul al doilea este funcția:

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c, a, b, c\in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Ecuația atașată funcției este:

$a{x}^2+bx+c=0.$

Rădăcinile reale (dacă există) ale ecuației atașate se numesc zerouri ale funcției.

Graficul funcției de gradul al doilea este o parabolă.

Fie funcția de gradul doi 

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c, a\ne 0$

• Dacă a > 0 atunci:

$$\begin{gathered} x_v=-\frac{b}{2a} este punct de minim; \\ {y}_V=-\frac{△}{4a} este valoarea minimă a funcției. \end{gathered}$$

• Dacă a < 0 atunci:

$$\begin{gathered} x_v=-\frac{b}{2a} este punct de maxim; \\ y_V=-\frac{△}{4a} este valoarea maximă a funcției. \end{gathered}$$

Observație. Punctul $V(x_V,y_V)$ se numește vârful parabolei.

Forma canonică a funcției de gradul al doilea este:

$f\left(x\right)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{△}{4a}.$

Funcția de gradul al doilea este o funcție de forma:

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c, a, b, c \in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Graficul funcției de gradul al doilea

Graficul funcției de gradul al doilea se numește parabolă. Vârful parabolei este punctul de coordonate

$V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{△}{4a}\right)\in G_f.$

Intersecția graficului cu axele de coordonate

$$\begin{gathered} 1. G_f\cap Ox: \\ f\left(x\right)=0 \\ a) △>0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}\Rightarrow A(x_1,0)\in Ox și B(x_2,0)\in Ox. \\ b)△>0\Rightarrow x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\Rightarrow A\left(-\frac{b}{2a},0\right)\in Ox \\ c)△<0\Rightarrow f(x)=0 nu are soluții reale\Rightarrow G_f\cap Ox=\varnothing . \end{gathered}$$

Observație. În cazul a) spunem că parabola intersectează axa Ox; în cazul b) spunem că parabola este tangentă axei Ox; în cazul c) spunem că parabola nu intersectează axa Ox.

$$\begin{gathered} 2. G_f\cap Oy: \\ x=0 \\ f\left(0\right)=m\Rightarrow M(0,m)\in Oy. \end{gathered}$$

Observație. Parabola întotdeauna intersectează axa Oy.

Concavitate, convexitate

Dacă a > 0 graficul este convex ( "ține apă"). 

Dacă a < 0 graficul este concav ( nu "ține apă"). 

Semnul funcției de gradul al doilea

A determina semnul funcției de gradul doi înseamnă a găsi valorile lui x pentru care funcția este pozitivă, precum și valorile lui x pentru care funcția este negativă.

Semnul funcției de gradul doi se stabilește în funcție de semnul discriminantului și semnul lui a, astfel:

$1. △>0\Rightarrow \exists x_1, x_2\in \mathrm{ℝ}, x_1<x_2$

Funcția f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini.

$2. △=0\Rightarrow \exists x_1, x_2\in \mathrm{ℝ}, x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

Funcția f are semnul lui a pe $\mathrm{ℝ}-\left\{-\frac{b}{2a}\right\}.$

$3. △<0\Rightarrow nu există rădăcini reale$

Funcția f are semnul lui a pe $\mathrm{ℝ}.$

Funcția de gradul al doilea este o funcție de forma:

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c, a, b, c \in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Graficul funcției de gradul al doilea

Graficul funcției de gradul al doilea se numește parabolă. Vârful parabolei este punctul de coordonate

$V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{△}{4a}\right)\in G_f.$

Intersecția graficului cu axele de coordonate

$$\begin{gathered} 1. G_f\cap Ox: \\ f\left(x\right)=0 \\ a) △>0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}\Rightarrow A(x_1,0)\in Ox și B(x_2,0)\in Ox. \\ b)△>0\Rightarrow x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\Rightarrow A\left(-\frac{b}{2a},0\right)\in Ox \\ c)△<0\Rightarrow f(x)=0 nu are soluții reale\Rightarrow G_f\cap Ox=\varnothing . \end{gathered}$$

Observație. În cazul a) spunem că parabola intersectează axa Ox; în cazul b) spunem că parabola este tangentă axei Ox; în cazul c) spunem că parabola nu intersectează axa Ox.

$$\begin{gathered} 2. G_f\cap Oy: \\ x=0 \\ f\left(0\right)=m\Rightarrow M(0,m)\in Oy. \end{gathered}$$

Observație. Parabola întotdeauna intersectează axa Oy.

Concavitate, convexitate

Dacă a > 0 graficul este convex ( "ține apă"). 

Dacă a < 0 graficul este concav ( nu "ține apă"). 

Semnul funcției de gradul al doilea

A determina semnul funcției de gradul doi înseamnă a găsi valorile lui x pentru care funcția este pozitivă, precum și valorile lui x pentru care funcția este negativă.

Semnul funcției de gradul doi se stabilește în funcție de semnul discriminantului și semnul lui a, astfel:

$1. △>0\Rightarrow \exists x_1, x_2\in \mathrm{ℝ}, x_1<x_2$

Funcția f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini.

$2. △=0\Rightarrow \exists x_1, x_2\in \mathrm{ℝ}, x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

Funcția f are semnul lui a pe $\mathrm{ℝ}-\left\{-\frac{b}{2a}\right\}.$

$3. △<0\Rightarrow nu există rădăcini reale$

Funcția f are semnul lui a pe $\mathrm{ℝ}.$

Definiție. O funcție

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x^n, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

se numește funcția putere cu exponent natural.

Proprietățile funcției putere cu exponent număr natural par (n = 2k):

• funcția este pară: f(-x) = f(x)
• funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0, +\infty )$
• graficul funcției trece prin punctele (-1,1), (0,0), (1,1).

Proprietățile funcției putere cu exponent număr natural impar (n = 2k+1):

• funcția este impară: f(-x) = - f(x)
• funcția este strict crescătoare pe lR.
• graficul funcției trece prin punctele (-1,-1), (0,0), (1,1).

Definiție. Funcția 

$f:[0,+\infty )\to [0,+\infty ) , f\left(x\right)=\sqrt[n]{x} (n este număr natural par)$

se numește funcția radical de ordin par.

Proprietățile funcției radical de ordin par:

• funcția este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$
• graficul trece prin punctele (0,0), (1,1)
• funcția este bijectivă, inversabilă, iar inversa ei este funcția 

$f^{-1}:[0,+\infty )\to [0,+\infty ), f^{-1}\left(x\right)=x^n (n este număr natural par)$

Definiție. Funcția 

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} , f\left(x\right)=\sqrt[n]{x} (n este număr natural impar)$

se numește funcția radical de ordin impar.

Proprietățile funcției radical de ordin impar:

• funcția este impară: f(-x) = - f(x)
• funcția este strict crescătoare pe |R
• graficul trece prin punctele (-1,-1), (0,0), (1,1)
• funcția este bijectivă, inversabilă, iar inversa ei este funcția putere cu exponent natural impar:

$f^{-1}:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f^{-1}\left(x\right)=x^n (n este număr natural impar)$

Definiție.  Funcția 

$f:\mathrm{ℝ}\to (0,+\infty ), f\left(x\right)=a^x, unde a>0, a\ne 1,$

se numește funcția exponențială de bază a.

Proprietățile funcției exponențiale:

• graficul funcției trece prin punctul de coordonate (0,1)
• dacă a>1 funcția este strict crescătoare, iar dacă 0<a<1 atunci funcția este strict descrescătoare
• funcția este bijectivă, inversabilă, iar inversa ei este funcția logaritmică

$f^{-1}:\left(0,+\infty \right)\to \mathrm{ℝ}, f^{-1}\left(x\right)={\log }_a\left(x\right) (unde a>0, a\ne 1).$

Definiție. Funcția 

$f:\left(0,+\infty \right)\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right), a>0, a\ne 1$

se numește funcție logaritmică de bază a.

Proprietățile funcției logaritmice:

• graficul trece prin punctul de coordonate (1,0)
• dacă 0<a<1, atunci funcția este strict descrescătoare, iar dacă a>1 funcția este strict crescătoare
• funcția este bijectivă, inversabilă, iar inversa ei este funcția exponențială

$f^{-1}:\mathrm{ℝ}\to \left(0,+\infty \right), f^{-1}\left(x\right)=a^x, a>0, a\ne 1.$

Definiții:

$O funcție f:A\to B este injectivă \iff \forall x_1, x_2\in A, x_1\ne x_{2 } \Rightarrow f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$ 

sau

$O funcție f:A\to B este injectivă \iff \forall x_1, x_2\in A cu f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1=x_2.$

Obs: 1) O funcție este injectivă dacă la argumente distincte le corespund imagini distincte.

         2) O funcție nu este injectivă dacă există argumente diferite cu aceeași imagine.

Alte modalități de a studia injectivitatea unei funcții:

• O funcție este injectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă prin punctele codomeniului, intersectează graficul funcției în cel mult un punct.
• O funcție este injectivă dacă pentru orice y din B, ecuația f(x) = y are cel mult o soluție în A.
• Dacă funcția f : A → B este strict monotonă pe A, atunci f este injectivă.

Definiție. 

$O funcție f:A\to B este surjectivă \iff \forall y\in B, \exists x\in A, astfel încât f\left(x\right)=y.$

Alte modalități de a studia surjectivitatea unei funcții:

• O funcție f: A → B este surjectivă dacă Imf = f(A) = B (imaginea funcției coincide cu codomeniul).
• O funcție este surjectivă dacă orice paralelă dusă la axa Ox prin punctele codomeniului, intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.
• O funcție f: A → B este surjectivă dacă pentru orice y din B, ecuația f(x)=y are cel puțin o soluție în A.

Definiție.

 O funcție f: A → B este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.

Obs: O funcție nu este bijectivă dacă nu este injectivă sau nu este surjectivă.

Alte modalități de a studia bijectivitatea unei funcții:

• O funcție este bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă prin punctele codomeniului, intersectează graficul funcției în exact un punct.
• O funcție f: A → B este bijectivă dacă pentru orice y din B, ecuația f(x) = y are o soluție unică în A.

Definiție. Fie f : A → B o funcție bijectivă. Inversa funcției f va fi funcția f ¯¹ : B → A care asociază fiecărui element y din B, elementul x din A, astfel încât f(x) = y.

$\boxed{f^{-1}:B\to A, f^{-1}\left(y\right)=x, unde y=f\left(x\right)}$

Obs: 1) O funcție f care are inversă se numește funcție inversabilă. Funcția f se numește funcția directă, iar f ¯¹ se numește funcția inversă.

         2) $f\circ f^{-1}=1_{B } și f^{-1}\circ f=1_A$

         3) Dacă f este funcție monotonă, atunci inversa ei are aceeași monotonie.

O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.