Graficul unei funcții

Până acum am întâlnit funcții definite pe mulțime finite, de exemplu f definită pe mulțimea formată din elementele 0, 1, 2, cu valori într-o altă mulțime, o notăm cu C mare de la codomeniu.

Însă domeniul de definiție al unei funcții poate fi și o mulțime infinită.

Dar în această secvență vom discuta despre graficul unei funcții când funcția e definită pe o mulțime finită și într-o altă secvență o să discutăm și despre alte situații.

Și ni se dă, funcția f definită pe această mulțime, avem elementele 1, 3, 6 cu valori în această mulțime f de x egal x minus 2.

Și vrem să vedem care este graficul funcției f.

Pentru început vrem să determinăm valorile funcției în aceste puncte.

Deci mulțimea de valori a funcției f și vom face un tabel de valori pentru că e mult mai ușor de urmărit.

Pe prima linie vom trece valorile lui x, iar pe a doua linie valorile funcției în numerele respective, adică avem aici f de x.

x poate fi 1, 3 și 6.

Aici ce vom avea? Păi dacă x este 1 sub el vom avea f de 1, aici vom avea f de 3 și aici vom avea f de 6.

Și să calculăm cât este f de 1.

Păi f de 1 ne dă 1 minus 2, să notăm, adică minus 1.

Și nu o să șterg aici, chiar o să las f de 1, o să scriem de desubt valoarea, deci minus 1.

F de 3.

Păi f de 3 ne dă 3 minus 2.

3 minus 2 adică 1.

Unde îl trecem? Aici f de 3 ne dă 1.

F de 6 este 6 minus 2, deja mă gândeam la rezultat, adică 4.

Venim și trecem aici 4.

Ei bine, în acest moment noi am găsit niște perechi de numere.

Și aceste perechi realizează corespundența între variabila x și variabila f de x.

Concret avem 1 și numărul corespunzător lui 1 este minus 1.

Următoarea pereche, avem 3 și f de 3 adică 1.

Următoarea pereche, avem 6 și f de 6 adică 4.

Ei bine, mulțimea formată din aceste elemente reprezintă de fapt graficul funcției f.

Deci graficul funcției f este de fapt o mulțime.

Acum, elementele acestei mulțimi, ce formă au?

Păi, cum am găsit noi elementele?

Iată, avem aici x a fost 1 iar minus 1 este de fapt f de 1.

Deci avem perechea 1 și f de 1.

Următoarea pereche este 3 și 1 care este f de 3.

Deci avem 3 și f de 3.

Iar aici avem de fapt 6 și f de 6.

Graficul unei funcții este o mulțime formată din elemente de această formă x și f de x.

Avem asemenea perechi cu proprietatea că x parcurge domeniul de definiție al funcției, adică aparține domeniului de definiție.

Și chiar o să trec aici, că această mulțime o vom nota cu d de la domeniul de definiție.

Graficul unei funcții este prin urmare o mulțime de această formă.

E puțin derutantă denumirea pentru că te-ai aștepta ca de fapt graficul unei funcții să fie o reprezentare printr-un desen.

Însă noi știm că aceste perechi se pot reprezenta geometric.

De aceea, ca să nu ne încurcăm foarte mult în denumiri, prin graficul unei funcții vom înțelege

o mulțime, adică mulțimea de această formă, dar în același timp vom înțelege și reprezentarea geometrică a acestei mulțimi.

Păi haide să reprezentăm cele trei puncte într-un sistem de coordonate.

Și trasăm două axe perpendiculare.

Avem aici axea orizontală, o axe pe verticală, deci cele două axe sunt perpendiculare.

Avem aici axea OX, axea absciselor, axea OY, axea ordonatelor.

O este originea sistemului de axe. Ne alegem și o unitate de măsură.

Să considerăm că lungimea acestui segment este unitatea de măsură și trecem punctele.

Avem aici punctul de coordonate 1 și minus 1.

1 se află pe axea absciselor, deci pe OX, trecem aici 1,

iar minus 1 se află pe axea OY, adică îl vom trece aici sub 0,

la o unitate distanță față de originea sistemului de axe.

Deci avem aici minus 1 și găsim acest punct.

Avem aici abscisă 3 ordonată 1, deci pe OX îl găsim pe 3,

avem 2, 3 aici și pe OY îl trecem pe 1, adică aici.

Găsim și acest punct, iată-l acesta.

Și mai avem abscisă 6 ordonată 4, deci îl trecem pe 6,

deci pe OX avem 4, 5, 6 aici și pe OY trebuie să îl trecem pe 4,

2, 3, 4 și să găsim și punctul.

Bun, iată, punctul este acesta.

De fapt, această linie punctată trebuie să ajungă chiar în dreptul lui 6.

Chiar o să desenăm cu altă culoare aceste puncte.

Și prin trasarea acestor puncte avem și reprezentarea geometrică a graficului funcției F.

Haideți să mai facem încă un exemplu.

Și avem funcția H definită pe mulțimea formată din elementele minus 3, minus 2, 0, 1 cu valori

în mulțimea Q, mulțimea numelor raționale, H de X egal Q.

Ei bine, aici avem o funcție cu două ramuri.

Legea de corespondență se schimbă în funcție de valorile variabile X.

Și avem H de X este X plus 1 dacă X este stric mai mic decât 0

și H de X este X supra 2 dacă X este mai mare sau egal cu 0.

Ca să trasăm graficul, mai întâi vom face tabelul de valori.

Și pe prima linie vom trece valorile lui X pe a doua valorile funcției H.

Avem aici X, H de X.

Dacă X este minus 3, să vedem ce vom avea.

Poate să fie minus 2, 0 și 1.

Dacă X este minus 3, avem de calculat H de minus 3, apoi H de minus 2,

H de 0 și mai avem H de 1.

Cât este H de minus 3?

Păi aici X este minus 3, adică este un număr stric mai mic ca 0.

Deci H de minus 3 cu cât va fi egal?

Citim pe această ramură, adică minus 3 plus 1.

Minus 3 adunat cu 1 ne dă minus 2.

Venim și trecem aici, minus 2.

Și chiar o să șterg ca să nu ne deruteze calculul nostru.

Dacă X este minus 2, H de minus 2.

Din nou citim pe aceeași ramură pentru că avem tot o valoare negativă a lui X.

Deci vom avea minus 2 plus 1, adică minus 1.

Avem acum X egal cu 0.

H de 0, păi unde citim?

Vom avea a doua ramură, dacă X este mai mare sau egal cu 0.

Aici X chiar este 0, deci H de 0 va fi acum 0 supra 2.

0 supra 2 ne dă 0.

Venim și trecem aici, 0.

Și în final, ultima valoare avem de calculat H de 1.

Îl voi scrie aici.

Avem aceeași ramură, adică 1 supra 2.

Și trecem 1 pe 2.

Dacă vrem să scriem graficul funcției H, atunci avem nevoie de toate perechile de această formă.

X H de X cu proprietatea că X aparține domeniului de definiție al funcției H.

Și chiar putem să notăm aici că această mulțime este D mare, am notat-o cu D mare.

Graficul funcției H este mulțimea formată din C perechi.

Pe aici X trebuie să parcurgă domeniul de definiție, adică trebuie să luăm aceste valori.

Dacă X este minus 3, vom avea minus 3 și minus 2.

Apoi avem perechea minus 2 minus 1.

Apoi perechea formată din numerele 0 și 0.

Și în final avem 1 și 1 pe 2.

Și iată că am notat și graficul funcției H.

Acum să facem și reprezentarea geometrică a acestor puncte.

Deci avem nevoie de un sistem de coordonate.

Trasăm aici două axe perpendiculare.

Avem axa absciselor, axa OX, axa ordonatelor OY, unitatea de măsură.

Notăm aici unitate de măsură și să trecem punctele.

Minus 3, minus 2.

Avem abscisă minus 3, deci venim aici.

Avem minus 1, minus 2, minus 3 și minus 2 pe axa OY.

Avem minus 1, minus 2.

Folosim aceste linii punctate și găsim punctul.

Apoi, minus 2, minus 1.

Deci pe axa OX îl alegem pe minus 2, care e aici.

Pe axa OY, minus 1.

Trecem pe minus 1 și găsim punctul, care e aici.

0 și 0, adică avem originea sistemului de axe.

Chiar o să trecem, sau culoare se vadă mai bine.

Bun, avem aceste puncte până acum.

Și mai avem nevoie de un punct și anume, avem abscisă 1,

ordonată 1 supra 2.

Dacă aici este 1, atunci 1 pe 2 este aici.

Avem 1 pe 2 și iată că punctul pe care îl căutăm este acesta.

Să știți că putem să și notăm punctele astfel.

Acest punct îl putem nota, de exemplu, cu A mare.

El este un punct care are abscisa minus 3, ordonata minus 2.

Deci avem punctul A mare de coordonate minus 3, minus 2.

Punctul B mare are coordonatele minus 2, minus 1.

Este, de fapt, al doilea punct care apare aici.

Al treilea punct este originea sistemului de axe.

Avem coordonatele 0 și 0.

El e notat deja cu O mare.

Și pe al patrulea să-l notăm cu C.

Avem aici coordonatele 1 și ordonata este 1 supra 2.