Aria cercului

§ 1 Circumferința

Circumferința unui cerc este lungimea conturului său — distanța pe care o parcurgi mergând o dată în jurul cercului. O notăm cu c. În manualele de matematică o vei întâlni și sub denumirea de „lungimea cercului" — cei doi termeni sunt interschimbabili.

Înainte să scriem formule, hai să vedem intuitiv ce înseamnă această lungime. Imaginează-ți că „desfaci" cercul, întinzându-l pe o linie dreaptă:

Probabil ai observat eticheta 2π · r la finalul animației. De unde vine acel π?

Aici intervine o observație importantă: lungimea circumferinței depinde de mărimea cercului — un cerc cu rază mai mare are circumferința mai lungă. Dar raportul dintre circumferință și diametru este același pentru orice cerc, oricât de mare sau mic. Această constantă universală se numește π:

Constanta π este un număr irațional — zecimalele sale continuă la infinit, fără să se repete vreodată într-un tipar:

În exerciții și calcule simple menite să ne ajute să înțelegem ideea, folosim aproximarea π ≈ 3,14. Trebuie ținut minte însă că aceasta este doar o aproximare, suficientă pentru calcule curente, dar nu pentru orice situație. Când avem nevoie de acuratețe ridicată — în inginerie, astronomie sau fizică — folosim mai multe zecimale, alegându-le în funcție de precizia cerută, ca rezultatul final să nu fie compromis.

Cum decidem de câte zecimale avem nevoie într-un calcul este o problemă delicată — depășește ceea ce un elev de gimnaziu sau liceu trebuie să știe. Aceste lucruri se studiază mai târziu, în facultate.

Definiția lui π ne permite să exprimăm c în funcție de r. Înlocuim întâi diametrul cu d = 2r, apoi rezolvăm ecuația după c:

Iată toate elementele cercului împreună — raza r, diametrul d = 2r și circumferința c = 2πr:

§ 2 Aria — ideea lui Arhimede

Aria cercului nu este o definiție — este o teoremă. Faptul că ea iese exact π·r² este o consecință remarcabilă a circumferinței.

În jurul anului 250 î.Hr., Arhimede din Siracuza a demonstrat această relație folosind o idee genială: dacă tăiem cercul în felii foarte subțiri, ca o pizza, și apoi rearanjăm feliile alternativ — una cu vârful în sus, una cu vârful în jos — ele se aliniază aproximativ într-un dreptunghi.

Cu cât tăiem mai multe felii, cu atât „dreptunghiul" este mai exact. La limită, devine perfect.

Aici este miezul demonstrației lui Arhimede: cu cât N este mai mare, cu atât marginile curbate devin mai drepte, iar înclinația laterală mai mică. La limită, când N tinde la infinit, forma devine un dreptunghi perfect:

Privind dreptunghiul rezultat, putem măsura dimensiunile lui:

• Lățimea dreptunghiului = raza cercului, adică r. (Fiecare felie are vârful în centru și „capătul" pe circumferință — deci lățimea dreptunghiului este raza.)
• Lungimea dreptunghiului = jumătate din circumferință, adică c/2 = πr. (Jumătate dintre felii formează partea de sus, jumătate partea de jos — capetele lor curbate, adunate, dau jumătate din lungimea cercului.)

Acum putem calcula aria pur și simplu ca aria unui dreptunghi — lungime × lățime:

§ 3 De ce aria unui cerc se exprimă în unități la pătrat (cm², m², km²)?

Pentru că raza apare la puterea a doua, aria se măsoară în unități la pătrat. Unități la pătrat înseamnă unități la puterea a doua.

Dacă măsurăm raza unui cerc în centimetri, atunci când calculăm aria sa va trebui să calculăm r², iar rezultatul va fi în centimetri pătrați:

Pas cu pas, calculul arată așa:

În funcție de ceea ce măsurăm, unitățile de lungime sunt variabile: mm, cm, m, km. Când le folosim pentru a calcula arii, fiecare devine unitatea sa la pătrat: mm → mm², cm → cm², m → m², km → km². Aria se exprimă întotdeauna în unități la pătrat — de exemplu, un pătrat cu laturile de 1 cm va avea aria de 1 cm × 1 cm = 1 cm².