Cercul trigonometric

Cercul trigonometric este o noțiune fundamentală a trigonometriei.

Este deosebit de important să înțelegeți această noțiune pentru că ea face posibilă înțelegerea trigonometriei,

dar și a analizei matematice pe care o veți studia în anii următori.

Un cerc trigonometric este un cerc având centrul în originea unui sistem de axe XY,

iar raza acestuia este egală cu 1.

Din acest motiv se mai numește și cerc unitate.

Vom stabili și un sens de construcție a unghiurilor în cercul trigonometric.

Semidreapta OA se consideră fixă, iar raza mobilă OM se poate deplasa în două sensuri.

Sensul pozitiv este sensul invers a celor de ceasornic.

Acesta se mai numește și sens trigonometric.

Iar sensul negativ va fi sensul orar.

Punctul A se mai numește și punct inițial,

deoarece orice unghi se măsoară privind semidreapta OA ca latură inițială a unghiului.

Cele două axe împart cercul trigonometric în patru părți numite cadrane,

care se numenotează astfel.

Cadranul 1, cadranul 2, cadranul 3 și cadranul 4.

Coordonatele unui punct M situat pe cerc vor fi definite astfel.

Abscisa este proiecția ortogonală a razei OM pe axa OX,

iar ordonata este proiecția razei pe axa OY.

Deci X este abscisa, iar Y ordonata.

Raza OM se mai numește și rază vectoare,

întrucât OM poate fi privit ca vector de poziție a punctului M.

Dacă aplicăm pitagora în triunghiul dreptunghic OBM,

avem OB la pătrat plus BM la pătrat egal cu OM la pătrat.

Deci X pătrat plus Y pătrat egal cu 1.

Prin urmare, coordonatele tuturor punctelor situate pe cercul trigonometric

verifică relația X la pătrat plus Y la pătrat egal cu 1.

Aceasta va fi și ecuația cercului trigonometric.

Dacă punctul M este situat în primul cadran,

atunci abscisa și ordonata vor fi pozitive.

Dacă M este situat în cadranul 2,

atunci abscisa este negativă, iar ordonata pozitivă.

Dacă M este situat în cadranul 3, atunci ambele coordonate sunt negative.

Iar dacă M este situat în cadranul 4,

atunci abscisa este pozitivă, iar ordonata negativă.

Este important de remarcat faptul că abscisa și ordonata unui punct

nu sunt doar niște simple coordonate.

Ele reprezintă valorile funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus

pentru unghiul respectiv.

Iată, dacă notăm unghiul AOM cu alfa,

atunci în triunghiul BOM avem sinus de alfa,

este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză,

deci egal cu MB supra OM

și egal cu Y supra 1, egal cu Y.

Cosinus de alfa este cateta alăturată supra ipotenuză,

deci egal cu OB supra OM

și egal cu XP1, adică X.

Prin urmare, abscisa reprezintă cosinusul unghiului,

iar ordonata este sinusul.

În continuare, vom prezenta cele mai importante unghiuri ale cercului trigonometric.

Vom exprima măsurile acestora în grade și radiani

și voi scrie coordonatele punctelor de pe cerc

corespunzătoare acestor unghiuri.

Aici avem unghiul cu măsura de 0 grade,

aici avem 90 de grade,

90 plus 90 este 180 de grade,

180 plus 90, 270,

270 plus 90 este egal cu 360 de grade.

Dacă ne uităm la acest punct, observăm că el este situat

la mijlocul acestui arc,

prin urmare, măsura acestui unghi va fi 90 de grade supra 2,

adică 45 de grade.

Și acum pornim de la 0 în sens trigonometric

și numărăm din 45 în 45.

Avem 0, 45, 90,

90 plus 45 este 135,

135 plus 45 este 180,

180 plus 45 este 225,

plus 45, 270,

270 plus 45 este 315,

iar 315 plus 45 ne dă 360 de grade.

Acum observăm că aceste două puncte

împart acest arc, acest sfert de cerc,

în trei părți egale.

Iată, arcul acesta are aceeași lungime cu arcul acesta

și cu arcul acesta.

Prin urmare, măsura acestui unghi va fi o treime

din măsura unghiului drept.

90 de grade împărțit la 3 este 30.

Și acum pornim de la 0 în sens trigonometric

și numărăm din 30 în 30.

Avem 0, 30 de grade, 60 de grade,

60 plus 30, 90,

90 plus 30, 120,

120 plus 30, 150,

urmează 180,

180 plus 30, 210,

plus 30, 240,

plus 30, 270,

apoi 300,

330 și 360.

Am exprimat în grade cele mai importante

unghiuri din cercul trigonometric

și acum haideți să exprimăm măsurile acestora

și în radiani.

La 0 grade avem 0 radiani,

la 90 de grade avem pi supra 2 radiani,

am văzut acest lucru în lecția trecută,

deci să reținem că un sfert de cerc are pi supra 2 radiani,

apoi la 180 de grade avem pi radiani,

adică pi supra 2 ori 2,

se simplifică 2 și ne rămâne pi.

Pi plus pi supra 2 ne dă 3 pi supra 2,

iar 3 pi supra 2 plus pi supra 2

este 4 pi pe 2, adică 2 pi.

Jumătate din pi supra 2 este pi supra 4,

prin urmare la 45 de grade

le corespund pi supra 4 radiani.

Acum pornim de la 0,

mergem în sens trigonometric

și adunăm pi supra 4 radiani.

Avem 0, pi pe 4,

2 pi pe 4,

se simplifică și ne rămâne pi pe 2,

3 pi pe 4,

4 pi pe 4,

se simplifică 4 și ne rămâne pi,

5 pi pe 4,

6 pi pe 4,

se simplifică și ne dă 3 pi pe 2,

7 pi pe 4,

8 pi pe 4,

se simplifică cu 4 și ne rămâne 2 pi.

Aici avem o treime din pi supra 2,

adică pi supra 6,

și pornim iarăși de la 0 și adunăm pi pe 6.

Avem 0, pi pe 6,

2 pi pe 6, adică pi pe 3,

3 pi pe 6, adică pi supra 2,

4 pi pe 6,

se simplifică și ne dă 2 pi pe 3,

5 pi pe 6,

6 pi pe 6, adică pi,

7 pi supra 6,

8 pi supra 6,

adică 4 pi pe 3,

9 pi pe 6,

adică 3 pi pe 2,

10 pi pe 6,

adică 5 pi supra 3,

11 pi pe 6,

și 12 pi pe 6,

adică 2 pi.

Am exprimat așadar cele mai importante unghiuri

din cercul trigonometric în grade și radiani

și acum să vedem care sunt coordonatele

acestor puncte situate pe cerc.

Aici avem punctul de abscisă 1

și ordonată 0,

aici avem punctul de coordonate 0-1,

aici avem punctul de coordonate

minus 1-0,

iar aici punctul de coordonate 0-1.

Să vedem acum care sunt coordonatele

acestor puncte.

După cum spuneam mai devreme,

aici ar trebui să scriem cosinusul și sinusul

unghiului respectiv.

Prin urmare, aici ar trebui să scriem cos de 30,

sin de 30, cos de 45,

sin de 45, cos de 60,

sinus de 60. Iată o metodă mai rapidă

de a scrie aceste valori.

Avem fracția 1 pe 2,

2 pe 2, 3 pe 2.

Acum mergem invers, 1 pe 2,

2 pe 2 și 3 pe 2.

Și acum punem radical la numărător.

Radical din 1 este 1, deci îl lăsăm așa.

Avem radical din 2, radical din 3.

Avem radical din 1,

care este 1, apoi radical din 2

și radical din 3.

Acestea sunt coordonatele punctelor din primul cadran.

În cadranul 2 avem aceleași

coordonate în modul, însă

abscisele sunt negative.

Punctul acesta este simetricul

acestui punct, prin urmare vom împrumuta

aceste coordonate cu precizarea că

abscisa este negativă, deci avem

minus 1 pe 2 și radical din 3 pe 2.

Acest punct este

simetricul acestuia, așadar

o să avem minus radical din 2 pe 2

și radical din 2 pe 2.

Apoi avem minus radical din 3 pe 2

și 1 pe 2.

Mergem în cadranul 3 unde ambele

coordonate sunt negative. Acest punct

este simetricul punctului de mai sus,

așadar copiem aceste coordonate

și ambele sunt negative,

avem minus radical din 3 pe 2 și minus

1 pe 2. Punctul acesta va fi

simetricul acestui punct, așadar

vom avea minus radical din 2 pe 2

și minus radical din 2 pe 2.

Apoi minus 1 pe 2

și minus radical din 3 pe 2.

Mergem la cadranul 4,

aici abscisa este

pozitivă iar ordonata negativă.

Acest punct este simetricul acestui punct,

așadar vom avea aceleași

coordonate în modul.

Abscisa este pozitivă, deci avem

1 pe 2, dar ordonata negativă,

minus radical din 3 pe 2.

Acum ne uităm aici, avem

radical din 2 pe 2

și minus radical din 2 pe 2

și aici avem radical din 3

supra 2 și minus

1 pe 2.

Acestea sunt coordonatele celor mai importante

puncte situate pe cercul trigonometric

și acum dacă vă întreb cât este

cosinus de 135 de grade, ar trebui

să știți. Cosinus,

haideți să scriem în radiani, cosinus de 3

pi pe 4.

Mergem de la 0 în sens

trigonometric, ne uităm la unghiul de 3 pi

pe 4, cosinus este abscisa

acestui punct, așadar avem minus

radical din 2 pe 2.

Dacă vreau să

calculez tangentă de 5 pi pe 4,

vom exprima tangenta ca fiind

raportul dintre sinus și cosinus.

Avem sinus

de 5 pi pe 4

supra cosinus de 5 pi pe 4.

O să vedem în lecțiile următoare că

tangenta se definește ca fiind raportul dintre sinus

și cosinus. Sinus de 5 pi

pe 4, iată,

aici avem 5 pi pe 4, sinusul este

ordonata, deci avem minus radical din 2 pe 2

supra minus radical din 2 pe 2

se simplifică și ne dă

1. Să știți că

putem avea și unghiuri cu măsura mai mare de

2 pi. Haideți să calculăm, de exemplu,

sinus de 3 pi.

Pornim de la 0 în sens trigonometric, avem

0, pi, 2 pi

și 3 pi. Ne oprim aici. Așadar observăm

că sinus de 3 pi este egal cu sinus de

pi, pentru că am ajuns în același punct.

Iar sinus de pi

va fi ordonată a acestui punct,

adică 0.

De asemenea, putem avea și unghiuri

negative. De exemplu, dacă vreau să

calculez sinus de minus pi

supra 6.

Dacă aș avea

sinus de pi supra 6, aș porni de la 0

în sus, adică în sens trigonometric

până la pi supra 6. Din moment ce avem

minus pi supra 6, înseamnă că trebuie

să plec în sens invers,

adică în sens orar, aceeași

distanță. Așadar, de la 0 mergem în jos

aceeași distanță,

ca și aici,

și ajungem la 11 pi supra 6.

Prin urmare, sinus de minus pi pe 6

este același lucru cu sinus de

11 pi supra 6.

Iar sinus de 11 pi supra 6 este

minus 1 pe 2.

Multumesc pentru vizionare!