Trunchiul de con circular drept (descriere, desfășurare, formule)

Să găsim acum formulele pentru area laterală, area totală și volumul unui trunc de con circular drept.

Trunchiul de con circular drept se obține prin secționarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza

și prin înlăturarea conului mic care se obține aici către vârf și astfel obținem, iată, un trunc de con circular drept.

Ca elemente, observăm că avem două baze situate în plane paralele.

Avem aici, de fapt, două cercuri și putem să notăm aici cu O prim centrul acestui cerc

și să facem în așa fel încât să se vadă că avem aici O prim, cu O centrul cercului mare.

O prim O reprezintă, de fapt, înălțimea trunchiului de con, adică segmentul perpendicular pe baze și cuprins între ele.

Dacă notăm aici cu A acest punct și cu B acesta, atunci mai putem să trecem aici că avem R mare de la raza cercului mare

și aici vom nota O prim B cu R mic, raza cercului mic.

Deci putem să notăm că O prim O este înălțime, R mare am spus ce este la fel și R mic, iar A B este, de fapt, generatoarea trunchiului de con.

Suprafața laterală se desfășoară în plan după o porțiune de coroană circulară, iată.

Am reprezentat aici și conul din care face parte acest trunchi de con și dacă desfășurăm acest trunchi de con, atunci vom obține exact ce avem aici și anume o porțiune de coroană circulară.

Am reprezentat aici și cercul de la bază, baza mare și cercul care reprezintă, de fapt, baza mică.

Vom mai scrie încă o dată că O prim O reprezintă înălțimea trunchiului de con, deci O prim O este, de fapt, înălțimea trunchiului.

A B reprezintă generatoarea și mai putem să trecem aici.

O prim B este raza mică, raza bazei mici, de fapt, și O A este raza bazei mari.

Voi trece aici că avem R mic și aici avem R mare.

Deci O prim B egal cu R mic și O A egal cu R mare.

Să deducem acum împreună formula pentru area laterală.

Area laterală reprezintă, de fapt, area acestei porțiuni de coroană circulară.

Cum putem să o determinăm?

Mai putem să facem diferența dintre area acestui sector de cerc, din care s-a obținut conul mare, și area acestui sector de cerc, din care s-a obținut conul mic.

De fapt, facem diferența dintre area laterală a conului mare și area laterală a conului mic.

Să notăm, avem așa, area laterală este egală cu, voi scrie, area sectorului mare minus area sectorului mic.

Și acum să notăm, area laterală este egală cu, area sectorului mare reprezintă area laterală a conului circular drept, acesta mare.

Deci avem pi înmulțit cu raza bazei, adică R mare, înmulțit cu generatoarea.

Păi generatoarea este aceasta, atunci voi nota aici cu V, și atunci înseamnă că generatoarea este VA minus area sectorului mic, pi înmulțit cu raza bazei, adică R mic, înmulțit cu generatoarea care este acum VB.

Bun, dar noi vrem să exprimăm această area laterală fără să ne apară aici VA și VB.

Ce știm noi despre aceste două segmente, VA și VB?

Păi VA este egal cu VB plus AB, care reprezintă de fapt generatoarea trunchiului de con.

Deci putem să notăm așa că VA egal cu VB plus G mare de la generatoare, de aici rezultă că area laterală cu cât va fi egală?

Avem pi or R mare înmulțit cu VA, adică VB plus G, din care scădem aceasta pi or R mic înmulțit cu VB.

Și acum desfacem paranteza, vom avea area laterală egală cu pi or R mare or G, facem mai întâi acest produs, pi R mare or G adunat cu pi or R or VB minus pi or R mic or VB.

Păi ce observăm? Iată că aici putem să dăm factor comun pe pi și pe VB.

Bun, atunci vom avea așa că area laterală este egală cu pi, de fapt cred că cel mai bine ar fi să scriem de desubt, avem pi or R mare or G adunat cu pi or VB pe lângă R mare minus R mic.

Și voi păstra doar această relație, restul putem șterge ca să avem suficient spațiu și să vedem cum facem în continuare în așa fel încât în exprimarea arei laterale să nu ne mai apară segmentul VB.

Păi haide să ne uităm puțin la această figură și chiar o să unesc și V cu oprim ca să ne facem cât de cât o idee.

Acest plan este paralel cu acesta, dacă privim și planul determinat de punctele VOA, atunci la ce ne gândim?

Păi când două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, înseamnă că dreptele de intersecție sunt paralele și aici dreapta de intersecție este oprim B și aici este OA,

deci avem că oprim B e paralelă cu OA, cu alte cuvinte triunghiul VO prim B este asemenea cu triunghiul VOA și notăm triunghiul VO prim B asemenea cu triunghiul VOA

și vom obține un raport de asemănare VB supra VA este egal cu R mic supra R mare.

Atenție, noi vrem să îl exprimăm pe VB în funcție de R mare, R mic sau în funcție de G.

Cum facem acest lucru de vreme ce am găsit acest raport?

Păi nu îl vom scoate pe VB din această proporție că atunci o să le exprimăm în funcție de VA, deci nu o să câștigă mare lucru.

Însă putem să facem proporții derivate, pentru că iată VA minus VB, VA minus VB ne dă de fapt segmentul AB adică generatoarea trunchiului de con.

Rezultă de aici, facem următoarea proporție, VB supra VA minus VB cu cât este egal?

Noi avem R mic supra R mare minus R mic și am obținut că VB supra VA minus VB reprezintă de fapt generatoarea trunchiului de con egal cu R mic supra R mare minus R mic.

Acum, fie le exprimăm pe VB din această proporție sau mai bine, de vreme ce noi avem nevoie aici de produsul VB ori R mic, R mare, pardon, minus R mic, iată, putem să înmulțim aici pe diagonală, deci avem rezultă din proporție că VB înmulțit cu R mare minus R mic egal cu G ori R mic.

Și acum venim și înlocuim, area laterală, voi scrie aici, este egală cu pi ori R mare ori G adunat cu pi înmulțit cu și avem acest produs, iată, care este exprimat aici prin G mare ori R mic.

De unde putem să găsim foarte ușor formula pentru area laterală, rezultă că area laterală este egală cu pi ori G pe lângă R mare plus R mic, R mare plus R mic și vreau să trecem această relație mai departe ca să separăm cât de cât.

Și astfel am determinat formula pentru area laterală a trunchiului decon circular drept.

Să găsim acum și area totală, deci ștergem tot ce am scris aici, voi păstra doar formula pentru area laterală pe care am găsit-o împreună.

Deci avem această formulă și vrem să determinăm acum formula pentru area totală.

E simplu, area totală este egală cu area laterală plus area bazei mari, trecem A B mare plus area bazei mici.

Area bazei mari, știm cât este, avem aici raza, deci să înlocuim, area totală este egală cu ce avem aici, adică area laterală adunată cu area bazei mari, avem pi ori R mare la pătrat plus area bazei mici, adică pi ori R mic, iată, la pătrat.

Pentru volum, să știți că formula pentru volum este identică cu formula pe care am întâlnit-o la trunchiul de piramidă regulată, deci avem înălțimea supra 3 și în paranteza avem area bazei mari plus area bazei mici plus radical din area bazei mari ori area bazei mici.

Și acum să înlocuim, vom avea că volumul, formula pentru volum este egală cu înălțimea supra 3 pe lângă, de fapt chiar o să scriem cu alb mai întâi, că apoi o să deducem forma finală, deci volumul este egal cu înălțimea supra 3 pe lângă.

Area bazei mari, pi ori R mare la pătrat plus area bazei mici, pi ori R mic la pătrat plus. Ce vom obține aici? Avem radical din area bazei mari, adică pi ori R mare la pătrat înmulțit cu area bazei mici, pi ori R mic la pătrat.

Cât vom obține sub radical? Păi avem așa pi la a doua, deci pi o să iasă de sub radical, la fel și R mare, la fel și R mic, deci în loc de acest radical o să șterg și o să trecem exact ce am scris aici, adică pi ori R mare ori R mic.

Și acum rezultă că formula pentru volum este următoarea, putem să dăm factor comun pe pi, deci avem pi ori H supra 3 pe lângă R mare la a doua plus R mic la a doua plus produsul dintre R mare și R mic.

Și astfel am determinat formula pentru area laterală, pentru area totală și pentru volumul unui trunc de con circular drept.