Citirea graficului unei funcții

Vrem acum să rezolvăm două aplicații în care vom citi graficele a două funcții și avem aici prima întrebare.

Mulțimea punctelor reprezentate în sistemul de axe poate fi graficul unei funcții?

Iată, avem aici unu, doi, trei puncte, acestea cu portocaliu.

Aceste trei puncte pot fi reprezentarea geometrică a graficului unei funcții?

Păi haideți să trecem mai întâi coordonatele acestor puncte.

Primul punct are abscisă 1, ordonată minus 1, deci trecem 1 și minus 1.

Acest punct are abscisă 2, iar ordonata este 1.

Iar acest punct are abscisă 2, iar ordonata este 3.

Bun, acum avem și coordonatele.

Ce ziceți? Aceste trei puncte pot fi reprezentarea geometrică a graficului unei funcții?

Vă las puțin timp să vă gândiți.

Păi dacă nu v-ați dat deja seama, atunci haideți să facem și un tabel de valori.

Și ce vom trece în acest tabel?

Pe prima linie trecem valorile absciselor, iar pe a doua linie, dacă am avea o funcție,

atunci trebuie să trecem valorile funcției în abscisele respective.

Dacă pe funcție ar chema o f, aici ar trebui să trecem fdx, însă în loc de fdx vom scrie y,

pentru că pe axa o y trecem valorile funcției.

Ca să nu ne încărcăm foarte mult cu notații, haideți să trecem direct y.

Și pe prima linie trecem valorile absciselor.

Păi acest punct are abscisă 1, deci trecem 1.

Care este ordonata?

Minus 1, deci trecem aici minus 1.

Acest punct are abscisa 2 și ordonata 1, deci trecem 2 și 1.

Acest punct are abscisa 2 și ordonata 3.

Bun, dar pe 2 abscisa 2 deja e trecută, atunci haideți să facem așa.

Trecem aici 1 și treilea punct are abscisa 2 și ordonata 3.

Bun, uitându-ne la acest tabel, poate fi acesta tabelul de valori al unei funcții?

Nu.

De ce nu?

Pentru că dacă ar fi funcție, atunci fiecare element din prima mulțime trebuie să aibă un singur corespondent în cea de-a doua mulțime.

Și iată că numărul 2 are 2 corespondenți și pe 1 și pe 3, deci răspunsul este nu.

Mulțimea formată de aceste 3 puncte nu poate fi graficul unei funcții pentru că aici, iată, avem punctul de abscisă 2 are ordonatele și 1 și 3.

Cu alte cuvinte, în această situație, când aveți cel puțin 2 puncte care au aceeași abscisă și ordonate diferite, atunci graficul respectiv nu este graficul unei funcții.

Următoarea aplicație.

Avem aici o funcție definită pe D cu valori în C. Acesta e domeniul de definiție, acesta este codomeniul.

Iar în acest sistem de axe X ou Y avem reprezentarea geometrică a graficului funcției F prin aceste 4 puncte.

Avem aici un punct al doilea, al treilea și al patrulea.

Și acum, haideți să răspundem la câteva întrebări.

Prima întrebare.

Cât este F de minus 1 și cât este F de 2?

Adică valorile funcției în punctul de abscisă minus 1 și în punctul de abscisă 2.

Eu zic că cel mai bine ar fi să facem tabelul de valori pentru funcția F și o avem aici.

Haideți să notăm, trasăm tabelul și vom avea X și valorile funcției.

Ce valori trecem pentru abscisă, pentru variabila X?

Păi acest punct are abscisă minus 1, deci dăm lui X valoarea minus 1 și aici trebuie să avem F de minus 1.

Cât este F de minus 1?

Păi acest punct are ordonata 1.

Asta înseamnă că 1 este F de minus 1.

Și am și răspuns la prima întrebare.

Ce mai avem?

Următorul punct are abscisă 1, deci trecem 1, iar ordonata, adică F de 1, este egală cu 4.

Mai departe, al treilea punct are abscisă 2.

Ordonata, adică F de 2, ne dă 3.

Și ultimul punct are abscisă 3, trecem aici 3, iar ordonata este 1, adică F de 3 ne dă 1.

Bun, păi haideți să notăm ce am obținut.

F de minus 1 este egal cu 1.

Ștergem semnele de întrebare.

F de minus 1 am spus că ne dă 1.

F de 2.

Păi dacă x este 2, F de 2 este 3.

Și am răspuns la cerința amică.

Acum să vedem care este domeniul de definiție al funcției.

Păi deja l-am trecut aici.

Domeniul de definiție este reprezentat de mulțimea formată din aceste elemente.

Și haideți să notăm.

D este egal cu, avem elementele minus 1, 1, 2 și 3.

De adevăr, putem să și verificăm că este o funcție.

Iată, fiecărui element din această mulțime îi corespunde câte un singur element în a doua mulțime.

Să vedem acum care este imaginea funcției F.

Păi imaginea funcției F este reprezentată de valorile pe care le ia concret funcția F.

Adică aceste numere.

Și avem, F este formată din elementele 1, 4, 3 și 1.

Dar pe 1 deja l-am trecut, deci aceasta este imaginea funcției F.

Mulțimea formată din elementele 1, 4 și 3.

Altă întrebare.

Să vedem dacă această mulțime cu elementele 1, 2 și 3 poate fi codomeniul funcției F.

Păi ce trebuie să se întâmple întotdeauna?

Ce relație avem între imaginea unei funcții și codomeniu?

Ei bine, întotdeauna imaginea funcției, haideți să notăm aici, trebuie să fie inclusă în codomeniu.

Păi avem această relație?

Haideți să vedem.

Mulțimea formată din elementele 1, 4 și 3 este cumva inclusă în această mulțime formată din elementele 1, 2 și 3?

Nu este inclusă.

Deci putem să tăiem aici această, haideți să notăm cu roșu.

Tăiem aici, pentru că nu avem incluziune.

Asta înseamnă că MDF nu este inclusă în mulțimea C.

Cu alte cuvinte, această mulțime nu poate fi codomeniu funcției F.

Deci răspunsul la întrebare este nu.

Pentru că nu avem această relație de incluziune.

Ultima întrebare, haideți să se vadă, păstrăm tabelul.

Să vedem dacă punctul de coordonate 3 și 2 aparține graficului funcției F.

Păi putem să verificăm acest lucru uitându-ne în tabelul de valori.

Dacă abscisa este 3, ordonata este 2.

Iată, dacă abscisa este 3, ordonata este 1.

Deci, de fapt, acest punct de coordonate 3 și 2 nu aparține graficului funcției.

Deci răspunsul este și aici, nu.

Și să ne amintim că întotdeauna un punct care aparține graficului funcției trebuie să aibă această formă.

O vom nota aici, x și f de x.

Doar un asemenea punct aparține graficului funcției f.

Acum, dacă îi dăm lui x valoarea 3, atunci punctul de coordonate 3 și f de 3 aparține graficului funcției f.

Însă acest punct, cu cât este egal, este echivalent cu 3 și f de 3 este 1.

Deci punctul de coordonate 3 și 1 aparține graficului funcției f, nu punctul de coordonate 3 și 2.

Și cu aceasta s-a încheiat exercițiul nostru și iată că folosindu-ne de citirea reprezentării geometrice a graficului funcției,

am putut să determinăm și domeniul de definiție al ei și imaginea funcției,

precum și să găsim răspunsul la aceste două întrebări.