Funcții pare, impare

Înainte de a defini funcțiile pare și impare, ar trebui să definim noțiunea de mulțime simetrică.

Iată, o mulțime A se numește simetrică dacă pentru orice x din A și minus x aparține lui A.

Să dăm câteva exemple de mulțimi simetrice. De exemplu, intervalul minus 2,2 este o mulțime simetrică,

intervalul minus infinit, minus șase, reunit cu șase plus infinit este o mulțime simetrică pentru că, iată, se respectă această proprietate.

R este de asemenea o mulțime simetrică și câteva contraexemple.

Intervalul minus 2,3 nu este mulțime simetrică pentru că avem, de exemplu, numărul 3 care aparține acestei mulțimi, însă opusul acestuia, minus 3, nu aparține intervalului.

Un alt contraexemplu, intervalul 0,infinit nu este mulțime simetrică, observăm că aici avem doar numere pozitive, iar opusele acestora nu aparțin intervalului.

Și acum putem să definim în continuare funcțiile pare și impare.

Deci lucrurile sunt clare, dacă f de minus x este egal cu f de x, atunci funcția este pară, iar dacă f de minus x este egal cu minus f de x, atunci funcția este impară.

Să vedem câteva exemple.

Avem funcția f definită pe R cu valori în R, observăm că domeniul este o mulțime simetrică, f de x egal cu 2 minus x pătrat.

Haideți să verificăm dacă aceasta este o funcție pară sau impară.

Trebuie așadar să calculăm f de minus x.

Pentru aceasta o să îl înlocuim pe x cu minus x și o să avem 2 minus minus x la pătrat egal cu 2 minus minus x la pătrat devine x la pătrat pentru că avem o putere pară.

Și iată ce am obținut aici, este chiar funcția inițială f de x.

Observăm așadar că f de minus x este egal cu f de x, prin urmare funcția este pară.

Un alt exemplu.

Avem funcția f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu x la treia plus x.

Trebuie să calculăm f de minus x.

Scuzați, f de minus x egal.

O să îl înlocuim pe x cu minus x și obținem minus x la treia plus minus x.

Exponentul este impar așadar se păstrează semnul minus minus x.

Dacă îl dăm acum pe minus factor comun obținem minus pe lângă x la treia plus x.

Iată, în paranteză avem funcția inițială însă avem un minus în fața parantezei, așadar putem să scriem în continuare egal cu minus f de x.

Am obținut așadar că f de minus x este egal cu minus f de x, prin urmare f este impară.

Și un ultim exemplu.

F definită pe R cu valori în R.

f de x egal cu 6x minus 3x pătrat.

Vom calcula f de minus x.

Avem 6 ori minus x minus 3 ori minus x la pătrat.

Egal cu minus 6x minus 3 minus x la pătrat devine x la pătrat.

Însă rezultatul nu este identic cu funcția inițială.

Să vedem dacă îl dăm pe minus factor comun ce obținem.

Minus pe lângă 6x plus 3x pătrat.

Iată că nici în forma aceasta nu am ajuns la funcția inițială.

Prin urmare această funcție nu este nici pară și nici impară.

Așadar există funcții care nu sunt nici pare și nici impare.

Și acum haideți să vedem în continuare câteva proprietăți grafice ale funcțiilor pare, respectiv impare.

Pornim de la funcția dată în exemplu anterior, funcția pară f de x egal cu 2 minus x la pătrat.

Haideți să facem un mic tabel de valori.

Avem x și f de x.

Pentru x egal cu 1 obținem 2 minus 1, 1.

Pentru x egal cu minus 1 avem aceeași valoare, 1, pentru că funcția este pară.

Pentru x egal cu 2 obținem 2 minus 4, minus 2.

Iar pentru x egal cu minus 2 avem minus 2.

Prin urmare graficul va conține aceste puncte.

A de coordonate 1, 1.

B de coordonate minus 1, 1.

C de coordonate 2, minus 2.

Și D de coordonate minus 2 și minus 2.

Voi încă nu știți să reprezentați grafic funcția de gradul 2.

Aceasta este o funcție de gradul al doilea pentru că x apare la puterea a doua.

Veți învăța mai târziu să reprezentați grafic astfel de funcții.

Am vrut doar să evidențiez o proprietate importantă a acestora.

Iată cum arată graficul acestei funcții.

Avem aici punctul A de coordonate 1, 1.

Iată, aici este punctul A.

B de coordonate minus 1, 1.

Aici este punctul B.

C de coordonate 2 și minus 2.

Aici este punctul C.

Și D de coordonate minus 2, minus 2.

Dacă ne uităm cu atenție la acest grafic, observăm că el este simetric în rapor cu axa OY.

Așadar, e bine să reținem că graficul unei funcții pare este întotdeauna simetric în rapor cu axa OY.

Să vedem acum ce se întâmplă în cazul funcțiilor inverse.

Pornim de la exemplul anterior.

Am văzut că aceasta este o funcție impară.

Pentru x egal cu 1, obținem f de x egal cu 1 la 3a plus 1, 2.

Iar pentru x egal cu minus 1, obținem minus f de x, adică minus 2.

Prin urmare, graficul acestei funcții va conține punctul A de coordonate 1 și 2 și B de coordonate minus 1 și minus 2.

Dar aceste puncte sunt simetrice în rapor cu originea reperului cartezian.

Iată cum arată graficul acestei funcții.

Avem punctul A de coordonate 1, 2.

Iată, aici este punctul A.

B de coordonate minus 1, minus 2.

Am putea să mai dăm și alte valori în să obținem numere prea mari,

e suficient însă să rețineți că graficul unei funcții impare

este întotdeauna simetric în rapor cu originea reperului cartezian.

Și în final o scurtă observație.

Dacă domeniul de definiție al unei funcții nu este mulțime simetrică,

nu se pune problema studierii parității funcției.

Așadar studiem paritatea numai atunci când domeniul este o mulțime simetrică.

Pe curând!