Funcția exponențială

Funcția exponențială are o importanță deosebită pentru că ea ilustrează o serie de fenomene naturale.

Atunci când o cantitate crește cu un procent constant, spunem că avem o creștere exponențială.

Dacă un număr de obiecte scade cu un procent dat, atunci avem o descreștere exponențială.

Această funcție ilustrează fenomene precum creșterea populației.

Dacă se cunoaște populația unui oraș la un moment T0 și rata de creștere, se poate calcula populația orașului după un anumit număr de ani.

În cazul în care depunem la bancă o sumă de bani, putem calcula dobânda compusă și implicit sumă obținută după o anumită perioadă cu ajutorul funcției exponențiale.

Noțiunea de exponențială are o aplicație practică și în calculul presiunii atmosferice.

Aceasta scade odată cu creșterea altitudinii.

Cu cât altitudinea este mai mare, cu atât presiunea scade exponențial.

Din păcate, uneori au loc și evenimente neplăcute, precum accidentul nuclear de la Cernobâl din 1986

sau cel de la Fukushima din 2011, în urma cărora s-a produs o creștere puternică a radioactivității în zonele înconjurătoare.

Substanțele radioactive se dezintegrează în timp, iar nivelul de radioactivitate se reduce exponențial.

O măsură de evaluare pentru durata persistenței radioactivității este timpul de înjumătățire, care se poate calcula folosind funcție exponențială.

Această funcție are aplicații și în medicină pentru că modelează răspândirea epidemiilor.

În continuare vom vedea care e diferența dintre o creștere liniară și o creștere exponențială.

Dacă ai avea 2 euro, ce ai prefera?

Să primești în continuare 1 milion de euro pe zi, timp de o lună?

Sau, a doua variantă, portind de la cei 2 euro, să ți se dubleze în fiecare zi suma avută în ziua anterioară, timp de o lună?

Eu aș alege varianta B.

Dacă tu ai ales varianta A, să știi că la finalul lunii eu voi avea de 72 de ori mai mulți bani decât tine.

Să verificăm.

Să presupunem că ai 2 euro și primești în continuare 1 milion de euro pe zi, timp de o lună.

Vom considera luna de 30 de zile.

Astfel, în prima zi, ziua 1, vei avea 1 milion de euro plus cei 2 euro pe care i-ai la început, sumă pe care o vom neglija pentru a ușura calculele.

În a doua zi, mai primești 1 milion de euro, astfel că în ziua a doua vei avea în total 2 milioane de euro.

În a treia zi, vei avea 3 milioane de euro și așa mai departe, în ziua 30, vei avea în total 30 de milioane de euro.

Să vedem ce sumă vei avea la finalul lunii în cazul în care se dublează în fiecare zi suma din ziua anterioară.

În prima zi, dublăm cei 2 euro și vom avea 2 x 2, egal 4 euro.

În a doua zi, dublăm suma din ziua precedentă și vom avea 2 x 4, egal 8 euro.

În a treia zi, vom avea 2 x 8, egal 16 euro.

Observăm că aceste numere, 4, 8, 16, pot fi scrise ca puteri ale lui 2.

4 este egal cu 2 la a doua, 8 este egal cu 2 la a treia, 16 este egal cu 2 la a patra,

apoi în ziua a patra vom avea 2 la puterea cincea și așa mai departe, în ziua 30, vom avea 2 la puterea 31 euro.

Să vedem ce înseamnă 2 la puterea 31.

2 la puterea 31 este egal cu 2.147.483.648 euro.

În varianta A, suma avută la finalul lunii era de 30 de milioane de euro,

astfel că dacă împărțim acest rezultat la 30 de milioane, obținem aproximativ 72.

Așadar, suma din varianta B este de 72 de ori mai mare decât cea din varianta A.

Vom reprezenta aceste sume printr-o diagramă pentru a evidenția diferența dintre cele două creșteri.

Dacă mergem pe varianta A, avem o creștere liniară pentru că suma inițială crește cu o valoare constantă.

Creșterea liniară este reprezentată de coloanele marcate cu roșu pe diagramă.

Creșterea liniară e o creștere treptată, în linie dreaptă.

În schimb, la varianta B avem o creștere exponențială, cea evidențiată cu verde,

pentru că în fiecare zi suma de bani crește cu un procent constant, procent care se aplică la suma din ziua precedentă.

Creșterea exponențială e mai lentă la început, dar de la un anumit nivel ea devine explozivă.

Așa cum se poate observa în tabel, până în ziua 23 inclusiv, sumele de pe coloana A sunt mai mari decât cele din coloana B.

Dar, începând cu ziua 24, sumele din coloana B înregistrează o creștere impresionantă, ajungând astfel ca la finalul lunii,

suma din ziua 30 în varianta exponențială să fie de 72 de ori mai mare decât cea din varianta liniară.

Să reținem că, în timp, rezultatul unei creșteri exponențiale e mult mai mare decât rezultatul unei creșteri liniare.

Înainte de a defini funcția exponențială, aș vrea să precizez următorul aspect.

Dacă a este un număr real strict pozitiv, iar x este un număr real, atunci întotdeauna a la puterea x va fi strict mai mare ca 0.

De exemplu, să considerăm un număr pozitiv 3. 3 la puterea a 2-a este 9 strict mai mare ca 0.

3 la puterea minus 2 este egal cu 1 supra 3 la a 2-a, egal cu 1 pe 9 strict mai mare ca 0.

3 la puterea 1 pe 2 este egal cu radical din 3 strict mai mare ca 0.

Sau 3 la puterea 0 este egal cu 1 strict mai mare ca 0.

Așadar, întotdeauna un număr strict pozitiv, ridicat la orice putere, va avea o valoare strict pozitivă.

Și acum putem să definim funcția exponențială.

Fie a un număr real strict pozitiv, a diferi de 1.

O funcție f, definită pe R cu valori în intervalul 0 plus infinit,

dată prin legea f de x, egal cu a la puterea x, se numește funcție exponențială de bază a.

Codomeniul este intervalul 0 plus infinit din considerentele menționate mai sus.

Se pune condiția ca numărul a să fie strict pozitiv, pentru că dacă am avea, de exemplu, numărul minus 3 la puterea 1 pe 2,

acesta ar conduce la radical din minus 3, iar în mulțimea numerelor reale nu există radical de ori din par dintr-un număr negativ.

Acesta este un număr complex, iar codomeniul funcției este o sumulțime a mulțimii numerelor reale.

Se pune condiția ca a să fie diferit de 1, pentru că 1 la orice putere x este egal cu 1.

Iar în cazul în care a este egal cu 1, am avea funcția f de x egal cu 1, iar aceasta este funcție constantă.

Așadar, funcția exponențială este o funcție în care baza este întotdeauna număr strict pozitiv și diferit de 1.

În caz particular al funcției exponențiale, cu numeroase aplicații practice, este funcția f de x egal cu e la puterea x.

e este numărul lui Euler, constantă matematică, având o valoare aproximativă egală cu 2,71.

În continuare, vom prezenta câteva proprietăți ale funcției exponențiale.

Să calculăm f de 0.

f de 0 va fi a la puterea 0.

Orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1.

Așadar, funcția exponențială are proprietatea că f de 0 este egal cu 1.

În consecință, punctul de coordonat de 0,1 aparține graficului acestei funcții.

Să studiem în continuare monotonia funcției exponențiale.

Avem două situații posibile.

Dacă a este mai mare ca 1, atunci funcția f de x egal cu a la x este o funcție strict crescătoare.

Iar în cazul în care a este mai mic decât 1, dar mai mare decât 0,

deci 0 este mai mic decât a și mai mic decât 1,

atunci funcția exponențială a la puterea x este o funcție strict descrescătoare.

Vom demonstra acest lucru pentru situația în care a este mai mare ca 1.

Cealaltă situație se demonstrează în mod analog.

Demonstrație.

Fie a mai mare ca 1 și considerăm x1 și x2 numere reale,

astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Dacă x1 este mai mic decât x2, atunci există c, o constantă reală strict pozitivă,

astfel încât x2 să fie egal cu x1 plus această constantă c.

Să calculăm acum f de x1 minus f de x2.

Vrem să stabilim semnul acestei diferențe.

f de x1 este egal cu a la x1, f de x2 este a la x2.

Egal în continuare cu a la x1 minus, în loc de x2 vom scrie x1 plus c.

Vom avea așadar a la puterea x1 plus c.

Egal cu a la x1 minus, aici folosim proprietățile puterilor și voi scrie a la x1 înmulțit cu a la c,

egal, dăm în continuare factor comun a la x1 pe lângă 1 minus a la c.

a la puterea x1 este strict mai mare ca 0.

Spuneam mai devreme că un număr strict pozitiv ridicat la o putere rămâne în continuare strict pozitiv.

Și acum să evaluăm semnul acestei diferențe din paranteză.

Având în vedere că a este mai mare ca 1 și c este mai mare ca 0, atunci a la puterea c va fi mai mare ca 1.

În consecință 1 minus a la puterea c va fi mai mic decât 0.

Așadar această diferență este strict negativă.

În consecință produsul va fi mai mic decât 0.

Am obținut că f de x1 minus f de x2 este mai mic decât 0.

În consecință f de x1 este mai mic decât f de x2.

Am pornit de la faptul că x1 este mai mic decât x2 și am arătat că f de x1 este mai mic decât f de x2.

Așadar putem trage concluzia că funcția f este strict crescătoare.

Dacă a este mai mic decât 1, demonstrația este asemănătoare cu excepția faptului că paranteza 1 minus a la c va fi mai mare decât 0.

Așadar diferența f de x1 minus f de x2 va fi mai mare ca 0. Așadar funcția va fi strict descrescătoare.

A treia proprietate, funcția f este bijectivă.

Am arătat mai sus că funcția este strict monotonă.

f este strict monotonă.

În consecință f este injectivă.

Demonstrația surjectivității funcției exponențiale necesită noțiunea de continuitate care se învață la analiza matematică în clasa A11.

Așadar această demonstrație depășește cunoștințele de clasa A10.

Însă intuitiv surjectivitatea funcției se poate vedea de pe graficul acesteia.

Așadar f este surjectivă.

În consecință f este bijectivă și inversabilă.

În continuare vom vedea câteva reprezentări grafice.

Avem în imagine reprezentarea geometrică a graficului funcției exponențiale 2 la puterea x.

Trasarea graficului acestei funcții se realizează prin puncte.

Am făcut un tabel de valori.

Astfel, pentru x luăm valoarea minus 2, f de x este egal cu 1 pe 4.

Pentru x egal cu minus 1, f de minus 1 este 1 pe 2.

Pentru x egal cu 0, f de 0 este 1.

Pentru x egal cu 1 funcția are valoarea 2.

Și pentru x egal cu 2, f de 2 este egal cu 4.

Unim aceste puncte printr-o linie continuă și vom ține cont de faptul că funcția exponențială este stricrescătoare în cazul în care baza este mai mare ca 1.

Se poate observa că graficul funcției se apropie din ce în ce mai mult de axa OX, însă nu o va intersecta niciodată.

Vom spune că axa OX este asimptotă orizontală pentru graficul funcției f.

Cum putem ști că graficul funcției nu intersectează niciodată axa OX?

Păi nu există niciun x pentru care f de x să fie egal cu 0.

Deci indiferent ce valoare are numărul x, 2 la puterea x nu va fi niciodată egal cu 0.

Axa OX este dreapta de ecuație Y egal cu 0.

Vom spune așadar că dreapta Y egal cu 0 este asimptotă orizontală spre minus infinit pentru graficul funcției f.

Pornind de la graficul funcției exponențiale 2 la puterea x, se poate realiza foarte ușor graficul funcției 2 la puterea x plus 1.

Graficul funcției 2 la puterea x va urca cu o unitate pe axa OY.

Astfel, dacă graficul funcției 2 la x trecea prin punctul de coordonate 0,1, atunci graficul funcției 2 la x plus 1 trece prin punctul de coordonate 0,2.

Așadar, graficul urcă cu o unitate pe axa OY.

Se poate observa că în această situație dreapta de ecuație Y egal cu 1 este asimptotă orizontală pentru graficul funcției f.

În această situație, codomeniul funcției se poate considera intervalul 1 plus infinit deschis la 1 pentru că graficul funcției este situat deasupra dreptei de ecuație Y egal cu 1.

Pornind tot de la graficul funcției 2 la puterea x, se poate trasa și graficul funcției 2 la puterea x minus 2.

Graficul funcției 2 la x coboară cu două unități pe axa OY.

Astfel, dacă graficul funcției 2 la x trece prin punctul de coordonate 0,1, atunci graficul funcției 2 la x minus 2 trece prin punctul de coordonate 0 și minus 1.

În acest caz, asimptota orizontală va fi dreapta de ecuație Y egal cu minus 2.

Iar codomeniul funcției se poate considera intervalul minus 2 plus infinit pentru că graficul acestei funcții este situat deasupra dreptei de ecuație Y egal cu minus 2.

Tot pornind de la graficul funcției 2 la x, se poate realiza graficul funcției 1 supra 2 la puterea x.

1 pe 2 la puterea x este același lucru cu 2 la minus 1 totul la x și egal cu 2 la minus x.

Graficele funcțiilor 2 la x și 2 la puterea minus x vor fi în oglindă, simetrice față de axa OY, pentru că x se înlocuiește cu minus x.

Iată, dacă reprezentăm cele două grafice în același reperc artezian, se poate observa că ele sunt în oglindă, iar axa OY este axă de simetrie.

Iar la final, să vedem și reprezentarea grafică a funcției exponențiale e la puterea x.

E este o constantă matematică, având o valoare aproximativă de 2,71. Considerăm 2,7 pentru a ușura calculele.

F de 1 înseamnă e la puterea întâi și egal cu 2,7, deci graficul trece prin punctul de coordonate 1 și 2,7.

Aici este 2,7.

Iar e la puterea minus 1 înseamnă 1 supra 2,7 și este aproximativ egal cu 0,37.

Deci graficul funcției trece prin punctul de coordonate minus 1 și 0,37.

Și această funcție este strict crescătoare pentru că baza, numărul e, este mai mare ca 1.

Pentru a trasa cât mai exact graficele acestor funcții prezentate, se recomandă și întocmirea unui tabel de valori.