Funcții monotone (aplicații)

În această lecție o să facem câteva exerciții în care vom studia monotonia unor funcții

și începem cu această funcție f definită pe r cu valori în r, f de x egal cu minus 3x plus 5.

Alegem două valori arbitrare din domeniul de definiție, fie x1, x2, numere reale, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Vom calcula diferența f de x1 minus f de x2.

Obținem minus 3x1 plus 5 minus minus 3x2 plus 5 egal cu minus 3x1 plus 3x2.

Îl dăm factor comun pe minus 3 pe lângă x1 minus x2.

Dacă x1 este mai mic decât x2, înseamnă că această diferență este negativă, iar cu minus 3 din față, acest produs devine pozitiv.

Prin urmare, f de x1 este mai mare decât f de x2,

iar din moment ce funcția f schimbă relația de ordine dintre argumente pentru valorile funcției,

înseamnă că aceasta este o funcție strict descrescătoare.

Continuăm cu al doilea exercițiu.

Avem funcția f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu x plus 2 dacă x este mai mic sau egal decât minus 3,

și x plus 5 dacă x este mai mare decât minus 3.

În cazul în care avem astfel de funcții definite pe ramuri, vom studia trei cazuri.

În primul caz, alegem cele două valori x1, x2 din primul interval, mai exact din intervalul minus infinit minus 3,

apoi alegem cele două valori din intervalul minus 3 plus infinit,

și în al treidea caz, alegem x1 din primul interval și x2 din al doilea interval.

Dacă funcția f va avea aceeași monotonie, vom putea să stabilim monotonia pe întreg domeniul de definiție R.

Așadar, începem cu primul caz.

Alegem x1, x2 din intervalul minus infinit minus 3, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Calculăm diferența f de x1 minus f de x2.

Și avem x1 plus 2 minus x2 plus 2.

Obținem x1 minus x2.

Dacă x1 este mai mic decât x2, această diferență este negativă,

prin urmare f de x1 este mai mic decât f de x2.

Observăm că funcția f păstrează relația de ordine dintre argumente și pentru valorile funcției,

așadar, funcția f este strict crescătoare pe acest interval minus infinit minus 3.

În al doilea caz, vom considera x1, x2 din intervalul minus 3 infinit,

astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Vom stabili semnul diferenței f de x1 minus f de x2.

Avem x1 plus 5 minus x2 plus 5.

Egal cu x1 minus x2.

Această diferență este negativă pentru că x1 este mai mic decât x2,

prin urmare f este strict crescătoare pe intervalul minus 3 infinit.

Și în al treilea caz, vom considera x1 mai mic sau egal decât minus 3

și x2 mai mare strict decât minus 3.

Haideți să adunăm la prima inequatie, numărul 2,

și obținem x1 plus 2 mai mic sau egal decât minus 1.

Dar x1 plus 2 este f de x1 mai mic sau egal decât minus 1.

La a doua inegalitate adunăm numărul 5

și avem x2 plus 5 mai mare strict decât 2.

Prin urmare f de x2 va fi strict mai mare decât 2.

Dacă f de x1 este mai mic sau egal decât minus 1 și f de x2 este mai mare strict decât 2,

putem trage concluzia că f de x1 este mai mic decât f de x2.

Prin urmare funcția f este strict crescătoare pe întreg domeniul de definiție R.

Următorul exercițiu.

Avem funcția f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu x la treia plus 7x plus 2.

Vă spuneam în filmul precedent că există două metode prin care putem să studiem monotonia funcțiilor,

iar a doua metodă presupune stabilirea semnului raportului de variație asociat funcției f.

Haideți să aplicăm această metodă pentru acest exercițiu.

Alegem așadar două valori, x1 și x2, din domeniul de definiție, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2

și vom calcula raportul f de x1 minus f de x2 supra x1 minus x2.

Obținem x1 la treia plus 7x1 plus 2 minus x2 la treia minus 7x2 minus 2 totul supra x1 minus x2.

Se reduce 2 cu minus 2.

Avem x1 la treia minus x2 la treia plus 7 pe lângă x1 minus x2 supra x1 minus x2 egal.

Vom descompune această diferență x1 la treia minus x2 la treia în factori folosind următoarea formulă

a la treia minus b la treia este egal cu a minus b pe lângă a pătrat plus ab plus b pătrat.

Aceasta este formula prin care putem să descompunem în factori diferența cuburilor a două numere reale.

Dacă nu știați această formulă, o știți acum.

Prin urmare avem la numărător x1 minus x2 pe lângă x1 la pătrat plus x1 x2 plus x2 la pătrat plus 7 pe lângă x1 minus x2 supra x1 minus x2.

Acum la numărător dăm factor comun pe x1 minus x2 și simplificăm cu expresia de la numitor.

În final obținem x1 la pătrat plus x1 x2 plus x2 la pătrat plus 7.

Și acum ar trebui să vedem ce semn are această expresie.

În forma în care este scrisă acum nu putem să stabilim semnul ei, așadar vom încerca să rescriem această expresie ca un pătrat perfect sau ca o sumă de pătrate perfecte.

Observăm că avem aici x1 la pătrat și x2 la pătrat.

Prin urmare ne putem gândi la următoarea formulă de calcul prescurtat.

a plus b totul la pătrat este egal cu a la a doua plus 2ab plus b la a doua.

Observăm că cele două relații se aseamănă puțin, însă în această formulă avem factorul 2 din fața produsului ab, iar aici lipsește acest factor.

Prin urmare, pentru a putea restrânge această sumă folosind această formulă de calcul prescurtat, ar trebui ca unul dintre acești termeni, x1 sau x2, să aibă numitorul 2.

Pentru că având numitorul 2, în momentul în care efectuăm produsul 2ab, adică 2x1x2, se simplifică 2 și aici rămâne x1x2.

Așadar vom scrie suma primilor trei termeni, astfel x1p2 plus x2 totul la pătrat.

Și acum să vedem dacă trebuie să mai adunăm sau să scădem niște termeni.

Haideți să calculăm acea sumă x1p2 plus x2 totul la pătrat.

Obținem x1 la a doua p4 plus 2x1p2x2 plus x2 la pătrat.

Se simplifică 2 cu 2, aceasta era și ideea, rămâne x1x2, cum avem și aici.

x2 la pătrat este ok, ca și mai sus, însă aici avem x1 la a doua p4, iar în expresia inițială aveam x1 la pătrat.

Asta înseamnă că trebuie să mai adunăm termenul 3x1 la pătrat supra 4.

Pentru că adunând x1 la pătrat pe 4 cu 3x1 la pătrat pe 4, obținem 4x1 la pătrat pe 4,

se simplifică 4 și în final ne rămâne x1 la a doua, deci exact ce avem aici.

Așadar, aici mai trebuie să adunăm 3x1 la pătrat pe 4 și mai avem acel 7.

Ați înțeles ceva? Bun, să continuăm atunci.

Aici avem un pătrat perfect, deci acest număr este pozitiv.

Aici avem x1 la pătrat, prin urmare și acest termen este pozitiv, la care se mai adună și numărul 7.

Prin urmare, toată această expresie va fi strict pozitivă.

Asta înseamnă că r este mai mare decât 0, deci raportul de variație al funcției este pozitiv.

Prin urmare, funcția f este strict crescătoare.

Și un ultim exercițiu.

Avem funcția f definită pe intervalul închis minus 3,6 cu valorin r, f de x egal cu 2 plus x pătrat.

Alegem două valori arbitrare, x1, x2, din intervalul minus 3,6, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Să calculăm f de x1 minus f de x2.

Avem 2 plus x1 la pătrat minus 2 minus x2 la pătrat.

Și obținem x1 la pătrat minus x2 la pătrat.

Acum descompunem în factori x1 minus x2 pe lângă x1 plus x2.

Știm că x1 minus x2 este negativ pentru că x1 este mai mic decât x2, însă nu putem preciza semnul acestei sume x1 plus x2,

pentru că x1 și x2 pot să fie numere atât pozitive cât și negative.

Așadar, nu putem să stabilim monotonia funcției pe întreg domeniul de definiție, pe intervalul minus 3,6.

Și atunci vom lua restricția acestei funcții la intervalul minus 3,0 și apoi la intervalul 0,6.

Așadar, vom stabili monotonia funcției pe intervale de monotonie.

În primul caz, vom considera x1 și x2 din intervalul minus 3,0, astfel încât x1 să fie strict mai mic decât x2.

În acest caz, numerele x1 și x2 sunt negative sau x2 ar putea fi și 0, însă oricum este mult mai ușor să stabilim semnul acestei sume.

Așadar, f de x1 minus f de x2 este egal cu x1 minus x2 pe lângă x1 plus x2.

Această diferență este negativă și suma x1 plus x2 este negativă.

Chiar dacă x2 ar fi 0, x1 fiind negativ, atunci această sumă este negativă.

Produsul este pozitiv, așadar f de x1 este mai mare decât f de x2.

Din moment ce funcția f schimbă relația de ordine dintre argumente pentru valorile funcției,

înseamnă că f este strict descrescătoare pe intervalul minus 3,0.

Să vedem ce se întâmplă în cazul în care x1 și x2 aparțin intervalului 0,6, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

f de x1 minus f de x2 este egal cu x1 minus x2 pe lângă x1 plus x2.

Diferența rămâne în continuare negativă, însă x1 și x2 sunt numere pozitive, așadar această sumă este pozitivă.

Produsul final va fi negativ, deci f de x1 este mai mic decât f de x2.

De aici putem să tragem concluzia că funcția f este strict crescătoare pe intervalul 0,6.

Așadar să reținem că atunci când nu putem stabili monotonia funcției pe întreg domeniul de definiție,

nu studiam monotonia funcției pe intervale de monotonie.