Funcții numerice

În lecția de față și pe parcursul lecțiilor următoare ne vom ocupa de studierea funcțiilor.

Fie A și B două mulțimi. O funcție este o lege sau un procedeu care asociază fiecărui element X din A un singur element Y din B.

Vom scrie f de X egal cu Y. Mulțimea A se numește domeniul de definiție al funcției, iar mulțimea B se numește codomeniu sau mulțimea în care funcția ia valori.

Elementul Y se numește valoarea funcției f în X sau imaginea lui X prin f. Elementul X se numește argumentul funcției sau preimaginea lui Y prin f.

O funcție este bine definită dacă se cunosc aceste trei elemente, domeniul de definiție, codomeniul și legea de corespondență care face conexiunea între domeniu și codomeniu.

Așa cum știți, funcțiile se pot defini sintetic sau analitic. Definirea sintetică se poate face printr-o diagramă sau tabel de valori,

iar definirea analitică printr-o formulă de calcul sau mai multe formule.

Discutăm în continuare despre funcții numerice.

O funcție f, definită pe a cu valori în b, se numește funcție numerică dacă a și b sunt submulțimi ale mulțimii numerelor reale.

Cu alte cuvinte, a și b ar putea fi, de exemplu, intervale sau mulțimea numerelor întregi sau mulțimea numerelor naturale sau chiar r.

Să vedem în continuare câteva exemple de funcții numerice.

Un prim exemplu, f, definită pe r cu valori în r, f de x egal cu x.

Al doilea exemplu, f, definită pe mulțimea numerelor naturale, cu valori în n, f de x egal cu x pătrat plus 1.

Și un al trelea exemplu, f, definită pe intervalul închis 1-2, cu valori în r, f de x egal cu radical din x supra 2.

Să dăm și un contraexemplu fără să mai scriem.

Dacă mulțimea a este mulțimea țărilor din Europa, iar b este mulțimea capitalelor,

atunci funcția care asociază fiecărei țări capitala corespunzătoare nu este o funcție numerică.

Haideți să vedem în continuare ce înțelegem prin graficul unei funcții.

Graficul unei funcții este mulțimea perechilor de forma x și f de x.

Unde x aparține mulțimii a. Notăm așadar această mulțime cu gf.

Graficul unei funcții se mai poate nota și astfel, mulțimea perechilor de forma xy,

unde x este element din domeniul de definiție, iar y este valoarea funcției în x.

Graficul unei funcții este o submulțime a produsului cartezian a or b.

Reprezentarea geometrică a graficul unei funcții este o submulțime de puncte din plan.

Să vedem concret un exemplu.

Iată, avem funcția f, definită pe mulțimea formată din elementele (-1, 0, 1, 2),

cu valori în (-2, 1, 3).

Definită sintetic prin acest tabel de valori, observăm așadar că f de (-1, 0, 1, 2),

f de 0 este egal cu 1, f de 1 este egal cu 3 și f de 2 este egal cu 3.

Prin urmare, graficul funcției f va fi mulțimea formată din aceste puncte (-1, -2, 0, 1, 1, 3 și 2, 3).

Pentru a reprezenta geometric graficul funcției f, vom reprezenta aceste patru puncte într-un sistem de coordonate x,y.

Vom reprezenta geometric graficul acestei funcții mai jos.

Iată, avem aici reprezentarea geometrică.

Am notat cu a punctul de coordonate (-1, -2), cu b punctul de coordonate 0,1, cu c punctul de coordonate 1,3 și cu d punctul de coordonate 2,3.

Observăm așadar că în acest caz graficul este format din punctele a, b, c și d, însă graficul unei funcții numerice poate fi și o dreaptă sau o semidreaptă, un segment sau o curbă.

Uneori este util să determinăm acele puncte în care curba intersectează axele de coordonate.

De exemplu, avem funcția f de x egal cu 3x plus 6, al carei grafic este reprezentat deja în imaginea alăturată.

În cazul în care s-ar cere de exemplu să calculăm area triunghiului determinat de graficul funcției f și axele de coordonate o,x și o,y, mai exact area triunghiului a,o,b,

atunci trebuie să determinăm coordonatele punctelor a și b pentru a afla lungimile segmentelor a,o și o,b.

Observăm că graficul funcției f intersectează axa o,x într-un punct de coordonate x și 0

pentru că punctul a fiind situat pe axa o,x are coordonata y egală cu 0

iar x se determină rezolvând ecuația f de x egal cu 0

iar graficul funcției f intersectează axa o,y într-un punct b de coordonate 0

acesta fiind situat pe axa o,y are coordonata x egală cu 0

și y unde y se obține calculând valoarea funcției f în punctul 0

concret haideți să determinăm valoarea lui x

rezolvăm ecuația f de x egal cu 0

f de x în cazul nostru este 3x plus 6 egal cu 0

obținem x egal cu minus 2

prin urmare punctul a va avea coordonatele minus 2 și 0

ca să-l aflăm pe y vom calcula valoarea funcției f în punctul 0

f de 0 este egal cu 3 ori 0 plus 6 și egal cu 6

prin urmare punctul b va avea coordonatele 0 și 6

unind cele două puncte a și b se obține reprezentarea grafică a funcției f

așadar este bine să reținem aceste condiții ce trebuie impuse

atunci când vrem să determinăm coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele OX și OY

condiția ca un punct M de coordonate XY să aparțină graficului funcției f

este ca f de x să fie egal cu y

de exemplu, haideți să verificăm dacă punctul M de coordonate minus 1,3

este situat pe graficul acestei funcții

trebuie să verificăm dacă f de minus 1 este egal cu 3

calculăm așadar f de minus 1

avem 3 ori minus 1 plus 6 minus 3 plus 6 egal cu 3

obținem așadar o relație adevărată

prin urmare punctul aparține graficului funcției

dacă vrem să-l reprezentăm în sistemul de axe XY

avem aici minus 1,1,2,3

aici este punctul M de coordonate minus 1,3

și observăm că acesta este situat pe graficul funcției f