Funcția de gradul I (aplicații)

În această lecție vom face câteva reprezentări grafice ale unor funcții definite pe ramuri,

iar la final vom studia monotonia unei funcții de gradul 1.

Și începem cu acest exercițiu mai simplu.

Se cere să reprezentăm grafic funcția f definită pe R cu valori în R,

f de x egal cu minus x plus 3, dacă x este mai mic sau egal cu 0,

și 1, dacă x este mai mare ca 0.

Vom face mai întâi tabelul de valori.

Avem x de la minus infinit la plus infinit.

Din moment ce funcția este definită pe ramuri,

vom trece separat în tabel cele două forme ale funcției,

așadar pe această linie avem funcția f de x egal cu minus x plus 3,

iar apoi f de x egal cu 1.

Vom calcula valorile funcției pentru x egal cu 0.

Trecem în tabel în special valoarea 0 de la care funcția își schimbă forma.

Pentru x egal cu 0 calculăm valoarea funcției minus x plus 3.

Avem 0 plus 3 egal cu 3.

Această funcție nu este definită pentru x mai mare ca 0,

prin urmare putem să barăm această zonă,

iar punctul de coordonate 0-3 aparține graficului.

Și mai avem nevoie de încă un punct.

Pentru a trasa graficul acestei funcții,

alegem x egal cu minus 1,

iar pentru x egal cu minus 1,

f de x este minus minus 1,

adică 1 plus 3, 4.

Așadar pentru prima funcție, pentru prima formă a funcției,

am găsit punctele a de coordonate 0-3

și b de coordonate minus 1 și 4.

Și acum avem nevoie de alte două puncte

pentru f de x egal cu 1.

Vom considera că în x egal cu 0 funcția ia valoarea 1,

chiar dacă această funcție nu este definită pentru x egal cu 0.

Vom considera că în punctul 0 funcția este egală cu 1,

iar acest punct de coordonate 0-1

nu aparține graficului funcției,

așadar vom pune aici o paranteză rotundă.

Și mai avem nevoie de încă o valoare

pentru a reprezenta grafic această funcție,

de exemplu, pentru x egal cu 2,

f de x este 1.

Funcția nu ia valor pentru x mai mic ca 0,

așadar putem să hașurăm această zonă.

Și am obținut punctul C de coordonate 0-1

și D de coordonate 2-1.

Și acum reprezentăm cele patru puncte

într-un sistem de axe XY.

Avem punctul A de coordonate 0-3.

Iată, aici este punctul A.

B de coordonate minus 1-4.

Aici este punctul B.

C de coordonate 0-1.

Și D de coordonate 2-1.

Aici avem punctul D.

Pentru a obține graficul funcției

f de x egal cu minus x plus 3,

unim punctele A și B.

Obținem astfel o semidreaptă.

Iată, punctul A de coordonate 0-3

aparține graficului funcției,

așadar aici o să avem o paranteză dreaptă.

Iar pentru a reprezenta grafic funcția

f de x egal cu 1,

o să unim punctele C și D.

Punctul C de coordonate 0-1

aparține graficului, așadar vom avea aici

o semidreaptă deschisă.

Continuăm cu al doilea exercițiu.

Iată, avem funcția f definită pe R

cu valori în R, f de x egal cu minus 2x minus 1

dacă x este mai mic decât minus 2

și 4x plus 3 dacă x este mai mare sau egal

decât minus 2.

Facem tabelul de valori.

Avem x de la minus infinit la plus infinit.

Trecem în tabel cele două forme ale funcției,

f de x egal cu minus 2x minus 1

și f de x egal cu 4x plus 3.

Trecem în tabel mai întâi valoarea minus 2

de la care funcția își schimbă forma.

Pentru prima lege a funcției,

f de x egal cu minus 2x minus 1,

vom calcula valoarea acesteia în punctul minus 2.

f de minus 2 va fi 4 minus 1, adică 3.

Și mai considerăm încă o valoare mai mică ca minus 2,

de exemplu minus 3.

Iar f de minus 3 va fi 6 minus 1, adică 5.

Punctul de coordonate minus 2, 3

nu aparține graficului funcției,

așadar o să avem o paranteză rotundă.

Chiar dacă funcția nu este definită pentru x egal cu minus 2,

am calculat totuși valoarea funcției

ca să vedem comportamentul acesteia la capătul intervalului.

Însă din moment ce x este mai mic strict decât minus 2,

vom pune aici o paranteză rotundă

și vom considera că punctul de coordonate minus 2, 3

nu aparține graficului funcției.

Această funcție minus 2x minus 1

nu este definită pentru valori mai mari ca minus 2,

așadar putem să hașurăm această porțiune.

Și acum calculăm valoarea funcției

f de x egal cu 4x plus 3

pentru x egal cu minus 2.

Avem minus 8 plus 3 minus 5.

Punctul de coordonate minus 2 minus 5

aparține graficului funcției,

așadar avem aici o paranteză dreaptă

și mai luăm încă o valoare mai mare decât minus 2, 0.

f de 0 va fi 3.

Această funcție 4x plus 3

nu este definită pentru valori mai mici decât minus 2.

Așadar am obținut punctele

a de coordonate minus 2, 3

b de coordonate minus 3, 5

acestea sunt pentru prima formă a funcției

apoi c de coordonate minus 2 minus 5

și d de coordonate 0, 3.

Reprezentăm aceste puncte într-un sistem de axe.

a de coordonate minus 2, 3

aici avem punctul a

b de coordonate minus 3, 5

aici este punctul b

c de coordonate minus 2 minus 5

aici este minus 5

aici avem punctul c și d de coordonate 0 și 3

aici este punctul d.

Graficul funcției f de x egal cu minus 2x minus 1

va fi o semidreaptă.

Iată-o!

Punctul a de coordonate minus 2, 3

nu aparține graficului funcției

așadar aici avem o paranteză rotundă.

Iar pentru funcția f de x egal cu 4x plus 3

avem celelalte două puncte, c și d.

Funcția ea a valori mai mari ca minus 2

așadar graficul acesteia

va fi situat în partea dreaptă a lui minus 2

deci în acest semiplan.

Iar graficul ei se obține unind punctele c și d.

Punctul c de coordonate minus 2 minus 5

aparține graficului

deci aici avem o paranteză dreaptă.

Vă spuneam în lecția trecută

că monotonia funcției de gradul întâi

este dată de semnului a.

Iată, pentru prima funcție a este minus 2

așadar negativ

prin urmare funcția este descrescătoare.

Iată, această semidreaptă coboară

iar pentru funcția f de x egal cu 4x plus 3

coeficientul lui x este pozitiv

prin urmare funcția este crescătoare

deci semidreaptă aceasta urcă.

Următorul exercițiu

se cere să reprezentăm grafic funcția f

definită pe r cu valori în r

f de x egal cu 2x dacă x este mai mic decât minus 1

minus 3x plus 4

dacă x aparține intervalului minus 1,1

și 4x minus 2

dacă x este mai mare sau egal decât 1.

Facem tabelul de valori.

Avem x de la minus infinit la plus infinit.

Prima funcție f de x egal cu 2x

apoi f de x egal cu minus 3x plus 4

și f de x egal cu 4x minus 2.

Trecem în tabel mai întâi valorile acestea

de la care funcția își schimbă forma

minus 1 și 1.

Funcția f de x egal cu 2x nu este definită

pentru x egal cu minus 1

totuși vom calcula valoarea funcției

pentru minus 1

ca să vedem comportamentul funcției

la capătul intervalului.

Așadar f de minus 1 este minus 2

apoi mai alegem o valoare pentru x

mai mică decât minus 1

de exemplu minus 2.

f de minus 2 va fi minus 4.

Punctul de coordonate minus 1, minus 2

nu aparține graficului funcției

așadar vom pune o paranteză rotundă

și funcția nu este definită

pentru valori mai mari decât minus 1.

Trecem la a doua formă a funcției.

Avem f de x egal cu minus 3x plus 4.

Din moment ce x ia valori cuprinse

între minus 1 și 1

putem să hașurăm zona din afară

a acestui interval.

f de minus 1 va fi

minus 3 ori minus 1

adică 3 plus 4, 7.

Iar aici vom pune o paranteză dreaptă

pentru că x poate lua valoarea minus 1.

Deci punctul de coordonate minus 1, 7

o să aparțină graficului funcției.

Iar pentru x egal cu 1

avem minus 3 plus 4, 1.

1 nu aparține acestui interval

prin urmare nici punctul de coordonate 1, 1

nu o să aparțină graficului funcției

așadar vom pune aici o paranteză rotundă.

Apoi avem funcția f de x egal cu 4x minus 2.

Pentru x egal cu 1 avem 4 minus 2, 2.

Funcția nu ia valori pentru x mai mic ca 1

așadar o să hașurăm această porțiune

și mai alegem încă o valoare mai mare decât 1

de exemplu 2.

Iar f de 2 este 8 minus 2, 6.

Din moment ce x poate lua și valoarea 1

aici o să avem o paranteză dreaptă.

Așadar am obținut următoarele puncte

a de coordonate minus 1, minus 2

b de coordonate minus 2, minus 4

c de coordonate minus 1, 7

d de coordonate 1, 1

și e de coordonate 1, 2

f de coordonate 2, 6.

Poate că era mai bine dacă le scria mai jos.

Avem punctul a de coordonate minus 1, minus 2

iată aici este punctul a

b de coordonate minus 2, minus 4

aici este minus 4

aici avem punctul b

c de coordonate minus 1, 7

aici avem punctul c

d de coordonate 1, 1

aici este punctul d

e de coordonate 1, 2

f de coordonate 2, 6

iată aici este punctul f

și acum să trasăm prima semidreaptă

unind punctele a și b

pe prima ramură am avut funcția f de x egal cu 2x

această funcție este crescătoare

acesta este graficul funcției

iar aici avem o paranteză rotundă

pentru că punctul de coordonate minus 1, 2

nu aparține graficului funcției

aici era punctul a și aici punctul b

graficul funcției minus 3x plus 4

va fi un segment

acesta se obține unind punctele c și d

punctul de coordonate minus 1, 7

aparține graficului

deci aici o să avem o paranteză dreaptă

iar punctul de coordonate 1, 1

nu aparține graficului

așadar aici vom avea o paranteză rotundă

iar la final trebuie să mai reprezentăm grafic

funcția f de x egal cu 4x minus 2

punctul de coordonate 1, 2

adică punctul e aparține graficului

avem iarăși o funcție crescătoare

deci această semidreaptă urcă

iar aici o să avem o paranteză dreaptă

am terminat cu graficele

mai avem un ultim exercițiu în care studiem monotonia unei funcții

studiați monotonia funcției f definită pe r

cu valorin r

f de x egal cu 3m minus 6x minus 5

unde m este un parametru real

vă spuneam în lecția trecută

că monotonia funcției de gradul 1

depinde de semnului a

a este coeficientului x

în acest caz a este 3m minus 6

dacă a este pozitiv

funcția este strict crescătoare

așadar monotonia funcției

depinde de semnului a

iar în acest caz a este egal cu 3m minus 6

așadar vom avea două situații posibile

în primul caz

dacă 3m minus 6 este pozitiv

adică 3m este mai mare ca 6

asta înseamnă că m este negativ

dacă 3m este mai mare ca 2

în această situație m

aparține intervalului 2 infinit

iar funcția este strict crescătoare

și a doua situație posibilă

dacă 3m minus 6 este negativ

adică 3m este mai mic decât 6

m aparține intervalului

minus infinit 2

în această situație funcția este

strict descrescătoare

nu studiem cazul în care m este egal cu 2

pentru că dacă m ar fi egal cu 2

se anulează termenul care îl conține pe x

și nu mai avem o funcție de gradul 1

avem o funcție constantă