Transcript: Funcția de gradul I (aplicații)

În această lecție vom face câteva reprezentări grafice ale unor funcții definite pe ramuri,
iar la final vom studia monotonia unei funcții de gradul 1.
Și începem cu acest exercițiu mai simplu.
Se cere să reprezentăm grafic funcția f definită pe R cu valori în R,
f de x egal cu minus x plus 3, dacă x este mai mic sau egal cu 0,
și 1, dacă x este mai mare ca 0.
Vom face mai întâi tabelul de valori.
Avem x de la minus infinit la plus infinit.
Din moment ce funcția este definită pe ramuri,
vom trece separat în tabel cele două forme ale funcției,
așadar pe această linie avem funcția f de x egal cu minus x plus 3,
iar apoi f de x egal cu 1.
Vom calcula valorile funcției pentru x egal cu 0.
Trecem în tabel în special valoarea 0 de la care funcția își schimbă forma.
Pentru x egal cu 0 calculăm valoarea funcției minus x plus 3.
Avem 0 plus 3 egal cu 3.
Această funcție nu este definită pentru x mai mare ca 0,
prin urmare putem să barăm această zonă,
iar punctul de coordonate 0-3 aparține graficului.
Și mai avem nevoie de încă un punct.
Pentru a trasa graficul acestei funcții,
alegem x egal cu minus 1,
iar pentru x egal cu minus 1,
f de x este minus minus 1,
adică 1 plus 3, 4.
Așadar pentru prima funcție, pentru prima formă a funcției,
am găsit punctele a de coordonate 0-3
și b de coordonate minus 1 și 4.
Și acum avem nevoie de alte două puncte
pentru f de x egal cu 1.
Vom considera că în x egal cu 0 funcția ia valoarea 1,
chiar dacă această funcție nu este definită pentru x egal cu 0.
Vom considera că în punctul 0 funcția este egală cu 1,
iar acest punct de coordonate 0-1
nu aparține graficului funcției,
așadar vom pune aici o paranteză rotundă.
Și mai avem nevoie de încă o valoare
pentru a reprezenta grafic această funcție,
de exemplu, pentru x egal cu 2,
f de x este 1.
Funcția nu ia valor pentru x mai mic ca 0,
așadar putem să hașurăm această zonă.
Și am obținut punctul C de coordonate 0-1
și D de coordonate 2-1.
Și acum reprezentăm cele patru puncte
într-un sistem de axe XY.
Avem punctul A de coordonate 0-3.
Iată, aici este punctul A.
B de coordonate minus 1-4.
Aici este punctul B.
C de coordonate 0-1.
Și D de coordonate 2-1.
Aici avem punctul D.
Pentru a obține graficul funcției
f de x egal cu minus x plus 3,
unim punctele A și B.
Obținem astfel o semidreaptă.
Iată, punctul A de coordonate 0-3
aparține graficului funcției,
așadar aici o să avem o paranteză dreaptă.
Iar pentru a reprezenta grafic funcția
f de x egal cu 1,
o să unim punctele C și D.
Punctul C de coordonate 0-1
aparține graficului, așadar vom avea aici
o semidreaptă deschisă.
Continuăm cu al doilea exercițiu.
Iată, avem funcția f definită pe R
cu valori în R, f de x egal cu minus 2x minus 1
dacă x este mai mic decât minus 2
și 4x plus 3 dacă x este mai mare sau egal
decât minus 2.
Facem tabelul de valori.
Avem x de la minus infinit la plus infinit.
Trecem în tabel cele două forme ale funcției,
f de x egal cu minus 2x minus 1
și f de x egal cu 4x plus 3.
Trecem în tabel mai întâi valoarea minus 2
de la care funcția își schimbă forma.
Pentru prima lege a funcției,
f de x egal cu minus 2x minus 1,
vom calcula valoarea acesteia în punctul minus 2.
f de minus 2 va fi 4 minus 1, adică 3.
Și mai considerăm încă o valoare mai mică ca minus 2,
de exemplu minus 3.
Iar f de minus 3 va fi 6 minus 1, adică 5.
Punctul de coordonate minus 2, 3
nu aparține graficului funcției,
așadar o să avem o paranteză rotundă.
Chiar dacă funcția nu este definită pentru x egal cu minus 2,
am calculat totuși valoarea funcției
ca să vedem comportamentul acesteia la capătul intervalului.
Însă din moment ce x este mai mic strict decât minus 2,
vom pune aici o paranteză rotundă
și vom considera că punctul de coordonate minus 2, 3
nu aparține graficului funcției.
Această funcție minus 2x minus 1
nu este definită pentru valori mai mari ca minus 2,
așadar putem să hașurăm această porțiune.
Și acum calculăm valoarea funcției
f de x egal cu 4x plus 3
pentru x egal cu minus 2.
Avem minus 8 plus 3 minus 5.
Punctul de coordonate minus 2 minus 5
aparține graficului funcției,
așadar avem aici o paranteză dreaptă
și mai luăm încă o valoare mai mare decât minus 2, 0.
f de 0 va fi 3.
Această funcție 4x plus 3
nu este definită pentru valori mai mici decât minus 2.
Așadar am obținut punctele
a de coordonate minus 2, 3
b de coordonate minus 3, 5
acestea sunt pentru prima formă a funcției
apoi c de coordonate minus 2 minus 5
și d de coordonate 0, 3.
Reprezentăm aceste puncte într-un sistem de axe.
a de coordonate minus 2, 3
aici avem punctul a
b de coordonate minus 3, 5
aici este punctul b
c de coordonate minus 2 minus 5
aici este minus 5
aici avem punctul c și d de coordonate 0 și 3
aici este punctul d.
Graficul funcției f de x egal cu minus 2x minus 1
va fi o semidreaptă.
Iată-o!
Punctul a de coordonate minus 2, 3
nu aparține graficului funcției
așadar aici avem o paranteză rotundă.
Iar pentru funcția f de x egal cu 4x plus 3
avem celelalte două puncte, c și d.
Funcția ea a valori mai mari ca minus 2
așadar graficul acesteia
va fi situat în partea dreaptă a lui minus 2
deci în acest semiplan.
Iar graficul ei se obține unind punctele c și d.
Punctul c de coordonate minus 2 minus 5
aparține graficului
deci aici avem o paranteză dreaptă.
Vă spuneam în lecția trecută
că monotonia funcției de gradul întâi
este dată de semnului a.
Iată, pentru prima funcție a este minus 2
așadar negativ
prin urmare funcția este descrescătoare.
Iată, această semidreaptă coboară
iar pentru funcția f de x egal cu 4x plus 3
coeficientul lui x este pozitiv
prin urmare funcția este crescătoare
deci semidreaptă aceasta urcă.
Următorul exercițiu
se cere să reprezentăm grafic funcția f
definită pe r cu valori în r
f de x egal cu 2x dacă x este mai mic decât minus 1
minus 3x plus 4
dacă x aparține intervalului minus 1,1
și 4x minus 2
dacă x este mai mare sau egal decât 1.
Facem tabelul de valori.
Avem x de la minus infinit la plus infinit.
Prima funcție f de x egal cu 2x
apoi f de x egal cu minus 3x plus 4
și f de x egal cu 4x minus 2.
Trecem în tabel mai întâi valorile acestea
de la care funcția își schimbă forma
minus 1 și 1.
Funcția f de x egal cu 2x nu este definită
pentru x egal cu minus 1
totuși vom calcula valoarea funcției
pentru minus 1
ca să vedem comportamentul funcției
la capătul intervalului.
Așadar f de minus 1 este minus 2
apoi mai alegem o valoare pentru x
mai mică decât minus 1
de exemplu minus 2.
f de minus 2 va fi minus 4.
Punctul de coordonate minus 1, minus 2
nu aparține graficului funcției
așadar vom pune o paranteză rotundă
și funcția nu este definită
pentru valori mai mari decât minus 1.
Trecem la a doua formă a funcției.
Avem f de x egal cu minus 3x plus 4.
Din moment ce x ia valori cuprinse
între minus 1 și 1
putem să hașurăm zona din afară
a acestui interval.
f de minus 1 va fi
minus 3 ori minus 1
adică 3 plus 4, 7.
Iar aici vom pune o paranteză dreaptă
pentru că x poate lua valoarea minus 1.
Deci punctul de coordonate minus 1, 7
o să aparțină graficului funcției.
Iar pentru x egal cu 1
avem minus 3 plus 4, 1.
1 nu aparține acestui interval
prin urmare nici punctul de coordonate 1, 1
nu o să aparțină graficului funcției
așadar vom pune aici o paranteză rotundă.
Apoi avem funcția f de x egal cu 4x minus 2.
Pentru x egal cu 1 avem 4 minus 2, 2.
Funcția nu ia valori pentru x mai mic ca 1
așadar o să hașurăm această porțiune
și mai alegem încă o valoare mai mare decât 1
de exemplu 2.
Iar f de 2 este 8 minus 2, 6.
Din moment ce x poate lua și valoarea 1
aici o să avem o paranteză dreaptă.
Așadar am obținut următoarele puncte
a de coordonate minus 1, minus 2
b de coordonate minus 2, minus 4
c de coordonate minus 1, 7
d de coordonate 1, 1
și e de coordonate 1, 2
f de coordonate 2, 6.
Poate că era mai bine dacă le scria mai jos.
Avem punctul a de coordonate minus 1, minus 2
iată aici este punctul a
b de coordonate minus 2, minus 4
aici este minus 4
aici avem punctul b
c de coordonate minus 1, 7
aici avem punctul c
d de coordonate 1, 1
aici este punctul d
e de coordonate 1, 2
f de coordonate 2, 6
iată aici este punctul f
și acum să trasăm prima semidreaptă
unind punctele a și b
pe prima ramură am avut funcția f de x egal cu 2x
această funcție este crescătoare
acesta este graficul funcției
iar aici avem o paranteză rotundă
pentru că punctul de coordonate minus 1, 2
nu aparține graficului funcției
aici era punctul a și aici punctul b
graficul funcției minus 3x plus 4
va fi un segment
acesta se obține unind punctele c și d
punctul de coordonate minus 1, 7
aparține graficului
deci aici o să avem o paranteză dreaptă
iar punctul de coordonate 1, 1
nu aparține graficului
așadar aici vom avea o paranteză rotundă
iar la final trebuie să mai reprezentăm grafic
funcția f de x egal cu 4x minus 2
punctul de coordonate 1, 2
adică punctul e aparține graficului
avem iarăși o funcție crescătoare
deci această semidreaptă urcă
iar aici o să avem o paranteză dreaptă
am terminat cu graficele
mai avem un ultim exercițiu în care studiem monotonia unei funcții
studiați monotonia funcției f definită pe r
cu valorin r
f de x egal cu 3m minus 6x minus 5
unde m este un parametru real
vă spuneam în lecția trecută
că monotonia funcției de gradul 1
depinde de semnului a
a este coeficientului x
în acest caz a este 3m minus 6
dacă a este pozitiv
funcția este strict crescătoare
așadar monotonia funcției
depinde de semnului a
iar în acest caz a este egal cu 3m minus 6
așadar vom avea două situații posibile
în primul caz
dacă 3m minus 6 este pozitiv
adică 3m este mai mare ca 6
asta înseamnă că m este negativ
dacă 3m este mai mare ca 2
în această situație m
aparține intervalului 2 infinit
iar funcția este strict crescătoare
și a doua situație posibilă
dacă 3m minus 6 este negativ
adică 3m este mai mic decât 6
m aparține intervalului
minus infinit 2
în această situație funcția este
strict descrescătoare
nu studiem cazul în care m este egal cu 2
pentru că dacă m ar fi egal cu 2
se anulează termenul care îl conține pe x
și nu mai avem o funcție de gradul 1
avem o funcție constantă