Funcții bijective

Vom discuta în acest videoclip despre funcții bijective. O funcție se numește bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.

Vă reamintesc că o funcție este injectivă dacă argumente distincte generează imagini distincte.

La funcții injective putem întâlni situația în care un element din codomeniu nu este imaginea niciunui argument.

Pentru ca o funcție să fie injectivă, este necesar ca numărul elementelor mulțimii A să fie mai mic sau egal decât numărul elementelor mulțimii B.

Așadar are loc relația cardinalul mulțimii A mai mic sau egal decât cardinalul mulțimii B.

Dacă o funcție este injectivă, atunci orice paralelă ducem la axa OX prin elementele codomeniului va intersecta graficul funcției în cel mult un punct.

Asta înseamnă că ecuația f de x egal cu y va avea cel mult o soluție.

O funcție este surjectivă dacă pentru orice element Y din B există cel puțin un X în A astfel încât f de x egal cu y.

La funcții surjective este acceptată situația în care două elemente distincte ale domeniului generează aceeași imagine.

Pentru ca o funcție să fie surjectivă este necesar ca numărul elementelor mulțimii A să fie mai mare sau egal decât numărul elementelor mulțimii B.

Așadar are loc relația cardinalul mulțimii A mai mare sau egal cu cardinalul mulțimii B.

Dacă o funcție este surjectivă atunci orice paralelă ducem la X sau OX prin elementele codomeniului va intersecta graficul funcției în cel puțin un punct.

Asta înseamnă că ecuația f de x egal cu y are cel puțin o soluție.

O funcție este bijectivă sau bijecție dacă este atât injectivă cât și surjectivă.

Altfel spus, pentru fiecare element Y din B avem exact un element X din A astfel încât f de x să fie egal cu y.

Pentru ca o funcție să fie bijectivă este necesar ca numărul elementelor mulțimii A să fie egal cu numărul elementelor mulțimii B.

Orice paralelă ducem la X sau OX prin elementele codomeniului va intersecta graficul funcției în exact un punct adică ecuația f de x egal cu y are exact o soluție.

O funcție nu este bijectivă dacă nu este injectivă sau nu este surjectivă.

Să rezolvăm în continuare un exercițiu.

Să se studieze bijectivitatea funcției f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu 2x plus 1 dacă x este mai mic sau egal cu 0 și x pătra plus 1 dacă x este mai mare ca 0.

Trebuie să verificăm dacă această funcție este injectivă și surjectivă.

Pentru început studiem injectivitatea.

Există mai multe metode prin care putem studia injectivitatea unei funcții.

Pentru acest exercițiu aleg să studiez monotonia.

Dacă reușim să demonstrăm că funcția este strict monotonă, atunci ea este injectivă.

Pe intervalul minus infinit 0 avem o funcție de gradul întâi cu coeficientul x pozitiv, așadar pe acest interval funcția f este strict crescătoare.

Pe intervalul 0 infinit funcția este de asemenea strict crescătoare.

Să notăm aceste relații cu 1 și 2.

Și acum vom alege x1 din intervalul minus infinit 0 și x2 din intervalul 0 infinit.

Se poate observa că x1 este strict mai mic decât x2.

Și acum să calculăm diferența f de x1 minus f de x2.

Vom avea 2x1 plus 1 minus x2 la pătrat minus 1.

Egal cu 2x1 minus x2 la pătrat.

Dacă x1 este mai mic sau egal cu 0, atunci 2x1 va fi mai mic sau egal cu 0.

x2 este strict pozitiv, așadar x2 la pătrat va fi strict pozitiv.

În consecință această diferență va fi strict negativă.

Deducem de aici că f de x1 este strict mai mic decât f de x2.

Notez această relație cu 3.

Din relațiile 1, 2 și 3, deducem că funcția f este strict crescătoare pe R.

În consecință f este injectivă.

În continuare vom studia surjectivitatea acestei funcții.

Mai întâi studiem cazul în care x este mai mic sau egal cu 0.

Vrem să vedem dacă ecuația 2x plus 1 egal cu y are soluție.

Obținem de aici x egal cu y minus 1 supra 2.

Dacă x este mai mic sau egal cu 0, atunci trebuie să punem această condiție și asupra valorii pe care am obținut-o.

Așadar vom pune condiția ca y minus 1 supra 2 să fie mai mic sau egal cu 0.

Obținem de aici y mai mic sau egal cu 1.

Am arătat astfel că pentru orice y mai mic sau egal cu 1 există un x și acesta este y minus 1 supra 2,

astfel încât f de x să fie egal cu y.

Să vedem ce se întâmplă dacă x este strict pozitiv.

Rezolvăm ecuația x la pătrat plus 1 egal cu y.

Obținem x la pătrat egal cu y minus 1.

x ar fi egal cu plus minus radical din y minus 1, dar având în vedere că x este strict pozitiv, soluția va fi radical din y minus 1.

Și aici vom pune condiția ca radical din y minus 1 să fie strict pozitiv.

Asta înseamnă că y este strict mai mare ca 1.

Am arătat astfel că pentru orice y strict mai mare ca 1 există un x și acesta este radical din y minus 1,

astfel încât f de x să fie egal cu y.

Din cele două relații, 1 și 2,

deducem că oricare ar fi y număr real, există un x număr real, astfel încât f de x să fie egal cu y.

În consecință, funcția este surjectivă.

Având în vedere că funcția este injectivă și surjectivă, rezultă f bijectivă.