Tabelul de variație și monotonia funcției de gradul II

În această lecție vom face funcția de gradul al doilea și anume tabelul de variație și monotonia acesteia.

Fie funcția f definită pe r cu valori în r cu f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c.

Așa după cum am discutat în lecția precedentă, o funcție de gradul al doilea are un mod specific de reprezentare a parabolei,

practica graficului funcției, în funcție de valoarea coeficientului a real diferit de 0.

Astfel, pentru a pozitiv, graficul era convex și dacă vă aduceți aminte spuneam ține apă,

respectiv pentru a mai mic decât 0, deci negativ, graficul este concav sau parabola este concavă

și nu ține apă, deci ține apă, respectiv nu ține apă.

Pentru a face o discuție teoretică și practică asupra monotoniei și a tabelului de variație corespunzătoare funcțiilor de gradul al doilea,

este necesar să observați sau să vizualizați că atunci când A-ul este pozitiv, graficul este convex,

funcția de gradul al doilea are un punct de minim, adică parabola coboară până la un anumit punct,

după care aceasta urcă sau reprezentarea grafică este făcută astfel încât, așa cum vă spuneam, să coboare până la un anumit punct,

respectiv să urce în continuare de la acel punct către, o să vedeți, plus infinit.

Așa cum arăt punctul de pe parabola până la care se coboară și de la care practic se urcă.

În cazul în care vorbim de A pozitiv, putem să comentăm în mod cert că punctul la care se coboară și, respectiv, de la care se urcă,

este punct de minim, punctul de care comentam aici în mod teoretic.

În mod teoretic îl numim, acest punct de minim, valoarea minimă a funcției f.

Pe exact același principiu, atunci când A este negativ, graficul este concav, funcția de gradul al doilea are punct de maxim,

adică parabola urcă până într-un punct, după care coboară.

Exact ce va arăta. Nu ține apă, urcă până la acest punct, coboară de la acest punct.

Astfel că acesta este un punct de maxim, iar în mod teoretic îl numim, pe acest punct, valoare maximă a funcției f.

În mod clar, în acest moment, întrebarea logică ce trebuie pusă este,

cum se determină matematic sau teoretic acest punct, punctul maxim sau minim, după caz?

Răspunsul la această întrebare implică două noțiuni teoretice importante,

și anume, vârful parabolei, notați cu V și forma canonică a funcției f.

Ca orice punct al graficului reprezentat în sistem cartezian XY, punctul V, deci vârful, are două coordonate,

x-vârf, numit abscisă, dacă vă amintiți, și y-vârf, numit ordonată.

Astfel, vârful de coordonate x-vârf, y-vârf, este, de fapt, punctul de minim, dacă a este pozitiv,

sau punctul de maxim, dacă a este negativ.

Coordonatele vârfului x-vârf, respectiv y-vârf, deci, așa cum spuneam, abscisă, respectiv ordonată,

sunt determinate, în mod teoretic și practic, din forma canonică a funcției f.

Astfel, funcția f, definită pe R cu valori în R, cu f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c,

are forma canonică f de x egal cu a pe lângă x plus b supra 2a la pătrat plus minus delta supra 4a.

O verificare a acestui aspect teoretic, și mai clar, a formei canonice,

constă în a calcula, dacă vreți, forma canonică, a dezvolta forma canonică,

și a verifica dacă aceasta duce la forma clasică a descrierea funcției de gradul al doi.

Și atunci, avem a pe lângă x plus b supra 2a totul la pătrat plus minus delta supra 4a

egal cu a, aul nostru, da?

Am ridicat la pătrat însemnând x pătrat.

Vă aduceți aminte că aveți formulă clară cu a plus b la pătrat,

care înseamnă, în realitate, a pătrat plus 2ab plus b pătrat.

Formulă pe care o aplic.

Formulă de calcul prescurtat.

Și atunci, x pătrat plus 2 ori x ori b supra 2a, acesta fiind b-ul nostru din formulă, da?

Am închis, evident, paranteza plus l-am copiat.

În aceste condiții, n-am făcut decât să desfac paranteza, adică a ori x pătrat plus a ori 2 ori x ori b supra 2a

plus b pătrat supra 4a pătrat, înmulțit cu a, se va reduce a cu a pătrat și atunci rămâne b pătrat supra 4a.

În aceste condiții, văd clar că 2 se simplifică cu 2, a se simplifică cu a și, mai mult decât atât, în continuare, traduc ceea ce înseamnă delta.

Mai clar, b pătrat minus 4ac.

Astfel, obținem ax pătrat, așa cum v-am spus aici, s-a redus și a rămas xb, deci pot să scriu bx, da?

Și, pentru că am același numitor pentru aceste două fracții, le pot scrie sub același numitor într-o aceiași fracție.

Și atunci am b pătrat minus b pătrat, minus în fața parantezei schimbă semnele tuturor terminurilor din paranteză,

dar pentru că are minus cu minus de aici, e plus 4ac, ceea ce înseamnă că, după ce am redus b pătrat cu b pătrat, vedeți, ar fi 0,

obțin ax pătrat plus bx plus, spuneam am redus, rămâne 4ac supra 4a.

În mod concret, 4a cu 4a se reduce și atunci obțin fără doar și poate ax pătrat plus bx plus c.

Observați, aceasta este forma canonică, aceasta este forma standard la care este dată orice funcție de gradul al doilea.

Deci, e corect să afim că forma canonică a funcției f este dată de această formulă.

Din forma canonică a funcției de gradul al doilea se poate determina ușor abscisa, respectiv ordonata vârfului parabolei.

Astfel, din forma canonică f de x egal cu a pe lângă x plus b supra 2a la pătrat plus minus delta supra 4a,

prin egalarea acestui termen cu 0, o să-mi rezulte în realitate că x plus b supra 2a la pătrat este 0,

pentru că a-ul din start este diferit de 0.

Vă aduceți aminte că orice funcție de gradul al doilea are a real diferit de 0.

Pentru ca un pătrat să facă 0, fără doar și poate, valoarea ridicată la pătrat este 0.

De aici se scoate x egal cu minus b supra 2a prin trecerea în partea cealaltă a termenului b supra 2a cu evident semn contrar.

În acest moment pot să afirm că x vârf sau abscisa vârfului este minus b supra 2a determinată aici.

Pentru a determina ordonata vârfului, va trebui să calculăm pentru x vârf determinat minus b supra 2a f de x vârf,

care, fără doar și poate, va duce la obținerea ordonate, așa cum am spus, adică a lui y vârf minus delta supra 4a.

De ce? Pentru că a din formulă cu x plus b supra 2a totul la pătrat este 0.

Evident, va fi înlocuit. a ori 0 este 0. Deci aici obțin 0.

Pentru care, fără doar și poate, y vârf rămâne minus delta supra 4a.

Sunt în măsură garantat să afirm că vârful este de coordonate minus b supra 2a, respectiv minus delta supra 4a.

În continuare, în acest moment sunt în măsură să afirm că, atunci când a este pozitiv, funcția f definită pe R cu valori in R,

cu f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c, vă reamintesc, a, b, c, valori reale cu a diferit de 0,

admite punct de minim v mare de coordonate x vârf, y vârf cu x vârf minus b supra 2a și y vârf minus delta supra 4a.

În plus, pot să afirm, fără discuții, că funcția este strict descrescătoare, adică, așa cum v-am arătat mai devreme,

care coboară pe intervalul minus infinit minus b supra 2a și este strict crescătoare, iar vin și spun cum v-am arătat mai devreme,

urcă, cum vă evidențiam pe grafic, pe intervalul minus b supra 2a plus infinit.

În aceeași ordine de idei, atunci când a este negativ, funcția f definită pe R cu valori in R, cu f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c,

admite punct de maxim v de coordonate x vârf, y vârf cu x vârf minus b supra 2a și y vârf minus delta supra 4a

și, în mod concret, funcția este strict crescătoare, adică urcă, pe intervalul minus infinit minus b supra 2a și este strict descrescătoare,

sau coboară, așa cum afirmam, pe intervalul minus b supra 2a plus infinit.

Sub forma unui tabel, numit tabel de variație, se pot evidenția noțiunile teoretice comentate mai sus astfel.

Pentru a pozitiv, tabelul de variație pe prima linie x pe a doua linie f de x, x-ul aparține lui R, știm, da?

Așa, e de la minus infinit la plus infinit x vârf, evident, trebuie să apară între valorile lui x.

f de x are valoare y vârf asociată lui x vârf, astfel că de la minus infinit la x vârf descrește funcția, de la x vârf la plus infinit crește funcția.

Cum spuneam, x vârf, y vârf este un punct de minim.

Pe exact același principiu, dacă a este negativ în tabelul de variație, pe prima linie se trec valorile, cum spuneam, ale lui x,

la momentul ăsta, minus infinit plus infinit, întrucât, așa cum exprimam, x aparține lui R, x vârf determinat,

iar pe a doua linie a tabelului f de x, respectiv y vârf asociat punctului x vârf, da?

De la minus infinit la x vârf funcția crește, de la x vârf la plus infinit funcția scade.

Așa cum spuneam, acesta este punctul de maxim.

Și mai clar, vârf, da? Și într-un caz și în celălalt.

Punctul de minim are valoare y v, valoare minimă.

Punctul de maxim are valoare y v, valoare maximă a funcției, evident.

Așa cum spuneam, aici funcția este descrescătoare, aici funcția este crescătoare.

În egală măsură, aici funcția crește, iar aici funcția scade.