Funcția radical de ordin n

În lecția trecută am discutat despre funcția putere

și am văzut reprezentarea grafică a funcției f

definită pe r cu valori în r, f de x

egal cu x la a doua.

Această funcție nu este bijectivă, dar

dacă luăm în considerare restricția ei

la intervalul 0 plus infinit

și cu valori în mulțimea 0 plus infinit,

funcția devine bijectivă și inversabilă.

Să considerăm așadar funcția f

definită pe intervalul 0 plus infinit

cu valori în intervalul 0 plus infinit

dată de legea f de x

egal cu x la a doua.

Această funcție este inversabilă

iar inversa ei va fi funcția

f la minus 1

definită pe intervalul 0 plus infinit

cu valori în intervalul 0 plus infinit

exprimată prin legea f la minus 1 de x

egal cu radical din x. Această funcție

se numește funcția radical de ordinul 2.

Trasarea graficului acestei funcții se va face

prin puncte.

Funcția directă x la a doua

trece prin originea reperului cartezian

și prin punctele de coordonate 1,1

și 2,4.

Având în vedere că funcția inversă

inversează aceste valori, putem deduce că

graficul funcției radical din x

va trece prin punctele de coordonate 1,1

și 4,2.

Să trasăm în continuare graficul funcției radical

din x.

Pentru a reprezenta grafic funcția radical din x

vom uni printr-o linie continuă

punctele de coordonate 0,0

1,1

și 4,2.

Iată, acesta este graficul funcției radical din x.

Monotonia funcției radical din x

se poate stabili ținând cont de

monotonia funcției directe.

Întotdeauna inversa unei funcții

are aceeași monotonie cu funcția directă.

Funcția x la a doua era o funcție strict crescătoare

pe intervalul 0 plus infinit

și atunci și funcția radical din x

va fi strict crescătoare pe intervalul 0 plus infinit.

Nu are sens să studiem paritatea acestei funcții

întrucât domeniul de definiție,

intervalul 0 plus infinit,

nu este o mulțime simetrică,

așadar nu putem calcula f de minus x.

Putem observa că această funcție are doar

valori pozitive, iar graficul acesteia

este situat deasupra axei OX.

Dacă vom reprezenta în același reperc

cartezian graficele funcțiilor x la a doua

și radical din x, se poate observa că acestea

sunt simetrice față de prima bisectoare.

Până acum am discutat despre funcția radical

de ordinul 2, iar în continuare

vom prezenta principalele proprietăți

ale funcției radical de ordinul 3.

Pornim de la funcția directă

f de x egal cu x la a treia,

al carei grafic este redat în această imagine.

Funcția este bijectivă pe întreg domeniul

de definiție R, pentru că oriunde aș duce

o paralelă la axa OX,

aceasta intersectează graficul funcției

în exact un punct.

Avem așadar funcția directă f

definită pe R cu valori în R,

exprimată prin legea f de x

egal cu x la puterea a treia.

Inversa acestei funcții va fi

f la minus 1

definită pe R cu valori în R,

dată prin legea radical de ordinul 3 din x.

Aceasta este funcția radical

de ordinul 3.

Trasarea graficului acestei funcții se va face

tot prin puncte.

Vom ține cont de faptul că funcția directă

x la a treia trece prin originea

reperului cartezian și prin punctele

de coordonate 1-1,

3 supra 2 și 27 pe 8,

respectiv minus 1, minus 1

și minus 3 supra 2, minus 27

pe 8.

Funcția radical de ordinul 3 din x va inversa

aceste valori și atunci graficul acesteia

va trece prin punctele de coordonate 1-1,

27 pe 8, 3 pe 2,

respectiv minus 3 supra 2,

minus 1, minus 1 și minus 27 pe 8,

minus 3 pe 2.

Să vedem în continuare graficul funcției radicali

de ordinul 3 din x.

Vom uni printr-o linie continuă punctele de

coordonate 0-0,

1-1,

și 27 pe 8, 3 pe 2,

27 supra 8 este aproximativ

3,37, iar 3 supra 2

este 1,5. Graficul se

continuă prin punctele de coordonate

minus 1, minus 1

și minus 27 pe 8,

minus 3 pe 2.

Iată, acesta este graficul funcției radicali

de ordinul 3 din x.

Funcția păstrează monotonia funcției directe,

astfel funcția este stricrescătoare

pe R.

Se poate verifica că funcția este impară

pentru că f de minus x este egal cu minus f

de x, iar referitor la semnul

funcției observăm că funcția are

valori pozitive pe intervalul 0 plus

infinit, graficul fiind situat deasupra

axei OX și valori negative

pe intervalul minus infinit 0 pentru că

în această zonă graficul este situat

sub axea OX.

Dacă reprezentăm în același reper cartezian

graficele funcțiilor x la treia

și radicali de ordinul 3 din x, se poate

observa că acestea sunt simetrice față de

prima bisectoare.

În continuare vom defini funcția radical de ordinul

n pentru n par, respectiv n impar.

Dacă n este număr natural par, considerăm

funcția f definită pe intervalul 0 plus

infinit cu valori în intervalul 0 plus

infinit, exprimată prin legea f de x

egal cu radical de ordinul n din x.

Aceasta se va numi funcția radical de ordin par.

Ea este o funcție inversabilă, iar

inversa acesteia este funcția f la minus

1, definită pe intervalul 0 plus

infinit cu valori în 0 plus

infinit, f de x

egal cu x la puterea n. Este greșit

să spunem că inversa funcției radical de

ordinul par este funcția putere x la n

pentru că funcția putere era

definită pe r cu valori în r, iar aici avem

alt domeniu, respectiv codomeniu.

În cazul în care n este impar, considerăm

funcția f definită pe r cu valori în r,

f de x egal cu radical de ordinul n din x.

Aceasta este funcția radical de ordin impar,

iar inversa ei este funcția putere.

f la minus 1 va fi

definită pe r cu valori în r,

f la minus 1 de x

este egal cu x la puterea n.

Este important să reținem că radicalii

de ordin par există doar din valori pozitive.

În schimb, radicalul de ordin impar

se poate extrage din orice număr.

Aici nu avem nicio restricție.

Să rezolvăm în continuare următorul exercițiu.

Stabiliți domeniul de definiție pentru funcțiile.

La punctul a avem

f de x egal cu radical de ordinul 3

din 2 plus x.

Având în vedere că avem un radical de ordin impar,

nu trebuie pusă nicio condiție asupra

valorii de subradical, așadar în această situație

domeniul de definiție este mulțimea

numerelor reale. La punctul b

avem funcția f de x egal cu radical

din 1 minus 7x.

Aici avem un radical de ordinul 2

iar radicalii de ordin par există doar

din valori pozitive. Vom pune condiția

ca 1 minus 7x să fie mai mare

sau egal cu 0.

De aici vom obține 1 mai mare sau egal decât 7x

x mai mic sau egal

decât 1 supra 7.

Domeniul de definiție va fi

intervalul minus infinit 1 supra 7.