Transcript: Funcția radical de ordin n

Vezi lecția video →


În lecția trecută am discutat despre funcția putere
și am văzut reprezentarea grafică a funcției f
definită pe r cu valori în r, f de x
egal cu x la a doua.
Această funcție nu este bijectivă, dar
dacă luăm în considerare restricția ei
la intervalul 0 plus infinit
și cu valori în mulțimea 0 plus infinit,
funcția devine bijectivă și inversabilă.
Să considerăm așadar funcția f
definită pe intervalul 0 plus infinit
cu valori în intervalul 0 plus infinit
dată de legea f de x
egal cu x la a doua.
Această funcție este inversabilă
iar inversa ei va fi funcția
f la minus 1
definită pe intervalul 0 plus infinit
cu valori în intervalul 0 plus infinit
exprimată prin legea f la minus 1 de x
egal cu radical din x. Această funcție
se numește funcția radical de ordinul 2.
Trasarea graficului acestei funcții se va face
prin puncte.
Funcția directă x la a doua
trece prin originea reperului cartezian
și prin punctele de coordonate 1,1
și 2,4.
Având în vedere că funcția inversă
inversează aceste valori, putem deduce că
graficul funcției radical din x
va trece prin punctele de coordonate 1,1
și 4,2.
Să trasăm în continuare graficul funcției radical
din x.
Pentru a reprezenta grafic funcția radical din x
vom uni printr-o linie continuă
punctele de coordonate 0,0
1,1
și 4,2.
Iată, acesta este graficul funcției radical din x.
Monotonia funcției radical din x
se poate stabili ținând cont de
monotonia funcției directe.
Întotdeauna inversa unei funcții
are aceeași monotonie cu funcția directă.
Funcția x la a doua era o funcție strict crescătoare
pe intervalul 0 plus infinit
și atunci și funcția radical din x
va fi strict crescătoare pe intervalul 0 plus infinit.
Nu are sens să studiem paritatea acestei funcții
întrucât domeniul de definiție,
intervalul 0 plus infinit,
nu este o mulțime simetrică,
așadar nu putem calcula f de minus x.
Putem observa că această funcție are doar
valori pozitive, iar graficul acesteia
este situat deasupra axei OX.
Dacă vom reprezenta în același reperc
cartezian graficele funcțiilor x la a doua
și radical din x, se poate observa că acestea
sunt simetrice față de prima bisectoare.
Până acum am discutat despre funcția radical
de ordinul 2, iar în continuare
vom prezenta principalele proprietăți
ale funcției radical de ordinul 3.
Pornim de la funcția directă
f de x egal cu x la a treia,
al carei grafic este redat în această imagine.
Funcția este bijectivă pe întreg domeniul
de definiție R, pentru că oriunde aș duce
o paralelă la axa OX,
aceasta intersectează graficul funcției
în exact un punct.
Avem așadar funcția directă f
definită pe R cu valori în R,
exprimată prin legea f de x
egal cu x la puterea a treia.
Inversa acestei funcții va fi
f la minus 1
definită pe R cu valori în R,
dată prin legea radical de ordinul 3 din x.
Aceasta este funcția radical
de ordinul 3.
Trasarea graficului acestei funcții se va face
tot prin puncte.
Vom ține cont de faptul că funcția directă
x la a treia trece prin originea
reperului cartezian și prin punctele
de coordonate 1-1,
3 supra 2 și 27 pe 8,
respectiv minus 1, minus 1
și minus 3 supra 2, minus 27
pe 8.
Funcția radical de ordinul 3 din x va inversa
aceste valori și atunci graficul acesteia
va trece prin punctele de coordonate 1-1,
27 pe 8, 3 pe 2,
respectiv minus 3 supra 2,
minus 1, minus 1 și minus 27 pe 8,
minus 3 pe 2.
Să vedem în continuare graficul funcției radicali
de ordinul 3 din x.
Vom uni printr-o linie continuă punctele de
coordonate 0-0,
1-1,
și 27 pe 8, 3 pe 2,
27 supra 8 este aproximativ
3,37, iar 3 supra 2
este 1,5. Graficul se
continuă prin punctele de coordonate
minus 1, minus 1
și minus 27 pe 8,
minus 3 pe 2.
Iată, acesta este graficul funcției radicali
de ordinul 3 din x.
Funcția păstrează monotonia funcției directe,
astfel funcția este stricrescătoare
pe R.
Se poate verifica că funcția este impară
pentru că f de minus x este egal cu minus f
de x, iar referitor la semnul
funcției observăm că funcția are
valori pozitive pe intervalul 0 plus
infinit, graficul fiind situat deasupra
axei OX și valori negative
pe intervalul minus infinit 0 pentru că
în această zonă graficul este situat
sub axea OX.
Dacă reprezentăm în același reper cartezian
graficele funcțiilor x la treia
și radicali de ordinul 3 din x, se poate
observa că acestea sunt simetrice față de
prima bisectoare.
În continuare vom defini funcția radical de ordinul
n pentru n par, respectiv n impar.
Dacă n este număr natural par, considerăm
funcția f definită pe intervalul 0 plus
infinit cu valori în intervalul 0 plus
infinit, exprimată prin legea f de x
egal cu radical de ordinul n din x.
Aceasta se va numi funcția radical de ordin par.
Ea este o funcție inversabilă, iar
inversa acesteia este funcția f la minus
1, definită pe intervalul 0 plus
infinit cu valori în 0 plus
infinit, f de x
egal cu x la puterea n. Este greșit
să spunem că inversa funcției radical de
ordinul par este funcția putere x la n
pentru că funcția putere era
definită pe r cu valori în r, iar aici avem
alt domeniu, respectiv codomeniu.
În cazul în care n este impar, considerăm
funcția f definită pe r cu valori în r,
f de x egal cu radical de ordinul n din x.
Aceasta este funcția radical de ordin impar,
iar inversa ei este funcția putere.
f la minus 1 va fi
definită pe r cu valori în r,
f la minus 1 de x
este egal cu x la puterea n.
Este important să reținem că radicalii
de ordin par există doar din valori pozitive.
În schimb, radicalul de ordin impar
se poate extrage din orice număr.
Aici nu avem nicio restricție.
Să rezolvăm în continuare următorul exercițiu.
Stabiliți domeniul de definiție pentru funcțiile.
La punctul a avem
f de x egal cu radical de ordinul 3
din 2 plus x.
Având în vedere că avem un radical de ordin impar,
nu trebuie pusă nicio condiție asupra
valorii de subradical, așadar în această situație
domeniul de definiție este mulțimea
numerelor reale. La punctul b
avem funcția f de x egal cu radical
din 1 minus 7x.
Aici avem un radical de ordinul 2
iar radicalii de ordin par există doar
din valori pozitive. Vom pune condiția
ca 1 minus 7x să fie mai mare
sau egal cu 0.
De aici vom obține 1 mai mare sau egal decât 7x
x mai mic sau egal
decât 1 supra 7.
Domeniul de definiție va fi
intervalul minus infinit 1 supra 7.