Semnul funcției de gradul al doilea

În această lecție vom face funcția de gradul al doilea și, mai clar, poziții relative ale graficului funcției și semnul acesteia.

Atunci când discuțiile teoretice și practice au drept țintă determinarea semnului funcției de gradul al doilea,

este important de înțeles că poziția relativă a graficului funcției față de axa OX în sistemul cartezian XY este hotărătoare.

Vom vedea în continuare cum acționează această poziție asupra semnului funcției de gradul al doilea.

Astfel, atunci când parte din graficul funcției se află deasupra axei OX, funcția are valori pozitive.

Vom afirma că fx este pozitiv sau că y este pozitiv.

Atunci când parte din graficul funcției se află sub axa OX, funcția are valori negative.

Astfel că vom afirma că fx este negativ, deci y este negativ.

Important în acest moment este să înțelegeți că parte din graficul funcției, și într-un caz și în celălalt, este de fapt o secțiune din grafic.

Această secțiune are, fără discuții, puncte ce aparțin graficului funcției, puncte de forma M de coordonate XM, YM,

Vă reamintesc, XM era abscisa unui punct, YM era ordonata unui punct în sistem cartezian XY,

cu XM aparținându-i R, R în acest moment joacă rolul domeniului funcției de gradul al doilea,

și YM aparținându-i R, iar R în acest moment reprezintă de fapt codomeniul funcției de gradul al doilea.

Altfel spus, dacă M de coordonate XM, YM aparține graficului funcției cu f definită pe R cu valori în R,

și f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c, cu a diferit de 0, era foarte important de reținut aspectul acesta,

și abc aparținându-i R, deci coeficiențe reale, atunci f de XM, XM-ul de aici, este egal cu YM,

și sau f de XM reprezintă de fapt a ori XM la a doua, deci înlocuiesc în funcție, plus b ori XM plus c.

Dacă YM este pozitiv, reprezentarea punctului M, mai sus amintit de pe grafic, este deasupra axei OX,

fiind pozitiv, după cum știți, valorile pozitive ale lui Y sunt aflate deasupra axei OX.

În aceeași ordine de idei, dacă YM este negativ, reprezentarea punctului M de pe grafic este sub axea OX.

Mai mult decât atât, făcând conexiunea cu o noțiune teoretică cunoscută, și mai clar, intersecția graficului cu axele decordonate,

atunci când dorim să determinăm intersecția cu axele OX, este necesar să calculăm f de X egal cu 0.

Ceea ce înseamnă, fără doar și poate, că se va obține ecuația de gradul al doilea, ax pătrat plus bx plus c egal cu 0.

Ecoație care, în funcție de valoarea lui delta, care, mă rog, ca și formulă de calcul avea b pătrat minus 4ac,

are trei cazuri de discuție cunoscute, și mai clar, delta putea să fie negativ, delta putea să fie egal cu 0,

respectiv delta putea să fie pozitiv, evident, din calcul.

Astfel că, atunci când delta era negativ, ecuația nu are rădăcini reale, adică X1 și X2 nu aparțin lui R,

când delta era egal cu 0, ecuația are două rădăcini reale egale sau confundate, dacă vă aduceți aminte,

mai clar, X1 egal cu X2 din R, respectiv atunci când delta era pozitiv, ecuația are două rădăcini reale distincte,

mai clar, X1 și X2 aparțin lui R și, foarte important, X1 este diferit de X2.

Astfel că, intersecția graficului funcției cu axa OX, adică f de X egal cu 0, așa cum am afirmat aici,

presupune tot trei situații teoretice, situația A în care graficul nu intersectează axa OX,

situația B atunci când graficul intersectează axa OX, evident, într-un singur punct,

respectiv situația C atunci când graficul intersectează axa OX în două puncte distincte.

Mai clar, atunci când nu intersectează axa suntem pe delta negativ, deci pe situația delta negativ,

atunci când intersectează axa într-un singur punct suntem pe situația când delta este egal cu 0,

iar atunci când intersectează axa în două puncte distincte suntem pe situația cu delta mai mare ca 0.

De ce concluzia de mai sus exprimată?

Păi, axa OX este axa pe care sunt reprezentate valorile X ale domeniului.

Domeniul este R, deci axa OX este acel R-domeniu.

Dacă delta este negativ, X1 și X2 nu aparțin lui R, teoretic, da?

Asta înseamnă că valorile X ale domeniului nu pot fi așezate sau dispuse pe axa OX,

ceea ce înseamnă, fără discuții, că nu există valori sau puncte M de coordonate XM, YM ale graficului

ce pot fi dispuse pe axa OX, motiv pentru care, fără discuții, afirmăm că graficul nu intersectează axa OX.

Dacă delta este egal cu 0, atunci știm că X1 e egal cu X2 și sunt reale.

Deci, valoarea X1 care coincide cu valoarea X2 poate fi așezată sau dispusă pe axa OX,

deci pe R, da? Pe axa R, da? Numerelor reale.

Graficul în această situație va intersecta axa OX într-un singur punct M de coordonate X1, 0,

sau puteam foarte ok să spun X2, 0, deoarece F de X1 e egal 0 sau, în egală măsură, F de X2 e egal 0.

Dar, cum X1 coincide cu X2, am preferat să scriu doar o singură variantă.

Dacă delta este pozitiv, atunci X1 și X2 aparțin lui R, asta înseamnă că X1 este diferit de X2

și, atunci, valorile X1 și X2 pot fi așezate sau dispuse pe axa OX.

Graficul funcției va intersecta axa OX în două puncte, practic M1 de coordonate X1 și 0,

respectiv M2 de coordonate X2 și 0, deoarece F de X1 este garantat 0, pentru că este soluția ecuației,

respectiv F de X2 e egal cu 0.

Pentru o înțelegere cât mai exact a celor exprimate, mai sus, voi reprezenta în continuare, în mod grafic,

pozițiile relative ale graficului funcției față de axa OX.

Aici este important să vă amintiți că, în funcție de valoarea coeficientului real A diferit de 0,

reprezentarea graficului este convex sau, afirmăm noi, ține apă,

sau concav, practic nu ține apă,

sau, altfel spus, A-ul era pozitiv, respectiv A-ul era negativ.

Astfel că, în continuare, reprezentările grafice sunt următoare.

Pe situația când A este pozitiv,

avem delta negativ și atunci

ține apă, este convexă,

dar nu intersectează axa OX.

Atunci când delta este egal cu 0,

ține apă,

intersectează axa OX într-un singur punct,

atunci când delta este pozitiv,

ține apă, intersectează axa OX într-un singur punct.

Repet, situația când A este pozitiv.

Dacă A este negativ, pe exact același principiu,

delta negativ nu intersectează axa OX, așa cum am lămurit mai sus,

pe delta egal cu 0 intersectează axa OX într-un singur punct,

pe delta mai mare cu 0 intersectează axa OX într-un singur punct,

și foarte important în toate aceste trei cazuri,

pentru că A este negativ, nu ține apă,

este concave.

Ce este important de văzut în acest moment

este că în toate aceste trei cazuri

discutate pe A pozitiv, respectiv

trei cazuri pe A negativ,

vârful parabolei comentat în lecția precedentă

are coordonatele, așa cum știam, x vârf, y vârf,

x vârf, y vârf,

așa cum se vizualizează aici.

În cazul în care delta este egal cu 0,

x vârf este pe axa OX,

și atunci el va coincide cu

x1 și x2, rădăcinile

egale, confundate, ale funcției.

Vorbim de situația în care A este pozitiv.

Orice valoare am luat noi de pe grafic,

dacă mă uit la asta,

ea va avea, corespondent pe axa OY,

o valoare pozitivă.

Dacă ia una de aici,

corespondența pe axa OY, o valoare pozitivă.

Nu știu, orice valoare, repet,

de pe grafic, corespondența

va fi pe partea pozitivă a axei OY.

Acesta este motivul pentru care

pot afirma, în cazul acesta, că

fdx, care așa cum știam este Y,

este pozitiv, indiferent

de ce punct

iau de pe grafic.

În situația în care delta este egal

cu 0 și A este pozitiv,

la fel, orice punct

aș lua de pe grafic

și l-aș transmite, l-aș reprezenta

ca și coordonate,

practic, coordonata punctelor de pe grafic

a Y, este tot

pozitiv. Și în acest moment

pot să aflim că fdx,

care spuneam este Y, este pozitiv,

dar, în plus, poate fi și egal

cu 0.

Și, mai clar, în momentul în care

vârful, Y vârf,

este 0.

În cea de-a treia situație, atunci când delta

este pozitiv, în momentul în care luăm puncte

din interiorul rădăcinilor

și le reprezentăm pe

grafic, ele au

corespondență

valoare negativă. Adică

partea aflată

sub axa OX, deci sub axa OX

este partea negativă. Care parte este sub axa

OX? Cea aflată

aici și, mai clar,

între rădăcini. În momentul

în care vom lua valori

din afara rădăcinilor, în momentul în care

vor întâlni graficul, acestea

vor fi pe partea pozitivă

a lui Y.

Și atunci, în această situație, pot afirma

așa că dacă X

aparține lui X1

X2, deci între rădăcini,

Y

este negativ. Adică

Y, nu uităm că este Fx.

În caz contrar, și mai clar, când X

aparține lui minus infinit X1

reunit cu X2

plus infinit, deci în afara,

X1 merge către

minus infinit X1, respectiv

X2, care merge către plus infinit.

Așa cum spuneam, deci

în afara rădăcinilor, Y va fi

pozitiv. Deci se află, spuneam, graficul

deasupra axei OX. Pe exact

același principiu, se poate purta discuția

și în cazul în care A-ul

este negativ. Adică, dacă delta este

negativ, așa cum vedem, nu intersectează

axa și l-a murit acest aspect.

Însă, orice puncte aș lua eu de pe grafic

în momentul în care le reprezint

pe axa OY

ele vor avea valori

negative. Acesta este motiv pentru care

o să pot afirma fără discuții că Fx

care, spuneam, coincide cu Y

va fi negativ. În situația

în care delta este egal cu 0

pe situația A negativ,

vorbim de situația clară în care

orice punct aș lua de pe grafic

reprezentarea mă duce

către valori negative.

Orice punct aș lua. Acesta are un X

să zic că acesta este M

acesta ar fi XM, acesta este YM.

Deci YM este negativ. Dacă aș lua

punctul P

de exemplu, cu XP

YP, iar vin și spun

XP-ul poate lua ce valori vreți, dar

YP-ul este fără discuții

negative. Singura situație

ca și în cazul celei prezentate

cu punct YV

este 0, motiv pentru care în această

situație pot afirma că Fx

care este egal cu Y este mai mic decât 0

că se află sub axă, dar și egal

din cauza lui YV.

Pe situația a treia, atunci când delta este

pozitiv,

exact aceeași discuție

dacă luăm puncte

între rădăcini și le reprezentăm

pe grafic,

obținem punctul P de coordonate

XP-YP,

YP are valoare pozitivă.

Dacă iau punctul de aici

de coordonate M

de coordonate XM-YM

de această dată,

și acesta este la fel pozitiv.

Iar vin și spun că graficul

pe distanța asta X1-X2

se află deasupra axei,

ceea ce îmi spune că aici va avea valoare pozitivă.

Atunci când luăm elemente

sau valori aflate în afara rădăcinilor,

gen ăsta, ăsta sau ăsta,

nu știu să zic aici M1,

va întâlni

graficul în punctul acesta,

care este reprezentat prin YM1,

dar care este negativ,

respectiv punctul acesta,

care intersectează graficul aici,

și atunci el va avea coordonată Y'

care la fel este negativă.

Și atunci, concluzie și în acest

caz, în această situație,

atunci când X aparține X1-X2,

deci când se află între rădăcini,

f de X este

cum? Dacă se află deasupra axei, pozitiv,

iar atunci când X aparține

lui minus infinit, aici am

minus infinit X1, ăsta este

intervalul, reunit cu

X2,

practic de aici încolo către plus infinit,

X2 plus infinit,

atunci graficul, mă uit,

în afară, este

negativ. Astfel,

în acest moment, se poate exprima

semnul funcției de gradul al doilea

sub o formă mai clară, sub formă de tabel,

după cum urmează. Și anume,

atunci când A este pozitiv, cele trei

situații clasice, delta negativ,

delta egal cu 0, delta pozitiv.

Când delta este negativ pe situația de a

pozitiv, X-ul nu are nicio soluție

reală drept pentru care, pe tot domeniul, nu a existat

un punct pe care să-l pot reprezenta,

motiv pentru care, sau din care,

ne-a rezultat nou că

el este pozitiv de fiecare dată.

Da? Y sau F

de X. Da?

În situația în care

delta era negativ,

la fel, nu aveam punct pe care să-l reprezint

în domeniul, pe X, dar

graficul funcției se afla sub

ax sau X. Practic, F de X sau Y

era negativ. Și atunci

pot arăta asta și în grafic, pot arăta

asta și în tabel.

În cazul în care delta era egal cu

0,

atinge

într-un singur punct, punct care,

așa cum ne-am lămurit, este X vârf, X1

sau X2, toate cele 3 coincid,

punct în care F de X

este 0 și atunci, în cazul

în care aul este pozitiv,

ea va avea valori doar pozitive

aflate deasupra axei X,

în cazul în care vorbim

de A negativ, voi avea

valori negative, așa cum exprimăm aici,

chiar și egal cu 0 în situația lui

X vârf. Delta

pozitiv, X1, X2,

două rădăcini, între acestea cu siguranță

se află X vârf. X vârf are

ca și corespondent

Y vârf, deci, practic, vârful de coordonate

X vârf, Y vârf, da? Abscisa

ordonată, și într-un caz și în celălalt.

Atunci când sunt

între rădăcini, X1, X2,

mă uit, în cazul lui A

pozitiv, când sunt între rădăcini,

da? Y este negativ,

deci, practic, Fx este negativ

și vedeți că și Y vârf este subaxă,

da? Acesta este motivul pentru care am afirmat

că Y vârf, între rădăcini

unde, clar, avem valori de 0-0 pentru Fx,

e negativ, în afara rădăcinilor

pozitiv. Pe exact același principiu,

da? Între rădăcini,

Y vârf, care se vede,

se vizualizează, este deasupra axei,

deci este pozitiv, în

X1, X2, funcția, evident, ia valoarea 0

și atunci, între rădăcini,

așa cum afirmam, e pozitiv, se află

deasupra axei, graficul, în afara

rădăcinilor, negativ, adică

în afara, pe minus infinit, X1, respectiv

X2 plus infinit, mă aflu sub

axa OX.