Poziții relative ale graficului funcției și semnul funcției

În această lecție vom face funcția de gradul al doilea și, mai clar, discuții teoretice și aplicative,

preliminarii semnului respectiv tabelului de variație corespunzător funcției de gradul al doilea.

Așa cum am arătat în lecția precedentă, funcția de gradul al doilea are drept reprezentare grafică o parabolă.

Astfel că, pentru o funcție f de filtă pe R cu valori în R, cu f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c cu, foarte important, a diferit de 0,

reprezentarea grafică este o parabolă.

Un aspect important, aspect ce trebuie lămurit, este acela că reprezentarea funcției de gradul al doilea,

adică al parabolei corespunzătoare, se face în funcție de semnul variabilei a, a coeficientului x pătrat.

Astfel că semnul variabilei a se poate afla în situația în care este pozitiv, deci are plus, și atunci parabola corespunzătoare va fi reprezentată în acest mod.

Atunci când a este negativ, parabola corespunzătoare este reprezentată în acest mod.

Mai clar, pentru a verifica sau a demonstra corectitudinea celor exprimate aici,

se pot da două exemple de funcții în care coeficientul a diferit de 0 să fie într-o primă etapă pozitiv, respectiv negativ.

Astfel că f definită pe R cu valori în R cu f de x egal cu x pătrat, înțeleg de aici că a e 1 și atunci este pozitiv, b și c sunt egale cu 0.

Al doilea exemplu, f definită pe R cu valori în R cu f de x egal cu minus x pătrat, înțeleg de aici că a este minus 1, deci este negativ, sunt pe situația a doua, cu b respectiv c egal cu 0.

Exemplul 1, cel în care a este pozitiv, a fost discutat în lecția precedentă, drept pentru care, pentru o lămurire sau ca să ne aducem aminte despre ce este vorba, vă indic și vă recomand să vă uitați la lecția precedentă.

Exemplul 2 este cel pe care îl vom discuta în lecția prezentă, astfel că am funcția f definită pe R cu valori în R cu f de x egal cu minus x pătrat, pentru care, ca și în exemplul 1 dat în lecția precedentă, voi da valori 0, 1, minus 1, 2, minus 2, 3, minus 3, în care să calculez funcția.

Astfel, f de 0 este minus 0 la pătrat, înțelegând din aceasta că f de 0 este 0, și obțin punctul de coordonate 0, 0, notați pe mine cu O, f de 1 egal cu minus 1 la pătrat, înțelegând din aceasta că f de 1 va fi egal cu minus 1, deci punctul de coordonate 1, minus 1,

f de minus 1 este minus minus 1 la pătrat, știm că orice număr la pătrat, orice valoare la pătrat din diferent desen are plus, dar cu minusul din față va avea drept rezultat tot minus 1, astfel că obțin punctul de coordonate minus 1, minus 1, notați de mine cu B, pe exact același principiu, f de 2, f de minus 2, f de 3, f de minus 3.

Reprezentarea grafică este cea pe care o vizualizăm aici, deci x, y, pe axa x avem valorile 1, 2, 3 respectiv, minus 1, minus 2, minus 3, pentru x egal cu 1 am obținut minus 1 și atunci am obținut toate coordonate 1, minus 1, pentru x egal cu minus 1 am obținut minus 1 și atunci B de coordonate minus 1, minus 1,

pentru punctul x egal cu 2 am obținut valoarea minus 4 și atunci C de coordonate 2 și minus 4, respectiv minus 2x-ul s-a obținut aceeași valoare minus 4 și atunci D de coordonate minus 2, minus 4, respectiv punctele 3 și minus 3 cu x egal cu 3 s-a obținut minus 9, deci E de coordonate 3 și minus 9,

pentru x egal cu minus 3 f de coordonate minus 3 și minus 9.

Pentru o lămurire a situației o să vă aduc în această lecție și reprezentarea grafică prezentată în lecția precedentă,

cea pentru funcția f de fini pe valori în R cu f de x egal cu x pătrat, care, așa cum vă aduceți aminte sau cum puteți vizualiza aici și în lecția precedentă, avea reprezentarea aceasta grafică.

Ce înțelegem în acest moment? Pe baza celor două exemple, afirmăm în mod clar și concret că atunci când aul este pozitiv, parabola funcției asociată funcției de gradul al doilea este convexă, o să afirmăm foarte des, ține apă, așa cum se vede de la x pătrat, ține apă.

Atunci când aul este negativ, parabola asociată funcției de gradul al doilea este concave sau, afirmăm la fel de des, nu ține apă.

Pe exact același principiu, dacă aș turna apă așa de aici de sus, apa ar curge pe lângă parabola fără ca parabola să țină apă. Deci ăsta e motivul pentru care afirmăm nu ține apă.

În continuare, în condițiile în care funcția de gradul al doilea are reprezentare diferită pe situațiile A pozitiv, respectiv A negativ, se impun discuții specifice fiecarei situații.

Astfel, situația 1, situația în care A este pozitiv, funcția EFD fiindă pe R cu valori în R, cu EFDx egal cu ax pătrat plus bx plus c, cu ecuația de gradul al doilea corespunzătoare ax pătrat plus bx plus c egal cu 0,

se poate afla în următoarele trei situații teoretice, aș spune, pentru că acestea, teoretice fiind, au fost discutate în lecția în care s-a discutat despre ecuații de gradul al doilea.

Astfel că situația A teoretică delta este negativ, situația B teoretică delta este egal cu 0, respectiv situația C teoretică delta este pozitiv.

În cazul în care delta este negativ, ecuația nu are soluții reale. Atunci când delta era egal cu 0, ecuația avea două soluții reale, dar egale, confundate, spuneam noi.

Atunci când delta este pozitiv, ecuația are două soluții distinte, reale.

Ce traducerau aceste aspecte teoretice? Și anume, dacă ecuația nu are soluții reale, parabola corespunzătoare funcției nu atinge sau nu intersectează axa OX.

Axa OX trebuie să fie interpretată de fapt ca axa reală a soluțiilor ecuații de gradul al doilea, cea pe care se reprezintă soluțiile pe care le obții după rezolvarea ecuației de gradul al doilea.

Astfel că situația B, cea în care vorbim de soluții reale egale sau confundate, atrage de la sine că parabola corespunzătoare funcției de gradul al doilea intersectează axa OX într-un singur punct.

În acel punct numit soluția ecuației de gradul al doilea.

A treia și ultima situație este aceea în care are două soluții distincte, deci parabola corespunzătoare funcției intersectează axa OX în două puncte distincte.

Cele două puncte distincte fiind în realitate X1 și X2 obținut din rezolvarea ecuației de gradul al doilea.

Astfel, o concluzie clară pe care puteam să o tragem în urma discuției avute este aceea că pentru A pozitiv funcția E definită pe R cu valori în R cu Rdx egal cu ax pătra plus bx plus c

va fi comentată, discutată în trei mari situații, delta negativ, delta egal cu 0, respectiv delta pozitiv.

Așa cum spuneam, când delta este negativ parabola nu intersectează axa OX, când delta este egal cu 0 parabola intersectează axa OX într-un singur punct,

când delta este pozitiv intersectează axa OX în două puncte distinte.

Așa cum am lămurit, parabola este convexă, deci ține apă.

În aceste condiții, reprezentările grafice corespunzătoare acestor categorii, acestor situații teoretice, sunt următoare.

Deci parabola nu atinge axa OX, parabola, avem mai multe reprezentări de funcții de gradul al doilea, stric parabolele fără a da valori,

și așa cum spuneam, delta negativ nu atinge axa OX, delta egal cu 0 atinge axa OX într-un singur punct,

altă parabola care atinge într-un singur punct, încă o dată spun, ține apă, da, deci convexă funcția,

și atunci când delta este pozitiv intersectează în două puncte axa OX.

Și acum am lămurit, nu intersectează punctele astea în care intersectează într-un singur punct,

respectiv celelalte puncte de intersectie distinte, cum spuneam, cu axa OX.

Așa cum spuneam, în realitate acesta reprezintă X1 egal cu X2, determinat din ecuația de gradul al doilea,

acesta reprezintă iar X1 egal cu X2, deci confundat X1 cu X2 ca soluție reală pe axa reală OX,

și în egală măsură situația în care X1 este acesta, X2 este acesta, și cum vedem, distincte, da?

Nu sunt aflate în același punct, nu sunt confundate.

La fel, aceeași poveste și aici.

Foarte important e să înțelegeți că, în realitate, în momentul în care am afirmat ecuația de gradul al doilea,

corespunzătoare, mai clar, AX pătrat plus BX plus C egal cu 0,

am afirmat, de fapt, sau am făcut, de fapt, intersecția graficului GDF cu axa OX.

Vă aduceți aminte că, atunci când ne propuneam să facem intersecția graficului cu axa OX,

însemna să fac, de fapt, FDX egal cu 0 sau Y egal cu 0.

Când doream să fac intersecția cu OY, spuneam X egal cu 0.

Acum mă interesează strict intersecția cu axa OX.

Deci, repet, în momentul în care am afirmat ecuație de gradul al doilea corespunzătoare,

în realitate, aceasta a însemnat intersecția graficului funcției, deci a parabolei, cu axa OX,

așa cum practic ați văzut și în reprezentările grafice comentate.

A doua situație, situația în care, așa cum spunem, A-ul era negativ,

se face pe exact același principiu de discuție.

Astfel că intersecția cu axa OX reprezenta FDX egal cu 0, deci Y egal cu 0,

ecuația de gradul al doilea, care ecuație se poate afla în trei situații discutate distinte,

și anume delta negativ, delta egal cu 0, delta pozitiv.

Situația cu delta negativ nu avea soluții reale,

situația cu delta egal cu 0 are soluții reale și egale, mai clar confundate.

Situația în care delta era pozitiv are soluții distinte reale.

Situații în care, așa cum ne-am exprimat clar,

vorbim de situația în care nu intersectează axa OX când delta e negativ,

când delta egal cu 0 intersectează într-un singur punct,

când delta este pozitiv intersectează în două puncte distinte.

Mai mult decât atât, atunci când A este negativ,

înțelegem că parabola este concavă,

deci situația aceea în care nu ține apă.

Cu exact același principiu,

putem comenta cele trei situații distinte ale problemei,

și anume, funcția f definită pe R cu valori în R,

cu f de x egal cu ax, pătra plus bx plus c și a negativ,

este situația, așa cum spuneam, în care parabola nu ține apă,

și pe fiecare din situațiile discutate,

când este negativ, nu intersectează axa OX,

intersectează într-un singur punct,

respectiv intersectează în două puncte distinte axa OX.

Așa cum spuneam, se vede clar că nu intersectează,

acestea sunt, practic, rădăcinile x1, x2 egale, confundate,

aici x1, x2, x1, x2,

în egală măsură și aici x1, x2, diferite.