Semnul funcției de gradul al doilea

Funcția de gradul al doilea este o funcție de forma:

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = a x^{2} + b x + c, a, b, c \in ℝ, a \neq 0 .$

Graficul funcției de gradul al doilea

Graficul funcției de gradul al doilea se numește parabolă. Vârful parabolei este punctul de coordonate

$V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{△}{4 a}) \in G_{f} .$

Intersecția graficului cu axele de coordonate

$1 . G_{f} \cap O x : f (x) = 0 a) △ > 0 \Rightarrow x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{△}}{2 a} \Rightarrow A (x_{1}, 0) \in O x ș i B (x_{2}, 0) \in O x . b) △ > 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a} \Rightarrow A (- \frac{b}{2 a}, 0) \in O x c) △ < 0 \Rightarrow f (x) = 0 n u a r e s o l u ț i i r e a l e \Rightarrow G_{f} \cap O x = \emptyset .$

Observație. În cazul a) spunem că parabola intersectează axa Ox; în cazul b) spunem că parabola este tangentă axei Ox; în cazul c) spunem că parabola nu intersectează axa Ox.

$2 . G_{f} \cap O y : x = 0 f (0) = m \Rightarrow M (0, m) \in O y .$

Observație. Parabola întotdeauna intersectează axa Oy.

Concavitate, convexitate

Dacă a > 0 graficul este convex ( "ține apă").

Dacă a < 0 graficul este concav ( nu "ține apă").

Semnul funcției de gradul al doilea

A determina semnul funcției de gradul doi înseamnă a găsi valorile lui x pentru care funcția este pozitivă, precum și valorile lui x pentru care funcția este negativă.

Semnul funcției de gradul doi se stabilește în funcție de semnul discriminantului și semnul lui a, astfel:

$1 . △ > 0 \Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} \in ℝ, x_{1} < x_{2}$

Funcția f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini.

$2 . △ = 0 \Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} \in ℝ, x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$

Funcția f are semnul lui a pe $ℝ - \{- \frac{b}{2 a}\} .$

$3 . △ < 0 \Rightarrow n u e x i s t ă r ă d ă c i n i r e a l e$

Funcția f are semnul lui a pe $ℝ .$