Rezolvarea unor ecuații și inecuații folosind semnul funcției de gradul I

În această secvență vom rezolva câteva ecuații și inequații folosind semnul funcție de gradul 1.

Avem această ecuație modul din x-3 plus modul din 2x plus 1 este egal cu 5.

Înainte de a trece la rezolvarea ecuației, aș vrea să ne reamintim puțin explicitarea modulului.

Iată, modul din a este egal cu a dacă a este mai mare sau egal cu 0 și minus a dacă a este mai mica 0.

Mai întâi o să rezolvăm ecuațiile atașate expresiilor din modul. Observăm că în modul avem expresii de gradul 1.

Prima ecuație atașată este x-3 egal cu 0.

Se obține rădăcina x egal cu 3.

Iar a doua ecuație 2x plus 1 egal cu 0.

Se obține soluția x egal cu minus 1 pe 2.

Vom considera acum două funcții de gradul 1, x-3 și 2x plus 1, pe care o să le trecem într-un tabel.

x ea valori de la minus infinit la plus infinit.

Se trec în tabel cele două rădăcini ale ecuațiilor, în ordine crescătoare, minus 1 pe 2 și 3.

Funcția x-3 se anulează pentru x egal cu 3, iar expresia 2x plus 1 se anulează pentru x egal cu minus 1 pe 2.

Funcția x-3 are semn contrar lui a până la 3.

Vă reamintesc că a este coeficientul lui x, în acest caz a este 1, deci pozitiv, semn contrar lui a până la 3 și semnul lui a de la 3 încolo.

Funcția 2x plus 1 are semn contrar lui a până la minus 1 pe 2 și semnul lui a pentru valor mai mare ca minus 1 pe 2.

În continuare vom considera trei cazuri.

Primul caz, când x ea valori cuprinse în intervalul minus infinit minus 1 pe 2, apoi în intervalul minus 1 pe 2, 3 și în intervalul 3, infinit.

Începem cu primul caz, x aparține intervalului minus infinit minus 1 pe 2.

Și putem să închidem acum intervalul.

În acest caz, expresia x-3 este negativă și atunci va trebui să schimbăm semnul acestei expresii.

La fel și expresia 2x plus 1 este negativă și se schimbă semnul.

Așadar, ecuația inițială se va scrie astfel, minus pe lângă x minus 3 minus pe lângă 2x plus 1 egal cu 5.

Desfacem parantezele și avem minus x plus 3 minus 2x minus 1 egal cu 5.

Minus 3x, 3 minus 1 este 2, 5 minus 2 este 3.

x este egal cu minus 1.

În continuare, trebuie să verificăm dacă soluția obținută aparține acestui interval de studiu și, într-adevăr, minus 1 aparține intervalului minus infinit minus 1 pe 2.

Așadar, soluția obținută în acest caz va fi S1 egal cu minus 1.

Trecem la al doilea caz când x aparține intervalului minus 1 pe 2, 3.

În acest interval, expresia x minus 3 este negativă și va trebui să schimbăm semnul, însă expresia 2x plus 1 este pozitivă.

Așadar, se păstrează semnul acesteia.

Deci, o să avem minus pe lângă x minus 3 plus 2x plus 1 egal cu 5.

Desfacem parantezele.

Minus x plus 3 plus 2x plus 1 egal cu 5.

x plus 4 este egal cu 5.

x este egal cu 1.

Verificăm dacă 1 aparține intervalului de studiu.

Într-adevăr, 1 aparține intervalului minus 1 pe 2, 3.

Așadar, soluția obținută în acest caz va fi S2 egal cu 1.

Și ultima situație, dacă x ia valori cuprinse în intervalul 3 infinit.

În acest caz, expresia x minus 3 este pozitivă, la fel și expresia 2x plus 1.

Așadar, nu trebuie să schimbăm semnul acestora.

Deci, ecuația inițială se va scrie x minus 3 plus 2x plus 1 egal cu 5.

Avem 3x minus 2 egal cu 5.

3x este egal cu 7.

x egal cu 7 pe 3.

7 supra 3 este 2,3, iar 2,3 nu aparține intervalului 3 infinit.

Așadar, în acest caz, soluția va fi mulțimea vidă.

Soluția finală a acestei ecuații se obține reunind cele 3 soluții parțiale.

Așadar, S este egal cu S1 reunit cu S2 reunit cu S3.

Și se obține mulțimea formată din elementele minus 1, 1.

Trecem la un alt exercițiu.

Avem o inequație 2x minus 1 supra x plus 3 mai mare sau egal cu 0.

Așadar, se cere să aflăm acele valori ale lui x pentru care fracția este mai mare sau egală cu 0.

Observăm că atât la numărător cât și la numitor avem expresii de gradul 1.

Mai întâi o să rezolvăm ecuațiile atașate acestora.

Prima ecuație 2x minus 1 egal cu 0.

Se obține soluția x egal cu 1 pe 2.

Și a doua ecuație, x plus 3 este egal cu 0.

Obținem rădăcina x egal cu minus 3.

Vom considera cele două funcții de gradul întâi, 2x minus 1 și x plus 3,

pe care le trecem într-un tabel, iar la final avem fracția 2x minus 1 supra x plus 3.

Minus infinit, infinit.

Trecem în tabel cele două rădăcini obținute în ordine crescătoare, minus 3 și 1 pe 2.

Prima expresie, 2x minus 1 se anulează pentru x egal cu 1 pe 2.

Apoi funcția x plus 3 se anulează pentru x egal cu minus 3.

Fracția 2x minus 1 supra x plus 3 este 0 atunci când numărătorul este 0,

iar numărătorul este 0 dacă x este 1 pe 2.

În cazul în care x este minus 3, numitorul fracției este 0,

așadar fracția nu are sens pentru x egal cu minus 3 și vom trece o bară verticală.

Studiem acum semnul acestor funcții.

Funcția 2x minus 1 are semn contrarului a până la 1 pe 2 și semnului a pentru valor mai mare ca 1 pe 2.

Funcția x plus 3 are semn contrarului a până la minus 3 și semnului a pentru valor mai mare ca minus 3.

Iar pentru a studia semnul acestei fracții folosim regula învățată la împărțire,

minus cu minus este plus, minus cu plus este minus, plus cu plus este plus.

Noi trebuie să aflăm care sunt acele valori ale lui x pentru care fracția este pozitivă.

Observăm că pentru x lung valori din intervalul minus infinit minus 3,

respectiv 1 pe 2 infinit, fracția este pozitivă.

Așadar soluția va fi intervalul minus infinit minus 3.

La minus 3 punem paranteză deschisă, întrucât fracția nu are sens pentru x egal cu minus 3,

reunit cu intervalul 1 pe 2 infinit.

La 1 pe 2 o să punem paranteză dreaptă, deoarece această fracție poate fi și egală cu 0.

Deci este acceptată și valoarea 1 pe 2.

Și un ultim exercițiu.

Avem următoarea inequație modul din x minus 1 plus modul din x minus 2 mai mare ca 5.

În modul avem expresii de gradul 1.

Mai întâi rezolvăm ecuațiile atașate acestora.

Prima ecuație x minus 1 egal cu 0 are rădăcina x egal cu 1,

iar a doua ecuație x minus 2 egal cu 0 are rădăcina x egal cu 2.

Trecem aceste două funcții într-un tabel.

Prima funcție este x minus 1, iar a doua x minus 2.

Minus infinit, infinit.

Soluțiile ecuațiilor atașate 1 și 2.

x minus 1 este 0 pentru x egal cu 1,

iar x minus 2 este 0 pentru x egal cu 2.

Funcția x minus 1 are semn contrarului a până la 1 și semnului a pentru valor mai mare ca 1,

iar x minus 2 are semn contrarului a până la 2 și semnului a pentru valor mai mare ca 2.

Vom lua în considerare 3 cazuri.

Primul caz, x aparține intervalului minus infinit 1.

În acest caz, expresia x minus 1 este negativă și trebuie să schimbăm semnul acesteia,

așadar, în ecuația se va scrie minus pe lângă x minus 1.

La fel și expresia x minus 2 este negativă, deci trebuie să schimbăm și semnul acesteia.

Deci o să avem minus pe lângă x minus 2 mai mare ca 5.

Desfacem parantezele, minus x plus 1 minus x plus 2 este mai mare ca 5,

minus 2x plus 3 mai mare ca 5, minus 2x mai mare decât 2.

Împărțim la minus 2, atenție, minus 2 este negativ, se schimbă semnul inegalității și avem x mai mic ca minus 1.

x aparține intervalului minus infinit minus 1.

Însă trebuie să verificăm dacă aceste valori pe care le-am obținut se încadrează în intervalul de studiu,

așadar această mulțime trebuie intersectată cu intervalul minus infinit 1.

Soluția obținută în acest caz va fi S1 egal intervalul minus infinit minus 1.

Trecem la al doilea caz, x aparține intervalului 1,2.

În acest caz expresia x minus 1 este pozitivă, așadar nu trebuie să schimbăm semnul acesteia,

însă x minus 2 este negativă, deci va trebui să schimbăm semnul.

O să avem x minus 1 minus x minus 2 mai mare ca 5.

x minus 1 minus x plus 2 este mai mare ca 5.

Se reduce x și avem 1 mai mare ca 5, ceea ce este fals.

Așadar nu avem soluții în acest caz, deci soluția S2 este mulțimea vită.

Și în al treilea caz, x aparține intervalului 2 infinit.

Ambele expresii sunt pozitive, așadar se păstrează semnul acestora.

Și avem x minus 1 plus x minus 2 mai mare ca 5.

2x minus 3 este mai mare ca 5.

2x este mai mare ca 8.

x este mai mare ca 4.

x aparține intervalului 4 infinit.

Și acest interval trebuie intersectat cu intervalul de studiu 2 infinit.

Intersecția acestora va fi soluția S3 egal intervalul 4 infinit.

Soluția finală a acestei inequații se obține reunind cele 3 soluții,

S1 reunit cu S2 reunit cu S3.

Și avem intervalul minus infinit minus 1 reunit cu intervalul 4 infinit.