Graficul unei funcții liniare

Să vedem acum ce este o funcție liniară și cum trasăm graficul unei asemenea funcții.

Și avem exemplul, funcția f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu x plus 2.

Cum trasăm graficul unei asemenea funcții, având în vedere că, iată, aici, domeniul de definiție este infinit, este o mulțime infinită?

Păi, dacă domeniul de definiție era mulțime finită, în tabel trebuia să trecem toate valorile care erau în acel domeniu.

Însă, acum, fiind vorba de o mulțime infinită, nu putem să scriem toate numerele reale, însă putem să trecem câteva dintre ele.

Și haideți să facem acest lucru.

Facem tabelul și vom trece câteva valori pe care ni le dorim, însă, să fie ușor de calculat aici.

Avem x și f de x.

Și putem să luăm, de exemplu, x egal cu minus 2, minus 1, chiar să le alegem consecutiv, 0, 1 și 2.

Cât este acum f de minus 2?

f de x este x plus 2, deci f de minus 2 ne va da minus 2 adunat cu 2, adică 0.

Și trecem aici 0.

f mai departe de minus 1 este minus 1 plus 2, adică ne dă 1.

f de 0 este 0 adunat cu 2, deci 2, venim și trecem aici 2.

f de 1 ne va da 1 plus 2, adică 3.

Și în final f de 2 înseamnă 2 plus 2, adică 4.

Ce puncte am obținut?

Păi avem perechile minus 2, 0 și chiar o să le scriem aici minus 2, 0.

Următoarea pereche e minus 1, 1.

Apoi 0, 2.

1, 3.

Și 2, 4.

Ei bine, și aceste puncte haideți acum să le reprezentăm într-un sistem de coordonate.

Și avem aici axa OX, axa ordonatelor.

Deci avem OY, aici avem OX, să ne alegem unitatea de măsură, acest segment, lungimea acestui segment.

Primul punct a scrisă minus 2 ordonată 0.

Deci avem aici minus 1, minus 2.

Fiind ordonata 0 înseamnă că punctul se află pe axa OX, deci îl avem aici.

Minus 1, 1.

Trecem minus 1 pe OX, 1 pe OY.

Și iată punctul, iată este cel de aici, dar să-l colorăm tot așa.

0 și 2, deci avem un punct pe axa OY, avem aici numărul 2 și punctul este acesta.

Urmează următorul punct, abscisă 1, ordonată 3.

Avem aici 1 și ordonata este 3.

Și găsim și punctul, iată vorbim de acest punct.

Și ultimul punct, 2 și 4, avem aici numărul 2, abscisă 2, ordonata 4.

Să găsim și următorul punct, adică este acesta.

Dar ce observăm? Cum sunt aceste puncte?

Păi e ușor de văzut că de fapt toate aceste puncte sunt coliniare.

Chiar mai mult, dacă am luat și un alt punct, să spunem că îl iau pe 1,5, da? 1,5.

Atunci, dacă trecem aici 1,5, avem nevoie de f de 1,5, care înseamnă 1,5 plus 2, ne dă cu alte cuvinte 3,5.

Deci vom avea aici 3,5 și construind și acest punct, o să vedem că tot așa obținem tot puncte coliniare.

De fapt, orice valoare i-am da variabilei X, punctele care se vor obține vor fi coliniare.

Iată, mai luăm un punct aici, vom obține acest punct, apoi încă unul, încă unul și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, ce va fi graficul acestei funcții?

De fapt, se obține o dreaptă.

Și haideți chiar să o trasăm.

Bun, această dreaptă este, de fapt, reprezentarea geometrică a graficului funcției f.

Ce avem aici este, de fapt, o funcție liniară.

Și haideți să notăm că o funcție care este definită pe mulțimea numerelor reale, cu valori în mulțimea numerelor reale,

iar legea de corespondență are această formă A ori X plus B, unde A și B sunt numere reale,

atunci o asemenea funcție se numește funcție liniară.

Și întotdeauna graficul unei funcții liniare este o dreaptă, deci putem să spunem că reprezentarea geometrică este o dreaptă.

Și iată că aici, în acest exemplu, noi avem o asemenea funcție, ea este definită pe R cu valori în R, ca și aici.

Atenție, nu contează denumirea funcției, putem să folosim orice literă vrem, iar legea de corespondență are într-adevăr această formă,

pentru că aici putem să notăm 1 înmulțit cu X plus 2, cu alte cuvinte, A este 1, iar B este 2.

Deci avem aici B și aici este A. Deci, într-adevăr, aici avem o funcție liniară.

Noi nu am demonstrat aici riguros că, de fapt, graficul acestei funcții este o dreaptă, ci am dat mai mult o explicație intuitivă.

Poate că, într-o altă secvență video, o să demonstrăm că, într-adevăr, o funcție liniară se reprezintă geometric printr-o dreaptă.

Însă, până atunci, haideți să mai facem un exemplu.

Și avem funcția G definită pe R cu valori în R, G de X egal cu minus 2 ori X plus 1.

Este aceasta o funcție liniară?

Domeniul de definiție este R, ca și codomeniu, deci avem îndeplinit această condiție.

Însă să vedem dacă legea de corespondență are această formă, adică A ori X plus B.

Păi, e ușor de văzut că A este minus 2, iar B este 1.

Prin urmare, avem o funcție liniară.

Asta înseamnă că, deja știm, reprezentarea geometrică a graficului este o dreaptă.

Atunci, dacă știm deja că vom obține o dreaptă, de câte puncte avem nevoie pentru a o determina?

Dacă avem un singur punct, printr-un punct trec o infinitate de drepte.

Dar dacă avem două puncte?

Două puncte determină o dreaptă și numai una.

Deci, avem nevoie doar de două puncte ca să găsim dreapta.

Și să reprezentăm, să facem tabelul de valori.

Avem X, G de X.

Ce valori să luăm?

Oricare două numere reale dorim, de exemplu 0 și 1.

Dacă X este 0, calculăm G de 0.

Avem minus 2 ori X, adică minus 2 înmulțit cu 0 plus 1 și ne dă 1.

Și dacă X este 1, G de 1 va fi minus 2 ori 1 plus 1, deci ne dă minus 2 plus 1 minus 1.

Și să notăm punctele, avem 0 și minus 1, prima pereche.

Pardon, 0 și 1.

Și a doua, 1 și minus 1.

Reprezentăm sistemul de coordonate.

Alegem unitatea de măsură.

Avem aici unitate de măsură.

Și avem punctul de coordonate 0 și 1.

Deci avem 0 pe axa OX, 1 pe axa OY.

Asta înseamnă că punctul nostru se află aici.

Și chiar haide să notăm, avem aici A mare și aici B mare.

Deci aici vom trece punctul A mare.

Și avem 1 și minus 1, deci abscisă 1.

Să trecem.

1, ordonată minus 1.

Și am obținut, iată, acest punct.

Și avem aici punctul B mare.

Graficul funcției este dreapta care trece prin aceste două puncte.

Deci reprezentarea geometrică a graficului funcției G este această dreaptă, dreapta AB.

Aș vrea acum să mai facem un ultim exemplu.

Și avem funcția H definită pe R cu valori in R.

H de T este egal cu 3.

Este o funcție liniară.

Păi trebuie să verificăm dacă legea de corespondență are această formă,

adică A înmulțit cu variabila, care este T aici,

adunat cu un alt număr real.

Însă aici observăm că nu ne apare variabila.

Asta înseamnă că nu avem o funcție liniară?

Păi iată că de fapt, dacă trecem pe 3 și chiar o să îl mutăm ca să ne fie mai ușor de urmărit.

Aici.

E ușor de sesizat că A este de fapt 0.

Din această cauză nu apare aici variabila T.

Avem 0 ori T adunat cu 3.

A este 0, B este 3.

Cu alte cuvinte, avem tot așa o funcție liniară.

Dacă e o funcție liniară, înseamnă că reprezentarea geometrică a graficului va fi o dreaptă.

Să facem tabelul de valori.

E un tabel foarte simplu.

Avem aici T și HDT.

Dar orice valoare i-am dat lui T, întotdeauna HD, valoarea respectivă, o să fie 3.

Dacă luăm, de exemplu, 1, o să avem 3.

Dacă luăm 4, o să ne dea tot 3.

Dacă luăm 2015, o să obținem HD 2015, tot 3.

Haideți să reprezentăm.

Mai întâi să trecem punctele.

A de coordonate 1 și 3.

Iar B de coordonate 4 și 3.

Alegem aceste două puncte.

Axa OX.

Axa OY.

Vom trece imediat și unitatea de măsură.

Primul punct.

Avem axisă 1, ordonată 3.

Deci avem aici 1, aici avem 1, 2 și 3.

Și vom obține primul punct, punctul A mare.

Punctul B mare.

Avem axisă 4, deci 2, 3, 4.

Iar ordonata este tot 3.

Și aici este punctul B mare.

Unim cele două puncte.

Și ceea ce vom obține va fi reprezentarea geometrică a graficului funcției H.

De fapt, avem o dreaptă care este paralelă cu axa OX.

Și mai merită să menționăm că o asemenea funcție se numește funcție

constantă.

De ce se numește așa?

Pentru că o asemenea funcție nu își modifică valoarea oricare ar fi valoarea variabilei.