Graficul unei funcții liniare (Intersecția cu axele de coordonate)
227 vizualizări · 14 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
Când trasăm graficul unei funcții liniare f(x)=ax+b, uneori este mai util să găsim acele puncte care se află la intersecția dintre grafic și axele de coordonate.
- pentru a determina punctul de intersecție dintre graficul funcției și axa OY, punem condiția x=0 și apoi calculăm f(0). Punctul va avea coordonatele A(0; f(0)).
- pentru a găsi punctul de intersecție dintre graficul funcției și axa OX, punem condiția ca f(x)=0 și rezolvăm apoi această ecuație, determinând valoarea lui x. Soluția ecuației va fi x= -b/a. Astfel, punctul de intersecție va avea coordonatele B(-b/a; 0).
Când trasăm graficul unei funcții liniare, uneori e mai folositor să găsim acele puncte care se află la intersecția dintre grafic și axele de coordonate.
Pentru că noi știm graficul unei funcții liniare ce este. Este o dreaptă.
Deci, dacă avem un sistem de coordonate, avem aici OX, aici este axa ordonatelor OY.
Bun, graficul unei funcții liniare am spus că este o dreaptă. Păi, dacă este o dreaptă, atunci ea va intersecta cel puțin una din cele două axe de coordonate.
Ea poate să arate, de exemplu, astfel și, iată, avem intersecția dintre grafic și axa OX aici, iar intersecția dintre grafic și axa OY este dată de acest punct.
Sau putem să avem graficul funcției să arate așa și punctele de intersecție dintre grafic și axele de coordonate sunt acesta și acesta.
Sau mai putem să avem și varianta în care funcția liniară este o funcție constantă și atunci graficul ei va fi o dreaptă paralelă cu axa OX.
Și uite, o putem desena chiar aici.
Acum, în această situație, nu mai intersectează axa OX, însă intersectează axa OY. O intersectează în acest punct.
Deci, ideea este că, oricum ar arăta graficul acelei funcții liniare, el va intersecta fie ambele axe, fie axa OY.
Deci, mereu vom avea cel puțin un punct care se află și pe graficul funcției și pe una din cele două axe.
Și acum, haideți să luăm un exemplu și luăm funcția f definită pe R cu valor in R, f de x egal cu 2x minus 3.
Vrem să trasăm în graficul acestei funcții găsind chiar punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate.
Am văzut, graficul e o dreaptă, avem aici o funcție liniară, prin urmare va intersecta fie ambele axe, fie doar axa OY.
Oricum, ar fi avem cel puțin un punct de intersecție.
Cum arată însă coordonatele acestor puncte?
Dacă dreapta care reprezintă graficul funcției ar fi de această formă, cum am desenat aici, și punctele de intersecție sunt acesta și acesta,
care e forma coordonatelor acestui punct?
Păi el este pe axa OX, asta înseamnă că ordonata este 0, deci dacă abscisa este, să-i spunem, A, ordonata va fi 0.
Acest punct însă are abscisa 0 pentru că el se află pe OY, iar ordonata, să-i spunem, B.
Aceasta e forma punctelor pe care le căutăm.
Și atunci, haideți să trasăm tabelul de valori.
Avem aici X și Fx.
Ca să găsim acest punct, ce condiție trebuie să trecem pentru X?
Păi fiind un punct pe OY, abscisa neapărat trebuie să fie 0, deci îi dăm mai întâi lui X valoarea 0.
Trecem aici X egal cu 0 și calculăm F de 0.
Avem aici 2 ori 0, minus 3, ne dăm minus 3 și venim și trecem aici minus 3.
Și ce am găsit? Păi acest punct de coordonate 0 și minus 3 aparține graficului funcției F, dar aparține și axei OY.
Deci se află la intersecția dintre graficul funcției și axea OY.
Pentru al doilea punct, cel care se află pe axea OX, trebuie să trecem ce condiție?
Păi ordonata trebuie să fie 0.
Deci trebuie să vedem pentru ce valoare a lui X F de valoarea respectivă ne dă 0.
Și atunci haideți să calculăm când F de X este 0.
Păi acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă F de X este 2X minus 3.
Deci este echivalent cu 2X minus 3 egal cu 0.
Echivalent mai departe cu X egal cu 3 supra 2.
Cu alte cuvinte, F de X este 0 numai dacă, dacă și numai dacă, X este 3 supra 2.
Venim aici și ștergem semnul întrebării, trecem 3 supra 2.
Și am găsit următorul punct.
Iată, are coordonatele 3 supra 2 și 0.
El se află și pe graficul funcției, deci aparține graficului funcției intersectat cu axea OX.
Pentru că așa arată un punct care se află pe axea absciselor.
Și să trasăm acum graficul.
Deci vom trece aceste două puncte.
Și avem așa primul punct.
Abscisă 0 ordonată minus 3.
Haideți să ne luăm și o unitate de măsură.
Am uitat aici să trecem.
Unitate de măsură.
Și avem așa 0 minus 3.
Deci trecem minus 3 pe axea OY.
Minus 1, minus 2, minus 3.
Aici este punctul nostru.
De coordonate 0 și minus 3.
Și următorul punct are abscisă 3 supra 2 și ordonata 0.
Deci aici este 1.
De fapt ceva mai la stânga.
Aici este 1.
Aici este 2.
Înseamnă că la jumătatea distanței este 3 supra 2.
Și punctul nostru este aici.
De coordonate 3 supra 2 și 0.
Unim cele două puncte.
Chiar să facem tot cu alb.
Și ce am obținut aici este graficul funcției.
FDX pe care l-am trasat folosind intersecția dintre grafic și axele de coordonate.
Aceste două puncte sunt punctele de intersecție.
Deci nu e nimic complicat.
Trebuie mai întâi să îi dăm lui X valoarea 0.
Și apoi calculăm cât este F de 0.
Iar apoi îi dăm lui FDX valoarea 0.
Și vedem pentru ce valoare a lui X.
Într-adevăr F de valoarea respectivă ne dă 0.
De ce uneori e mai folositor să trasăm graficul unei funcții liniare.
Chiar prin punctele de intersecție cu axele.
Cum am făcut aici.
Pentru că e posibil ca în anumite exerciții să determinăm area triunghiului.
Format de graficul funcției cu axele de coordonate.
Adică ne referim la area acestui triunghi.
Și atunci avem nevoie chiar de coordonatele punctelor care reprezintă vârfurile triunghiului.
Aici știm deja că avem coordonatele 0 și 0.
Însă avem nevoie să le știm și pe acestea două.
Și atunci folosim intersecția graficului cu axele de coordonate.
Ce fel de triunghi avem aici?
Păi este un triunghi dreptunghic.
Avem aici un unghi cu măsura de 90 de grade.
Și atunci haide să scriem formula.
Să mutăm ce am scris aici.
Cu cât este egală area unui triunghi dreptunghic?
Păi mai întâi haide să notăm și punctele.
Avem aici notăm punctul A mare, aici B mare.
Deci A are coordonatele 3x2 și 0.
Acesta este A, iar acesta este B.
Și acum haide să scriem formula ariei.
Pentru un triunghi dreptunghic, area triunghiului AOB
este egală cu semiprodusul lungimilor catetelor.
Deci avem aici supra 2, iar aici care sunt catetele?
AO și OB.
Deci avem produsul AO x OB.
Aici avem lungimile celor două catete.
Ce lungime are această catetă notată OA?
Păi câte unități de măsura avem aici?
De la originea axei OX până în acest punct
avem 3x2 unități.
3x2 unități de măsură.
Însă aici câte unități de măsură avem?
Atenție! Deși aici avem ordonata minus 3,
noi vrem să găsim lungimea acestei catete.
Deci ne interesează câte unități de măsură avem.
Nu ne deranjează faptul că aici avem un număr negativ.
Pentru că, de fapt, aici avem 3 unități de măsură.
Și atunci, haideți să calculăm.
Vom avea așa linie de fracție numitorul 2.
AO este 3x2, iar OB este 3.
Și vom avea 3x2 ori 3 o să ne dea 9.
9x2, totul supra 2.
Avem o fracție suprapusă aici,
e linia principală de fracție
și vom obține, de fapt, 9x4.
Chiar o să șterg aici că nu mai am mult spațiu
și o să scriu direct 9 supra 4.
Aceasta este area triunghiului
format de graficul funcției cu axele de coordonate.
Un alt exemplu este acesta
în care avem funcția g definită pe R cu valori în R,
g de x egal cu x plus 4.
Și vrem să trasăm graficul funcției
folosind intersecția cu axele de coordonate.
În tabelul de valori, ce vom trece?
Avem aici x, g de x.
Mai întâi îi dăm lui x valoarea 0
și apoi calculăm valoarea funcției g în 0,
iar apoi vedem pentru ce valoare a lui x g
de valoarea respectivă ne dă 0.
G de 0 mai întâi. Cât este?
Dacă x este 0, calculăm g de 0.
Avem 0 plus 4, adică ne dă 4.
Trecem aici și avem acest punct de coordonate 0 și 4
care se află pe graficul funcției g.
Și unde se mai află?
Păi având abscisa 0 înseamnă că el se află pe axa OY.
Deci la intersecția dintre graficul funcției cu axa OY.
Acum, dacă g de x ne dă 0,
deci dacă g de x este 0,
este unul și același lucru cu a spune că
x plus 4, pentru că atât este g de x,
x plus 4 este 0,
echivalent cu x egal minus 4.
Deci pentru x egal minus 4,
g de minus 4 ne dă 0.
E clar, aici avem o relație echivalentă,
deci dacă x e minus 4, rezultă că g de minus 4 e 0.
Și avem punctul, coordonatele minus 4 și 0,
minus 4 și 0,
aparține graficului funcției g
intersectat cu ce axă?
Păi ordonata e 0, deci el se află pe axa OX.
Și să trasăm aceste două puncte.
Avem 0 și 4,
deci pe OY, trecem numărul 4,
avem 1, 2, 3,
aici este 4,
și iată, avem acest punct,
pe care haide să-l notăm cu A mare,
avem aici punctul A mare,
și minus 4 și 0,
deci venim și trecem aici,
minus 4, minus 1, minus 2,
minus 3 și minus 4,
este aici,
vom trece punctul B mare,
deci trecem aici B mare,
unim cele două puncte,
și ce am obținut aici,
este graficul funcției g,
pe care l-am determinat, l-am trasat,
folosind intersecția cu axele de coordonate.
Deci reținem că îi dăm mai întâi lui x valoarea 0,
iar apoi îi dăm și lui g de x valoarea 0,
și astfel determinăm punctele
care se află pe axele de coordonate,
dar și pe graficul funcției.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.
