Compunerea funcțiilor (aplicații)

Definiție. Fie funcțiile:

$f:A\to B, g:B\to C.$

Se numește compusa funcției g cu funcția f, funcția definită astfel:

$g\circ f:A\to C, (g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right), \forall x\in A.$

Observație. Compunerea funcției g cu funcția f se poate defini numai atunci când codomeniul lui f coincide sau este inclus în domeniul de definiție a lui g.

Proprietăți ale compunerii funcțiilor

1. Compunerea funcțiilor este asociativă:

$$\begin{gathered} f:A\to B, g:B\to C, h:C\to D \\ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f). \end{gathered}$$

2. Fie funcțiie:

$f:A\to B și 1_A:A\to A, 1_A\left(x\right)=x (\mathrm{funcția} \mathrm{identică} \mathrm{a} \mathrm{mulțimii} \mathrm{A}).$

Atunci:

$f\circ 1_A=f.$

Observație. Compunerea funcțiilor nu este comutativă.