Funcția logaritmică

Să considerăm funcția exponențială definită pe R cu valori în intervalul 0 plus infinit exprimată prin legea f de x egal cu 2 la puterea x.

Funcția exponențială este funcția în care variabila x este la exponent.

Elementul 3 va avea prin funcția f imaginea 8 pentru că 2 la puterea 3-a este egal cu 8.

Elementul 4 va avea prin funcția f imaginea 16 pentru că 2 la puterea 4-a este egal cu 16.

Spuneam în lecția trecută că funcția exponențială este inversabilă.

Ne propunem în continuare să găsim inversa acestei funcții.

Mai exact ne interesează funcția care duce elementele din codomeniu în domeniu.

Care ar putea fi procedeul prin care atașăm numărul 8, imaginea 3?

Având în vedere că 2 la puterea 3-a este egal cu 8, atunci din definiția logaritmului unui număr pozitiv avem că logaritm în baza 2 din 8 este egal cu 3.

Vă reamintesc că logaritmul este exponentul la care ridic baza logaritmului pentru a obține 8.

În mod analog avem că logaritm în baza 2 din 16 este egal cu 4.

Să reținem că logaritmul este exponentul la care ridic baza pentru a obține acel număr.

Astfel funcția care duce elementele din codomeniu în domeniu va fi f la minus 1 de y egal cu logaritmul în baza 2 a numărului y.

Dacă revenim la notația cu x, avem că f la minus 1 de x va fi egal cu logaritmul în baza 2 a numărului x.

Așadar inversa funcției exponențiale este funcția logaritmică.

În cazul general, dacă a este număr strict pozitiv, a diferit de 1, atunci funcția f definită pe r cu valori în intervalul 0 plus infinit,

exprimată prin legea f de x egal cu a la puterea x, va avea ca și inversă funcția f definită pe intervalul 0 plus infinit cu valori în r,

exprimată prin legea f de x egal cu logaritm în baza a a numărului x.

Aceasta este funcția logaritmică de bază a.

Funcția logaritmică este definită atâta vreme cât a este număr strict pozitiv, a diferit de 1.

Trebuie să reținem că funcția logaritmică există numai pentru argumente pozitive.

În continuare să vedem câteva proprietăți ale funcției logaritmice.

Dacă x este egal cu 1, atunci f de 1 este egal cu logaritm în baza a a numărului 1 și egal cu 0, pentru că logaritmul lui 1 în orice bază este 0.

Putem astfel trage concluzia că punctul a de coordonate 1-0 aparține graficului funcției logaritmice.

Să vedem în continuare monotonia funcției logaritmice.

Întotdeauna inversa unei funcții păstrează monotonia funcției directe.

Astfel, dacă a este cuprins între 0 și 1, atunci funcția logaritmică este strict descrescătoare pe domeniul de definiție,

iar dacă a este mai mare ca 1, atunci funcția logaritmică este strict crescătoare.

Așadar, funcția logaritmică este strict descrescătoare dacă baza este subunitară și strict crescătoare dacă baza este supraunitară.

Funcția logaritmică este bijectivă și inversabilă,

iar inversa ei este funcția exponențială.

În continuare, să vedem câteva reprezentări grafice.

Să reprezentăm grafic funcția logaritmică f de x egal cu logaritm în baza 2 din x.

Trasarea graficului se va realiza prin puncte.

Am făcut astfel un tabel de valori.

Pe prima linie avem x, pe a doua linie avem f de x.

Putem observa că este destul de dificil să anticipăm care ar fi acele valori ale lui x

pentru care putem calcula cu ușurință logaritmul în baza 2 a numărului x.

Și atunci vom nota cu y f de x

și vom scrie relația logaritm în baza 2 a numărului x egal cu y

sub formă exponențială.

Această egalitate se mai poate scrie exponențial astfel 2 la puterea y egal cu x.

Deci cele două relații exprimă același lucru, dar sunt scrise sub forme diferite.

Observăm că este mai ușor să atribuim lui y valori și apoi să-l calculăm pe x.

Astfel dacă y este minus 2, atunci 2 la puterea minus 2 va fi egal cu 1 pe 4,

așadar x este egal cu 1 pe 4, iar y este minus 2.

Dacă y este minus 1, avem 2 la puterea minus 1 egal cu 1 pe 2,

x va fi 1 pe 2, iar y va fi minus 1.

Dacă y este egal cu 0, 2 la puterea 0 este egal cu 1, avem punctul de coordonate 1, 0,

iar dacă y este egal cu 1, 2 la întâia este egal cu 2.

Vom avea punctul de coordonate 2 și 1.

Și acum vom reprezenta aceste puncte într-un reper cartezian.

Avem punctul de coordonate 1 pe 4, minus 2, apoi punctul de coordonate 1 pe 2, minus 1,

punctul 1, 0 și punctul 2, 1.

Dacă unim printr-o linie continuă aceste puncte, obținem graficul funcției logaritmul baza 2 din x.

Se poate observa că funcția este stricrescătoare,

iar axa Oy sau dreapta de ecuație x egal cu 0 este asimptotă verticală pentru graficul acestei funcții.

Dacă reprezentăm în același reper cartezian și graficul funcției 2 la puterea x,

iată, putem observa că cele două grafice sunt simetrice față de prima bisectoare.

În continuare vom reprezenta grafic funcția logaritmul baza 1 supra radical din 3 a numărului x.

Așa cum spuneam mai devreme, este destul de dificil să anticipăm ce valori să atribuim lui x

pentru a putea calcula cu ușurință acest logaritm.

Și atunci notăm f de x egal cu y,

iar relația logaritm în baza 1 pe radical din 3 a numărului x egal cu y

se va scrie su formă exponențială, astfel, 1 supra radical din 3

ridicat la puterea y egal cu x.

În continuare putem scrie această egalitate su forma radical din 3 la minus 1 și totul la y,

deci radical din 3 la minus y egal cu x.

Și acum atribuim valori lui y.

Dacă y este egal cu 2, radical din 3 la puterea minus 2

va fi egal cu 1 supra radical din 3 la a doua, deci 1 pe 3.

Astfel obținem punctul de coordonate 1 pe 3 și 2.

Dacă y este egal cu 1, avem radical din 3 la minus 1 și egal cu 1 supra radical din 3.

Pentru x egal cu 1 pe radical din 3 am obținut y egal cu 1.

Dacă y este egal cu 0, vom avea radical din 3 la puterea 0 și egal cu 1.

Vom trece în tabel punctul de coordonate 1, 0.

Iar dacă y este egal cu minus 1, avem radical din 3 la minus minus 1,

deci radical din 3 la 1 egal cu radical din 3.

Avem punctul de coordonate radical din 3 și minus 1.

Să mai luăm o valoare pentru y egal cu minus 2.

Avem radical din 3 la minus minus 2, adică radical din 3 la a doua și egal cu 3.

Am obținut punctul de coordonate 3 minus 2.

Vom reprezenta aceste puncte într-un reper cartezian.

Avem punctul de coordonate 1 pe 3, 2, punctul de coordonate 1, 0, radical din 3 și minus 1 și punctul 3 minus 2.

Unim cele patru puncte albastre printr-o linie continuă.

Iată, acesta este graficul funcției logarit în baza 1 pe radical din 3 din x.

Se poate observa că în cazul în care baza logaritmului este subunitară, funcția logaritmică este strict descrescătoare.

Și în această situație, dreapta de ecuație x egal cu 0 este asimptotă verticală pentru graficul funcției.