Funcția putere cu exponent natural

În unele formule ce exprimă arii și volume, întâlnim funcția putere.

De exemplu, aria pătratului este latura la puterea a doua, sau volumul cubului este latura la puterea a treia.

O funcție f definită pe r cu valori în r, f de x egal cu x la n, unde n este număr natural nenul, se numește funcție putere.

Dacă n este egal cu 1, obținem funcția de gradul întâi, f de x egal cu x, iar dacă n este egal cu 2, obținem funcția de gradul al doilea, f de x egal cu x la pătrat.

În cele ce urmează vom discuta proprietățile funcției putere, în cazul în care n este număr par, respectiv impar.

Dacă n este număr par, atunci acesta va fi de forma 2k, unde k este număr natural nenul, iar în acest caz f de x va fi egal cu x la puterea 2k.

Să verificăm în continuare paritatea acestei funcții.

Pentru aceasta vom calcula f de minus x.

Vom avea minus x la puterea 2k.

Orice număr negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv, în consecință vom avea egal cu x la puterea 2k și egal cu f de x.

Am obținut că f de minus x este egal cu f de x, în consecință f este o funcție pară.

Așadar, graficul acestei funcții va fi simetric față de axa OY.

Funcția f nu este monotonă pe tot domeniul de definiție, însă există intervale de monotonie.

Pentru a studia monotonia acestei funcții, vom considera mai întâi primul caz, în care x1 și x2 aparțin intervalului minus infinit 0,

astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Vom ridica la o putere pară această inegalitate și vom obține că x1 la puterea 2k este mai mare decât x2 la puterea 2k.

Pentru a înțelege mai bine acest aspect, iată un exemplu concret, știm că minus 4 este mai mic decât minus 3.

Dacă ridicăm la o putere pară această inegalitate, vom avea că minus 4 la a doua este mai mare decât minus 3 la a doua,

pentru că 16 este mai mare decât 9.

Obținem așadar că f de x1 este mai mare decât f de x2.

În consecință, funcția f este strict descrescătoare pe intervalul minus infinit 0.

Să vedem ce se întâmplă în cazul în care x1 și x2 aparțin intervalului 0 infinit.

Considerăm x1 mai mic decât x2.

Dacă ridicăm la o putere pară această inegalitate, vom avea că x1 la 2k este mai mic decât x2 la puterea 2k.

Atunci când numerele sunt pozitive, relația de ordine dintre acestea se păstrează prin ridicare la putere.

Obținem așadar că f de x1 este mai mic decât f de x2.

În consecință, f este strict crescătoare pe intervalul 0 plus infinit.

În continuare vom studia semnul funcției.

Pentru x egal cu 0, f de x va fi egal cu 0.

Dacă x ia valori de la minus infinit la 0, funcția are valori pozitive pentru că orice număr negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv,

iar în cazul în care x este mai mare ca 0, și funcția f de x va avea valori pozitive.

Observăm așadar că funcția ia doar valori pozitive, deci graficul acesta va fi situat deasupra axei OX și va trece prin punctul de coordonate 0, 0.

În continuare vom reprezenta grafic două funcții particulare, f de x egal cu x la a doua și f de x egal cu x la a patra.

Am făcut un tabel de valori și în continuare vom calcula valorile funcției f de x egal cu x la a doua.

Pentru x egal cu 0, f de 0 este 0, 1 la a doua este 1, 3 supra 2 la a doua este 9 pe 4, iar 2 la a doua este 4.

Minus 1 la a doua este 1, minus 3 supra 2 la a doua este 9 pe 4, minus 2 la a doua este egal cu 4.

Să calculăm și valorile funcției f de x egal cu x la a patra.

Pentru x egal cu 0, funcția are valoarea 0, 1 la a patra este 1, 3 supra 2 la puterea a patra va fi 81 pe 16,

2 la a patra este 16, minus 1 la a patra este 1, minus 3 supra 2 la a patra este 81 pe 16 și minus 2 la a patra este egal cu 16.

Graficul acestor funcții se va obține prin puncte, adică unim cu o linie continuă punctele ale căror coordonate sunt valorile din acest tabel.

Iată graficul funcției f de x egal cu x la a doua.

Observăm că această parabolă trece prin punctul de coordonate 0, 0 și prin punctele de coordonate minus 1, 1, respectiv 1, 1.

Așa cum spunea mai devreme, funcția este strict descrescătoare pentru x lung valor de la minus infinit până la 0 și strict crescătoare pentru x lung valor de la 0 la plus infinit.

De asemenea, remarcăm faptul că axa Oy este axa de simetrie pentru graficul acestei funcții.

Să vedem în continuare graficul funcției f de x egal cu x la a patra.

Iată, observăm că și această parabolă trece prin punctul de coordonate 0, 0 și prin punctele de coordonate minus 1, 1, respectiv 1, 1.

De fapt, toate parabolele de forma x la puterea 2k trec prin punctele de coordonate minus 1, 1 și 1, 1.

Cu cât exponentul funcției este mai mare, cu atât ramurile parabolei sunt mai apropiate de axa Oy.

Observăm că funcția f de x egal cu x la 2k nu este bijectivă, însă dacă luăm în considerare doar o jumătate din această parabolă, funcția devine bijectivă.

Astfel, pentru x lung valor de la minus infinit la 0 și pentru y lung valor de la 0 la plus infinit, funcția este bijectivă, deci inversabilă.

De asemenea, se obține o funcție bijectivă și pentru x lung valori de la 0 la plus infinit și codomeniul 0 plus infinit.

În continuare, dorim să studiem proprietățile funcției putere cu exponent natural în cazul în care n este număr impar.

Dacă n este impar, atunci n se poate scrie sub forma 2k plus 1, unde k este număr natural nenul,

iar în această situație f de x va fi egal cu x la puterea 2k plus 1.

Pentru a studia paritatea funcției, vom calcula f de minus x și avem minus x la puterea 2k plus 1.

Un număr negativ la o putere impară își păstrează semnul minus, în consecință vom avea minus x la puterea 2k plus 1

și egal cu minus f de x.

Obținem astfel că funcția f este o funcție impară.

Așadar, pentru n par, funcția este pară, iar în cazul în care n este impar, funcția este impară.

În această situație, graficul funcției va fi simetric față de originea reperului cartezian.

Să studiem în continuare monotonia acestei funcții.

Numerele negative ridicate la o putere impară își păstrează semnul, prin urmare putem studia monotonia acestei funcții pe tot domeniul de definiție R.

Fie așadar x1 și x2, numere reale, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.

Dacă ridicăm inegalitatea la puterea 2k plus 1, vom avea x1 la 2k plus 1 mai mic decât x2 la puterea 2k plus 1.

Obținem astfel că f de x1 este mai mic decât f de x2, în consecință funcția f este strict crescătoare pe R.

În continuare aș vrea să vedem semnul acestei funcții.

Pentru x egal cu 0, funcția ia valoarea 0.

Pentru x plum valori negative, funcția f de x are de asemenea valori negative, pentru că orice număr negativ la o putere impară rămâne negativ,

iar pentru x plum valori mai mari ca 0, funcția are valori pozitive.

Putem astfel trage concluzia că pentru valorile lui x mai mici decât 0, graficul va fi situat sub axa OX,

iar pentru acele valori ale lui x mai mari ca 0, graficul va fi situat deasupra axei OX.

De asemenea, graficul trece prin punctul de coordonate 0, 0.

În continuare vom reprezenta grafic funcția f de x egal cu x la puterea 3a.

Vom face un tabel de valori.

Pentru x egal cu 0 avem 0 la puterea 3a egal cu 0, 1 la 3a este 1,

3 supra 2 la puterea 3a este 27 supra 8,

și 2 la 3a este egal cu 8.

Graficul funcției se obține unind printr-o linie continuă punctele ale căror coordonate sunt valorile din acest tabel.

Iată graficul funcției.

Această parabolă se numește parabolă cubică.

Toate parabolele de aici sunt numită cu un nume cu un nume cu un nume cu un nume cu un nume.

Parbolele de forma x la puterea 2k plus 1 trec prin punctele de coordonate minus 1, minus 1, 0, 0 și 1, 1.

Observăm că funcția este stricrescătoare pe tot domeniul de definiție,

iar punctul O este centrul de simetrie pentru graficul acestei funcții.