Operații cu funcții numerice

În acest video o să definim câteva operații cu funcții numerice, dar mai întâi aș vrea să vedem ce înțelegem prin funcții egale.

Și o să încep cu un exemplu simplu. Fie f și g, două funcții definite pe mulțimea 0, 2 cu valori în R.

f de x este egal cu x, iar g de x este egal cu x pătrat supra 2.

Haideți să calculăm valorile acestor funcții în fiecare punct.

f de 0 este egal cu 0, g de 0 este egal cu 0 la pătrat supra 2, egal cu 0.

Observăm așadar că f de 0 este egal cu g de 0.

Calculăm și f de 2. f de 2 este egal cu 2 și g de 2 este egal cu 2 la a doua pe 2, adică 2.

Prin urmare, f de 2 este egal cu g de 2.

Observăm așadar că valorile funcțiilor f și g sunt egale pentru fiecare punct din domeniul de definiție.

Cu alte cuvinte, putem să scriem că f de x este egal cu g de x, oricare ar fi x, un punct din domeniul de definiție.

Dacă ne uităm puțin la aceste funcții, observăm că ele au același domeniu de definiție, iată, mulțimea 0, 2,

au același codomeniu și punctual funcțiile coincid.

Astfel de funcții se vor numi funcții egale și vom scrie f egal cu g.

Observăm că nu este obligatoriu ca cele două funcții să aibă aceeași lege de corespondență.

Iată, f de x este egal cu x, iar g de x este x pătrat supra 2.

Cu toate acestea, funcțiile au aceeași valoare pentru fiecare punct din domeniul de definiție.

Așadar, vom scrie că f este egal cu g.

Și acum să definim o primă operație cu funcții numerice.

Vă reamintesc că funcțiile numerice sunt funcții definite pe mulțimea numerelor reale

sau pe sumul ale mulțimii numerelor reale.

Funcțiile numerice se mai numesc și funcții reale de variabile reale.

O primă operație despre care vreau să discutăm este suma a două funcții numerice.

Fie f o funcție definită pe o mulțime oarecare a cu valori în R,

iar g o funcție definită pe b cu valori în R,

unde a și b sunt sumul ale mulțimii numerelor reale.

Atunci, suma funcțiilor f și g este funcția notată astfel, f plus g.

Domeniul maxim de definiție al acestei funcții este intersecția domenilor de definiție a funcțiilor f și g,

așadar f plus g este o funcție definită pe a intersectat cu b cu valori în R,

dată prin legea f plus g de x, egal cu f de x plus g de x,

oricare ar fi x un punct din a intersectat cu b.

Cu alte cuvinte, suma a două funcții într-un punct este egală cu suma valorilor funcțiilor în acel punct.

Să luăm și un exemplu.

Fie f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu 2x plus 5,

și g definită pe R cu valori în R, g de x egal cu 2 minus x.

Atunci, f plus g este o funcție definită pe R cu valori în R.

Din moment ce f și g au același domeniu de definiție, evident și domeniul de definiție a sumei va fi tot R,

iar f plus g de x va fi egal cu f de x plus g de x și egal cu 2x plus 5 plus 2 minus x,

egal cu x plus 7.

Iată, am calculat suma funcțiilor f și g.

Și acum să trecem la o altă operație, produsul a două funcții f și g.

Considerăm funcția f definită pe a cu valori în R și g definită pe b cu valori în R,

unde a și b sunt sumulțimi ale mulțimii numerelor reale.

Atunci, produsul funcțiilor f și g este funcția notată cu f ori g.

Aceasta se definește pe a intersectat cu b cu valori în R.

f ori g de x va fi egal cu f de x ori g de x.

Deci, produsul a două funcții într-un punct este egal cu produsul valorilor funcțiilor în acel punct.

De exemplu, dacă avem aceleași funcții f definită pe R cu valori în R,

f de x egal cu 2x plus 5 și g definită pe R cu valori în R,

g de x egal cu 2 minus x,

atunci produsul funcțiilor f și g este funcția f ori g definită pe R cu valori în R,

f ori g de x va fi egal cu f de x ori g de x.

f de x în cazul acesta este 2x plus 5,

iar g de x este 2 minus x.

Facem calculele, obținem 4x minus 2x pătrat plus 10 minus 5x

egal cu minus 2x pătrat minus x plus 10.

În cazul în care funcțiile f și g nu ar fi avut același domeniu de definiție,

atunci domeniul maxim de definiție al produsului ar fi fost intersecția domeniilor de definiție ale celor două funcții.

O altă operație despre care o să discutăm este câtul a două funcții,

fie f definită pe A cu valori în R,

g definită pe B cu valori în R.

A și B sunt mulțimi ale lui R.

Câtul a două funcții f și g este funcția notată f pe g.

Aceasta se definește pe A intersectat cu B,

dar, atenție, trebuie să scoatem din acest domeniu de definiție

acele valori pentru care se anulează numitorul.

Deschidem mulțimea celor puncte x în care g de x este egal cu 0.

Și cu valori în R, f supra g de x este egal cu f de x supra g de x.

De exemplu, dacă funcția f de x este egală cu 2x plus 5,

iar g de x este 2 minus x,

atunci f supra g de x este egal cu 2x plus 5 supra 2 minus x.

Observăm că numitorul acestei fracții se anulează pentru x egal cu 2.

Prin urmare, funcția f supra g este definită pe R

din care eliminăm numărul 2 și cu valori în R.

Așadar, pentru câtulă a două funcții,

trebuie să avem grijă să eliminăm din domeniul de definiție

acele valori care anulează numitorul.

O altă operație despre care o să discutăm

este produsul dintre o funcție și un număr real.

Dacă avem funcția f definită pe A cu valori în R

și alfa un număr real,

atunci definim funcția alfa f

pe A cu valori în R

unde alfa f de x

este egal cu alfa ori f de x.

Acestea au fost principalele operații cu funcții.

În continuare aș vrea să facem două observații.

O primă observație.

În cazul în care avem n funcții,

f1, f2 și așa mai departe, fn

definite pe A cu valori în R,

atunci suma acestor n funcții

este funcția notată f1 plus f2 plus și așa mai departe plus fn.

Aceasta se definește pe A cu valori în R

iar f1 plus f2 plus fn de x

va fi egal cu f1 de x plus f2 de x

plus și așa mai departe plus fn de x

oricare ar fi x din domeniul de definiție.

Așadar suma funcțiilor într-un punct

este egală cu suma valorilor funcțiilor în acel punct.

Iar produsul f1 ori f2 ori și așa mai departe

ori fn de x va fi egal cu f1 de x

ori f2 de x

ori puncte puncte ori fn de x.

În cazul în care funcțiile sunt egale

dacă f1 este egal cu f2

egal cu fn și egal cu f

atunci suma acestor n funcții

f1 plus f2 plus fn de x

va fi egal cu n ori f de x

pentru că avem n funcții egale

iar produsul f1 ori f2 ori fn de x

este egal cu f la puterea n de x

și egal cu f de x totul la puterea n.

Și o ultimă observație

Dacă avem două funcții

f definită pe a cu valori în R

g definită pe b cu valori în R

unde a și b sunt sumulțime ale mulțimii numerelor reale

atunci vom defini diferența dintre funcțiile f și g

ca fiind funcția notată f minus g

aceasta e definită pe a intersectat cu b cu valori în R

f minus g de x

este egal cu f de x minus g de x

Am scris această operație ca și observație

pentru că ea este de fapt o consecință a operațiilor amintite mai devreme

pentru că f minus g este de fapt f adunat cu minus g

deci practic avem aici o sumă

iar minus g este de fapt minus 1 ori g

produsul dintre numărul real minus 1 și funcția g

De exemplu, dacă f de x este 2x plus 5 și g de x este 2 minus x

ambele funcții definite pe R cu valori în R

atunci f minus g de x este egal cu 2x plus 5 minus 2 minus x

egal cu 3x plus 3

Adunarea funcților numerice are câteva proprietăți ce rezultă din proprietățile adunării numerelor reale

Să nu uităm că funcțiile numerice sunt funcții definite pe R

sau pe sumul țimii ale mulțimii numerelor reale

Așadar, adunarea funcților este asociativă, comutativă

iar funcția nulă este element neutru pentru adunare

Funcția nulă este funcția care are valoarea 0 în fiecare punct

oricare ar fi x un punct din domeniul de definiție

Apoi, înmulțirea funcților este de asemenea asociativă, comutativă

iar funcția unitate este element neutru pentru înmulțire

Funcția unitate este funcția care are valoarea 1 pentru orice punct din domeniul de definiție

Iar înmulțirea funcților este o operație distributivă față de adunare

f pe lângă g plus h este egal cu f ori g plus f ori h