Funcții periodice

În această lecție discutăm despre funcții periodice și pornim de la acest exemplu.

Avem fracția 134 supra 999.

Dacă transformăm această fracție ordinară în fracție decimală, obținem 0,134 în perioadă.

Avem așadar o fracție decimală periodică simplă.

Haideți acum să definim o funcție, f, definită pe mulțimea numerelor naturale nenule cu valori în n,

unde f de n este a n-a decimală a acestui număr 134 supra 999.

Și acum să calculăm câteva valori pentru această funcție.

F de 1 este prima decimală a numărului, adică 1.

F de 2. A doua decimală este 3.

A treia decimală este 4.

A patra decimală este 1, pentru că urmează din nou perioada 134.

A cincea decimală este 3.

A șasea decimală este 4.

Dacă ne uităm cu atenție la valorile acestei funcții, observăm că acestea se repetă din 3 în 3.

Iată.

Prin urmare, avem următoarea egalitate.

F de 1 este egal cu f de 4.

Apoi, f de 2 este egal cu f de 5.

Iar f de 3 este egal cu f de 6.

Și așa mai departe, f de n va fi egal cu f de n plus 3.

Iată, oricare ar fi n număr natural nenul.

Observăm așadar că valorile funcției se repetă din 3 în 3,

iar o astfel de funcție se numește funcție periodică,

iar acest număr 3 se numește perioadă, mai exact perioadă principală,

iar perioada se notează în general cu litera T mare.

Și acum să ne uităm puțin la graficul acestei funcții.

Fiind o funcție f definită pe n cu valori în n,

pe ax absciselor avem numere naturale,

iar pe ax ordonatelor avem valorile acestor numere prin funcția f.

Avem așadar un prim punct al graficului, punctul de coordonate 1-1,

apoi f de 2 este 3, f de 3 este 4, f de 4 este 1,

f de 5 este 3, f de 6 este 4 și așa mai departe.

Așadar graficul acestei funcții este dat de mulțimea punctelor roșii din reperul cartezian.

Dacă ne uităm cu atenție la graficul acestei funcții,

observăm că ar fi fost suficient să trasăm graficul pe un interval de lungimea unei perioade,

iar generarea lui pe tot domeniul de definiție să se facă translatându-l la dreapta,

de-a lungul axei absciselor.

Am evidențiat în culori diferite acea porțiune a graficului care se repetă.

În cazul acestui exemplu perioada este 3,

așadar ar fi fost suficient să reprezentăm doar prima porțiune a graficului,

apoi să translatăm graficul de-a lungul axei absciselor.

Aceasta este o proprietate importantă a graficului funcțiilor periodice.

Și acum să dăm și definiția acestor funcții.

Avem așadar următoarea definiție.

Fie f o funcție definită pe a cu valori în r, unde a este o sumulțime a lui r,

mă spune că funcția f se numește periodică.

Dacă există un număr pozitiv t,

astfel încât pentru orice x din a să aibă loc egalitatea f de x egal cu f de x plus t,

atâta timp cât și valoarea x plus t rămâne în domeniul de definiție.

Numărul t se numește perioadă.

Iar dacă există o cea mai mică perioadă,

atunci aceasta se va numi perioadă principală și se notează de obicei cu t zero.

Să vedem în continuare o proprietate a funcțiilor periodice.

Dacă f este periodică, înseamnă că are loc această egalitate din definiție f de x egal cu f de x plus t.

Din urmare, dacă la argumentul funcției x adunăm perioada t, funcția va avea aceeași valoare.

Înseamnă că la acest argument x plus t putem să mai adunăm încă o dată perioada t,

iar funcția va avea aceeași valoare.

Așadar, putem să scriem egal mai departe cu f de x plus t plus t.

Dar acest lucru este egal cu f de x plus 2t.

Și acum putem să adunăm încă o dată perioada t și obțin aceeași valoare pentru funcția f,

deci egal în continuare cu f de x plus 3t și așa mai departe.

Însă această prima egalitate se poate scrie și invers, f de x plus t este egal cu f de x.

Așadar, dacă din argumentul funcției scădem perioada t, funcția va avea aceeași valoare.

Deci putem egala mai departe cu f de x minus t.

Din argumentul x am scăzut perioada t, așa cum am făcut aici la primul pas.

Mai departe putem să scădem încă o dată perioada t, iar funcția își va păstra valoarea.

Deci avem f de x minus 2t.

Și așa mai departe, f de x minus 3t, puncte puncte.

Prin urmare să reținem că dacă o funcție f este periodică,

atunci pentru orice x din domeniul de definiție și pentru orice număr k întreg,

are loc egalitatea f de x egal cu f de x plus kt.

Am văzut că numărul k poate să fie atât pozitiv cât și negativ,

prin urmare pentru orice k întreg are loc această egalitate.

În continuare o să facem un exercițiu.

Fie f definită pe mulțimea numerelor naturale nenule cu valorin n,

f de n este egal cu ultima cifră a numărului 3 la puterea n.

Arătați că f este periodică și aflați perioada principală t0.

Din moment ce f de n este egal cu ultima cifră a numărului 3 la puterea n,

haideți să scriem câteva puteri ale numărului 3 la n.

3 la 1-a este 3, 3 la 2-a 9, 3 la 3-a 27,

3 la 4-a 81, 3 la 5-a 243, 3 la 6-a 729,

3 la 7-a 2187 și 3 la 8-a 6561.

Bineînțeles că pe noi ne interesează doar ultima cifră.

Iată, avem 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 și așa mai departe.

f de 1 este ultima cifră a numărului 3 la puterea 1-a, adică 3,

f de 2 este ultima cifră a numărului 3 la a 2-a, 9,

f de 3 este ultima cifră a numărului 3 la a 3-a, adică 7,

f de 4 este ultima cifră a numărului 3 la a 4-a, adică 1,

f de 5 este 3, f de 6 este 9, f de 7 este 7 și f de 8 este 1.

Observăm că valorile acestei funcții se repetă din 4 în 4

pentru că f de 1 este egal cu f de 5, iată, 3 și 3,

apoi f de 2 este egal cu f de 6, f de 3 este egal cu f de 7

și f de 4 este egal cu f de 8.

Și așa mai departe observăm că f de n este egal cu f de n plus 4,

oricare ar fi n număr natural nenul.

Prin urmare, perioada principală a acestei funcții este 4,

deci vom scrie T0 egal cu 4.

Haideți să demonstrăm acest lucru și pe cazul general.

Dacă n este un număr de forma 4K,

avem f de 4K egal ultima cifră a numărului 3 la puterea 4K,

egal cu ultima cifră a numărului 3 la a patra, totul la puterea K.

Dar ultima cifră a numărului 3 la a patra este 1

și ridicat la o putere K obținem 1.

Apoi, dacă n este de forma 4K plus 1,

funcția va fi ultima cifră a numărului 3 la puterea 4K plus 1.

Care se mai poate scrie 3 la puterea 4K ori 3 la antăia.

3 la puterea 4K are ultima cifră egală cu 1,

care înmulțit cu 3 ne va da 3.

Dacă argumentul funcției este de forma 4K plus 2,

atunci avem ultima cifră a numărului 3 la 4K plus 2,

care este egal cu ultima cifră a lui 3 la 4K ori 3 la a doua.

Ultima cifră a lui 3 la 4K este 1, înmulțit cu 9 ne va da 9.

Iar dacă argumentul funcției este de forma 4K plus 3,

avem ultima cifră a numărului 3 la 4K plus 3,

egal cu ultima cifră a lui 3 la 4K ori 3 la a treia.

3 la a treia este 27, deci ultima cifră a acestui număr este 7,

iar ultima cifră a numărului 3 la 4K este 1.

În final obținem 1 ori 7, 7.

Iar dacă argumentul funcției ar fi de forma 4K plus 4,

atunci acest caz se reduce la primul, în care se obține ultima cifră a numărului egală cu 1.

Am arătat astfel că funcția f este periodică, iar perioada principală este egală cu 4.