Propoziția (matematică) este un enunț care poate fi adevărat sau fals.

Valoarea de adevăr a unei propoziții p se notează v(p):

$$\begin{gathered} v\left(p\right)=\left\{\begin{array}{l}1, dacă p este adevărată\\ 0, dacă p este falsă\end{array}\right. , sau \\ v\left(p\right)=\left\{\begin{array}{l}A, dacă p este adevărată\\ F, dacă p este falsă\end{array}\right. \end{gathered}$$

Predicatul este un enunț care conține una sau mai multe variabile și care, pentru anumite valori atribuite variabilelor, corespunde unei propoziții adevărate sau false.

Notații:

p(x) - predicat unar

p(x,y) - predicat binar

p(x,y,z) - predicat ternar.

Mulțimea D în care variabilele iau valori se numește domeniu de definiție al predicatului.

Mulțimea de adevăr a unui predicat este:

$A_{p\left(x\right)}=\left\{x\in D \overline{) }p\left(x\right) adevărată\right\}$

Prin utilizarea cuantificatorilor, transformăm predicatele în propoziții.

Cuantificatorul existențial: $\exists$

Propoziția existențială:

$\left(\exists x\right)p\left(x\right) este adevărată dacă există cel puțin un element x_0\in D astfel încât p\left(x_0\right) să fie adevărată.$

Cuantificatorul universal:  $\forall$

Propoziția universală:

$\left(\forall x\right)p\left(x\right) este adevărată dacă pentru orice element x_0\in D propoziția p\left(x_0\right) este adevărată.$ 

Negația propoziției p este propoziția "non p" care este adevărată dacă p este falsă și falsă dacă p este adevărată.

Notații:

$\neg p, \overline{p}$

$v(\neg p)=\left\{\begin{array}{l}1, v\left(p\right)=0\\ 0, v\left(p\right)=1\end{array}\right.$

Negația predicatului p(x) este un predicat adevărat pentru acele valori ale lui x pentru care p(x) este fals și fals pentru acele valori ale lui x pentru care p(x) este adevărat.

Notații:

$\neg p\left(x\right), \overline{p\left(x\right)}$

Complementara multimii A în raport cu mulțimea D este:

$\boxed{C_{D}A=\left\{x \overline{)}x\in D și x\notin A\right\}}$

$A_{\neg p\left(x\right)}=C_D{A}_{p\left(x\right)}$

Conjuncția propozițiilor p, q este propoziția "p și q" care este adevărată dacă și numai dacă p și q sunt adevărate și falsă în celelalte cazuri.

Notație:

$p\wedge q$

Conjuncția predicatelor p(x), q(x) devine o propoziție adevărată pentru acele valori ale lui x pentru care atât p(x) cât și q(x) sunt adevărate și falsă în celelalte cazuri. 

Notație:

$p\left(x\right)\wedge q\left(x\right)$

Intersecția a două mulțimi A și B se exprimă printr-o conjuncție:

$A\cap B=\left\{x \overline{) }x\in A și x\in B\right\}$

Disjuncția propozițiilor p, q este propoziția "p sau q" care este adevărată dacă și numai dacă cel puțin una din propozițiile p, q este adevărată și falsă în celelalte cazuri.

Notație:

$p\vee q$

Disjuncția predicatelor p(x), q(x) devine o propoziție adevărată pentru acele valori ale lui x pentru care cel puțin una din propozițiile p(x), q(x) este adevărată și falsă în caz contrar.

Notație:

$p\left(x\right)\vee q\left(x\right)$

Reuniunea a două mulțimi A și B se exprimă printr-o disjuncție:

$A\cup B=\left\{x \overline{) }x\in A sau x\in B\right\}.$

Implicația propozițiilor p, q este propoziția "p implică q" care este falsă dacă și numai dacă p este adevărată și q este falsă și adevărată în celelalte cazuri.

Notație:

$p\to q$

Implicația predicatelor p(x), q(x): 

Predicatul q(x) este consecința logică a predicatului p(x) dacă este adevărată propoziția:

 $(\forall x)\left(p\right(x)\to q(x\left)\right).$

Notație:

$p\left(x\right)\Rightarrow q\left(x\right)$

(citim: "dacă p(x) atunci q(x)" sau "q(x) este consecința logică a lui p(x)").

Incluziunea a două mulțimi A și B se exprimă printr-o implicație:

$A\subset B\iff \left(\forall x\right)\left(x\in A\to x\in B\right)\iff \left(p\right(x)\Rightarrow q(x\left)\right).$

Echivalența propozițiilor p, q este propoziția "p echivalent cu q" care este adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții au aceeași valoare de adevăr.

Notație:

$p\leftrightarrow q$

Echivalența predicatelor:

Predicatele p(x) și q(x) se numesc echivalente dacă este adevărată propoziția:

$\left(\forall x\right)\left(p\left(x\right)\leftrightarrow q\left(x\right)\right).$

Notație:

$p\left(x\right)\iff q\left(x\right)$

Egalitatea mulțimilor A și B se exprimă printr-o relație de echivalență:

$A=B\iff \left(\forall x\right)(x\in A\leftrightarrow x\in B)\iff \left(p\left(x\right)\iff q\left(x\right)\right).$

Legile lui De Morgan pentru propoziții:

1. Negația disjuncției este conjuncția negațiilor.

$\overline{p\vee q}\equiv \overline{p}\wedge \overline{q}$

2. Negația conjuncției este disjuncția negațiilor.

$\overline{p\wedge q}\equiv \overline{p}\vee \overline{q}$

Legile lui De Morgan pentru mulțimi:

$A, B\subseteq D$

$$\begin{gathered} \boxed{C_D(A\cup B)=C_{D}A\cap C_{D}B \\ {C}_D(A\cap B)=C_{D}A\cup C_{D}B} \end{gathered}$$

Fie P(n) o propoziție matematică ce depinde de numărul natural n.

$n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge m.$

Pentru a demonstra prin metoda inducției matematice propoziția: 

$"P\left(n\right), \forall n\ge m"$

parcurgem două etape:

1.  Etapa de verificare: se verifică dacă propoziția P(m) este adevărată.
2.  Etapa de demonstație: demonstrăm implicația

$P\left(k\right)\Rightarrow P(k+1), k\ge m$

Pentru aceasta, presupunem că propoziția P(k) este adevărată și se demonstrează că P(k+1) este adevărată.

Concluzie: dacă ambele etape sunt verificate, atunci propoziția P(n) este adevărată, $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge m.$

Fie P(n) o propoziție matematică ce depinde de numărul natural n.

$n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge m.$

Pentru a demonstra prin metoda inducției matematice propoziția: 

$"P\left(n\right), \forall n\ge m"$

parcurgem două etape:

1.  Etapa de verificare: se verifică dacă propoziția P(m) este adevărată.
2.  Etapa de demonstație: demonstrăm implicația

$P\left(k\right)\Rightarrow P(k+1), k\ge m$

Pentru aceasta, presupunem că propoziția P(k) este adevărată și se demonstrează că P(k+1) este adevărată.

Concluzie: dacă ambele etape sunt verificate, atunci propoziția P(n) este adevărată, $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge m.$

Pentru a scrie restrâns anumite sume, folosim simbolul SIGMA. 

Exemplu:

$S_n=a_1+a_2+...+a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$

Proprietăți:

$Fie \alpha , \beta \in {\mathrm{ℝ}}^{*}.$

$1. \sum _{k=1}^n\alpha a_k=\alpha \sum _{k=1}^n{a}_k$

$2. \sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k$

$3. \sum _{k=1}^n(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha \sum _{k=1}^n{a}_k+\beta \sum _{k=1}^n{b}_k.$

Fie P(n) o propoziție matematică ce depinde de numărul natural n.

$n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge m.$

Pentru a demonstra prin metoda inducției matematice propoziția: 

$"P\left(n\right), \forall n\ge m"$

parcurgem două etape:

1.  Etapa de verificare: se verifică dacă propoziția P(m) este adevărată.
2.  Etapa de demonstație: demonstrăm implicația

$P\left(k\right)\Rightarrow P(k+1), k\ge m$

Pentru aceasta, presupunem că propoziția P(k) este adevărată și se demonstrează că P(k+1) este adevărată.

Concluzie: dacă ambele etape sunt verificate, atunci propoziția P(n) este adevărată, $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge m.$