Un șir de numere reale este o funcție

$f:{\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}\to \mathrm{ℝ}.$

Astfel, un șir este o succesiune de numere reale în care fiecare număr ocupă un loc bine determinat:

$x_1, x_2, x_3, ... , x_n, x_{n+1}, ...$

Notații:

$(x_n{)}_{n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}} sau (x_n).$

Elementele unui șir se numesc termenii șirului. 

Indicele fiecărui termen se numește rangul termenului.

$x_n$ - termenul de rang n.

Moduri de definire a unui șir:

1. Șir definit descriptiv

exemplu: 

$\left(x_n\right): 1, 4, 9, 16, 25, ...$

2. Șir definit cu ajutorul unei formule

exemplu:

$x_n=n^2, n\ge 1$

3. Șir definit printr-o relație de recurență

exemplu:

$$\begin{gathered} \left(x_n\right): x_0=0; x_1=1; \\ {x}_n=x_{n-1}+x_{n-2}, n\ge 2. \end{gathered}$$

Definiții:

$$\begin{gathered} Șirul \left(a_n\right) este \mathit{m}\mathit{ă}\mathit{r}\mathit{g}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{u}\mathit{p}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{r} dacă \exists M\in \mathrm{ℝ} a. î. a_n\le M, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}. \\ Șirul \left(a_n\right) este \mathit{m}\mathit{ă}\mathit{r}\mathit{g}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{i}\mathit{n}\mathit{f}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{r} dacă \exists m\in \mathrm{ℝ} a. î. m\le a_n, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}. \\ Șirul \left(a_n\right) este \mathit{m}\mathit{ă}\mathit{r}\mathit{g}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t} dacă este mărginit atât inferior cât și superior \iff \\ \iff \exists m, M\in \mathrm{ℝ} a. î. m\le a_n\le M, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}. \end{gathered}$$

Observație. Un șir este mărginit dacă există un interval mărginit [m, M] care conține toți termenii șirului. 

Pentru a studia mărginirea unui șir, verificăm dacă este îndeplinită una din următoarele condiții:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{.} \left(a_n\right) este \mathit{m}\mathit{ă}\mathit{r}\mathit{g}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t} \iff \exists m, M\in \mathrm{ℝ} a. î. m\le a_n\le M \iff a_n\in \left[m, M\right],\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}. \\ \mathbf{2}\mathbf{.} \left(a_n\right) este \mathit{m}\mathit{ă}\mathit{r}\mathit{g}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t} \iff \exists a>0 a. î. \left|a_n\right|\le a, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Șirul} {\text{(x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{crescător} \mathrm{dacă} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}<{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}. \\ \mathrm{Șirul} ({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{descrescător} \mathrm{dacă} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}. \\ \mathrm{Șirul} ({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{monoton} \mathrm{dacă} \mathrm{este} \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \mathrm{sau} \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Observație. Dacă în inegalitatea de mai sus avem semnul $\le (\ge )$ atunci șirul este crescător (descrescător).

Pentru a studia monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi și se compară cu zero:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>0, \forall n \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}<0, \forall n \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Dacă șirul are toți termenii strict pozitivi, atunci putem studia monotonia șirului comparând raportul a doi termeni consecutivi cu 1.

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>0, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}>1\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}>{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}} \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \\ \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}<1\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}<{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}} \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Șirul} {\text{(x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{crescător} \mathrm{dacă} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}<{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}. \\ \mathrm{Șirul} ({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{descrescător} \mathrm{dacă} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}. \\ \mathrm{Șirul} ({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{monoton} \mathrm{dacă} \mathrm{este} \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \mathrm{sau} \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Observație. Dacă în inegalitatea de mai sus avem semnul $\le (\ge )$ atunci șirul este crescător (descrescător).

Pentru a studia monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi și se compară cu zero:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>0, \forall n \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}<0, \forall n \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Dacă șirul are toți termenii strict pozitivi, atunci putem studia monotonia șirului comparând raportul a doi termeni consecutivi cu 1.

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>0, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}>1\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}>{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}} \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \\ \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}<1\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}<{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}} \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Definiție. O progresie aritmetică este un șir de numere reale în care fiecare termen începând cu al doilea se obține din termenul precedent prin adăugarea aceluiași număr r. Numărul r se numește rația progresiei.

$a_n=a_{n-1}+r, \forall n\ge 2.$

Exemplu: 1, 4, 7, 10, 13, ...- progresie aritmetică cu rația r = 3.

Observație. Într-o progresie aritmetică, diferența a doi termeni consecutivi este întotodeauna constantă:

$a_n-a_{n-1}=r, \forall n\ge 2.$

Progresiile aritmetice au următoarele proprietăți:

1. Formula termenului general:

$$\begin{gathered} \boxed{a_n=a_1+(n-1)r, \forall n\ge 1} unde: a_1- primul termen \\ r- rația progresiei. \end{gathered}$$

2. Orice termen, începând cu al doilea, este media aritmetică a termenilor alăturați:

$\boxed{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \forall n\ge 2}$

3. Dacă avem n numere în progresie aritmetică, atunci are loc relația:

$\boxed{a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=...=a_k+a_{n-k+1}}$

4. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:

Fie:

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n.$

Atunci:

$\boxed{S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}}.$

Progresiile aritmetice au următoarele proprietăți:

1. Formula termenului general:

$$\begin{gathered} \boxed{a_n=a_1+(n-1)r, \forall n\ge 1} unde: a_1- primul termen \\ r- rația progresiei. \end{gathered}$$

2. Orice termen, începând cu al doilea, este media aritmetică a termenilor alăturați:

$\boxed{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \forall n\ge 2}$

3. Dacă avem n numere în progresie aritmetică, atunci are loc relația:

$\boxed{a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=...=a_k+a_{n-k+1}}$

4. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:

Fie:

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n.$

Atunci:

$\boxed{S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}}.$

Definiție. O progresie geometrică este un șir de numere reale (cu primul termen nenul) în care fiecare termen începând cu al doilea se obține din precedentul prin înmulțirea cu același număr nenul q. Numărul q se numește rația progresiei.

$b_n=b_{n-1}·q, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}, n\ge 2, q\ne 0.$

Exemplu: 3, -6, 12, -24, ...- progresie geometrică cu rația q= -2.

Observație. Într-o progresie geometrică raportul a doi termeni consecutivi este constant:

$\frac{b_n}{b_{n-1}}=q, \forall n\ge 2.$

Progresiile geometrice au următoarele proprietăți:

1. Formula termenului general:

$$\begin{gathered} \boxed{b_n=b_1·q^{n-1}, \forall n\ge 2} unde b_1-primul termen \\ q- rația progresiei. \end{gathered}$$

2. În orice progresie geometrică are loc relația:

$\boxed{b_n^2=b_{n-1}·b_{n+1}, \forall n\ge 2}$

3.Dacă avem n numere în progresie geometrică, atunci are loc relația:

$\boxed{b_1·b_n=b_k·b_{n-k+1}}$

4. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice:

Fie

$S_n=b_1+b_2+b_3+...+b_n$

Atunci:

$S_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, q\ne 1\\ n·b_1 , q=1.\end{array}\right.$

Progresiile geometrice au următoarele proprietăți:

1. Formula termenului general:

$$\begin{gathered} \boxed{b_n=b_1·q^{n-1}, \forall n\ge 2} unde b_1-primul termen \\ q- rația progresiei. \end{gathered}$$

2. În orice progresie geometrică are loc relația:

$\boxed{b_n^2=b_{n-1}·b_{n+1}, \forall n\ge 2}$

3.Dacă avem n numere în progresie geometrică, atunci are loc relația:

$\boxed{b_1·b_n=b_k·b_{n-k+1}}$

4. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice:

Fie

$S_n=b_1+b_2+b_3+...+b_n$

Atunci:

$S_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, q\ne 1\\ n·b_1 , q=1.\end{array}\right.$