$$\begin{gathered} a\in \mathrm{ℝ}, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ {a}^n=\underbrace{a·a·...·a} \\ n ori \\ \boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n} } (a\ne 0) \\ n=1\Rightarrow a^{-1}=\frac{1}{a} (inversul numărului a) \end{gathered}$$

Proprietățile puterilor cu exponent întreg

$a, b \in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n \in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$$\begin{gathered} a^m·a^n=a^{m+n} \\ {a}^m:a^n=a^{m-n} \\ (a·b{)}^m=a^m·b^m \\ (a:b{)}^m=a^m:b^m \\ (a^m{)}^n=a^{m·n} \end{gathered}$$

Cazuri particulare:

$$\begin{gathered} a^0=1 (a\ne 0) \\ {a}^1=a. \end{gathered}$$

1. Radical de ordin n dintr-un număr real pozitiv

$Fie a>0, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge 2.$

Se numește radical de ordin n din a, numărul $\sqrt[n]{a}$ cu proprietățile:

              $$\begin{gathered} {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a \\ \sqrt[n]{a}>0 \end{gathered}$$

$\bullet \sqrt[n]{0}=0.$

Exemple:

$$\begin{gathered} \sqrt[4]{81}=3 \\ \sqrt[5]{32}=2 \\ \sqrt[3]{\frac{27}{125}}=\frac{3}{5}. \end{gathered}$$

2. Radical de ordin impar dintr-un număr negativ

$Fie a\in \mathrm{ℝ}, a<0, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge 3, n-impar.$

Se numește radical de ordin n din a, numărul $\sqrt[n]{a}$ cu proprietățile:

               $$\begin{gathered} {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a \\ \sqrt[n]{a}<0. \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2} \\ \sqrt[5]{-243}=-3. \end{gathered}$$

$Fie a, b\in \mathrm{ℝ}; a, b \ge 0; n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge 2.$

P1. Produsul a doi radicali:

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

• Dacă n este impar, proprietatea este adevărată $\forall a, b\in \mathrm{ℝ}.$

P2. Câtul a doi radicali:

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} (b\ne 0)$

• Dacă n este impar, proprietatea este adevărată $\forall a, b\in \mathrm{ℝ}.$

P3. Puterea unui radical:

${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m} (m\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*})$

• Dacă n este impar, proprietatea este adevărată $\forall a\in \mathrm{ℝ}.$

P4. Simplificarea unui radical:

$\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m} (m, k \in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*})$

• Dacă n și k sunt numere impare, proprietatea este adevărată $\forall a\in \mathrm{ℝ}.$

P5. Extragerea radicalului din radical (compunerea radicalilor):

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a} (m\in \mathrm{\mathbb{N}}, m\ge 2)$

• Dacă n și m sunt numere impare, proprietatea este adevărată $\forall a\in \mathrm{ℝ}.$

P6. Scoaterea și introducerea factorilor sub radical:

$$\begin{gathered} \sqrt[n]{a^{nk}·b}=a^k·\sqrt[n]{b} \\ a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n·b}. \end{gathered}$$

• Dacă n este impar, proprietatea este adevărată $\forall a, b\in \mathrm{ℝ}.$

Pentru a compara radicalii, trebuie sa-i aducem la același ordin.

Aducerea radicalilor la același ordin

Vom considera cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor și vom folosi formula:

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[nk]{a^{mk}}$

Exemplu:

$\sqrt{5} și \sqrt[3]{10}$

Ordinul comun al radicalilor va fi 6 (cel mai mic multiplu comun al nr. 2 și 3).

$$\begin{gathered} \sqrt{5}=\sqrt[2·3]{5^3}=\sqrt[6]{125} \\ \sqrt[3]{10}=\sqrt[3·2]{{10}^2}=\sqrt[6]{100} \end{gathered}$$

Compararea radicalilor

Au loc următoarele relații:

$$\begin{gathered} \bullet Dacă a, b >0, a<b\Rightarrow \sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b} \\ \bullet Dacă a, b\in \mathrm{ℝ}, n-impar, a<b \Rightarrow \sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}. \end{gathered}$$

Raționalizarea numitorului este procedeul prin care transformăm numitorul unei fracții dintr-un număr irațional în număr rațional (eliminând radicalii). Pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu o expresie care se numește conjugata numitorului.

A. Dacă la numitorul unei fracții avem un singur radical:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a^k}}$

se amplifică fracția cu 

$\sqrt[n]{a^{n-k}.}$

Se obține:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a^k}}=\frac{x·\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^k}·\sqrt[n]{a^{n-k}}}=\frac{x·\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^n}}=\frac{x·\sqrt[n]{a^{n-k}}}{a}$

B. Dacă avem fracții de forma: 

$\frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} sau \frac{x}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

se amplifică fracția cu 

$\sqrt{a}-\sqrt{b} respectiv cu \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Se obține:

$$\begin{gathered} \frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{x\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{x\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{x\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b} \\ \frac{x}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{x\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{x\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{x\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b} \end{gathered}$$

C. Dacă avem fracții de forma: 

$\frac{x}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\pm \sqrt{c}}$

vom grupa termenii și vom elimina radicalii succesiv, aplicând procedeul de la punctul B de două ori.

Raționalizarea numitorului este procedeul prin care transformăm numitorul unei fracții dintr-un număr irațional în număr rațional (eliminând radicalii). Pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu o expresie care se numește conjugata numitorului.

A. Dacă avem fracții de forma:

$\frac{x}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}} sau \frac{x}{\sqrt[3]{a^2}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

$$\begin{gathered} a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\Rightarrow a-b=\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[b]{b^2}\right) \\ {a}^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\Rightarrow a+b=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[b]{b^2}\right) \end{gathered}$$

B. Dacă avem fracții de forma:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}} sau \frac{x}{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}} (n-impar)$

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

$$\begin{gathered} a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right) \Rightarrow \\ a-b=\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}{b}^2}+...+\sqrt[n]{a{b}^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right) \end{gathered}$$

Dacă n este impar:

$$\begin{gathered} a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-...-a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right) \Rightarrow \\ a+b=\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}-\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}{b}^2}-...-\sqrt[n]{a{b}^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Fie a\ge 0, \frac{m}{n}\in \mathrm{\mathbb{Q}}, n\ge 2. \\ \boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}} \\ \bullet Dacă m=1 \Rightarrow \boxed{ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}} \end{gathered}$$

Proprietățile puterilor cu exponent rațional (a, b >0):

$$\begin{gathered} 1. a^{\frac{m}{n}}·a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}} \\ 2. \frac{a^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}}{a^{{\displaystyle \frac{p}{q}}}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}} \\ 3. {\left(a·b\right)}^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}·b^{\frac{m}{n}} \\ 4. {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{m}{n}}=\frac{a^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}}{b^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}} \\ 5. {\left(a^{\frac{m}{n}}\right)}^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}·\frac{p}{q}}. \end{gathered}$$