Puteri cu exponent întreg

În această lecție vom discuta despre puteri cu exponent întreg.

Pentru început aș vrea să reamintesc noțiunea de putere cu exponent natural a unui număr real.

Fie așadar un număr real a și n un număr natural diferit de 0.

Atunci a la n este egal cu a ori a ori a de n ori.

a se numește bază, iar n se numește exponent.

Vom expune mai jos cele mai importante proprietăți ale puterilor cu exponent natural,

fie a și b două numere reale diferite de 0, m și n numere naturale, m mai mare sau egal cu n.

Atunci au loc următoarele relații, a la m ori a la n este egal cu a la m plus n,

așadar la înmulțirea a două puteri cu aceeași bază se scrie baza și se adună exponenții.

a la m împărțit la a la n este egal cu a la m minus n,

deci la împărțirea a două puteri se scrie baza și se scad exponenții.

Apoi a ori b totul la m este egal cu a la m ori b la m.

Pentru a ridica un produs la o putere se ridică fiecare factor la acea putere.

a împărțit la b totul la m este egal cu a la m împărțit la b la m

și a la m totul la n este egal cu a la m ori n.

Pentru a ridica o putere la o altă putere se scrie baza și se înmulțesc exponenții.

a la 0 este egal cu 1 pentru orice număr real a diferit de 0

și a la puterea întâia este egal cu a.

Această condiție, m mai mare sau egal cu n,

a fost necesară pentru a putea aplica această proprietate

astfel încât în urma efectuării acestei scăderi să avem exponent natural.

Dar în continuare vom încerca să lărgim noțiunea de putere

astfel încât această formulă a la m împărțit la a la n

egal cu a la m minus n

să aibă loc și în cazul în care m este mai mic decât n.

Să vedem așadar ce se întâmplă dacă avem la exponent un număr întreg negativ.

Prin urmare vom studia cazul în care m este mai mic decât n.

În această situație obținem o putere cu exponent negativ

de forma a la minus n.

Pentru a putea calcula a la minus n,

înmulțim și împărțim acest număr cu a la n.

Putem face acest lucru deoarece a este număr real diferit de 0.

Prin urmare vom avea a la minus n ori a la n supra a la n.

La numărător aplicăm prima proprietate a puterilor și adunăm exponenții.

Vom avea a la minus n plus n supra a la n.

Egal mai departe cu a la 0 supra a la n.

Dar a la 0 este 1, deci obținem 1 supra a la n.

Am dezvoltat astfel noțiunea de putere

iar în cazul în care avem exponent negativ

vom defini această putere astfel.

a la minus n va fi egal cu 1 supra a la n

unde a este număr real diferit de 0

iar n număr natural nenul.

În cazul particular în care n este egal cu 1

obținem a la minus 1 egal cu 1 supra a

iar acest număr se numește inversul numărului a.

Toate proprietățile puterilor cu exponent natural prezentate anterior

rămân valabile și în cazul puterilor cu exponent întreg

cu mențiunea că nu mai avem restricția m mai mare sau egal cu n.

Să vedem câteva exemple.

Primul exemplu, să calculăm 2 la minus 4.

Aplicăm formula a la minus n este egal cu 1 supra a la n

și vom avea 1 supra 2 la 4

egal cu 1 supra 16.

Un alt exemplu b

Radical din 3 la minus 2.

Aplicăm aceeași formulă și obținem

1 supra radical din 3 la 2

egal cu 1 pe 3.

Punctul c

Radical din 2 pe 5

la minus 1.

Avem formula a la minus 1 egal cu 1 pe a.

Prin urmare vom avea egal cu 1 supra radical din 2 pe 5.

Linea principală de fracție poate fi scrisă ca împărțire

și avem 1 împărțit la radical din 2 pe 5

egal cu 5 supra radical din 2.

Observăm că atunci când avem o fracție la un exponent negativ

se inversează fracția.

Și un ultim exemplu

de

1 supra radical din 6 la minus 3.

Putem să inversăm direct fracția

și avem radical din 6 pe 1

totul la a3.

Egal cu 6 radical din 6.