Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (II)

Raționalizarea numitorului este procedeul prin care transformăm numitorul unei fracții dintr-un număr irațional în număr rațional (eliminând radicalii). Pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu o expresie care se numește conjugata numitorului.

A. Dacă avem fracții de forma:

$\frac{x}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}} sau \frac{x}{\sqrt[3]{a^2}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

$$\begin{gathered} a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\Rightarrow a-b=\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[b]{b^2}\right) \\ {a}^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\Rightarrow a+b=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[b]{b^2}\right) \end{gathered}$$

B. Dacă avem fracții de forma:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}} sau \frac{x}{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}} (n-impar)$

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

$$\begin{gathered} a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right) \Rightarrow \\ a-b=\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}{b}^2}+...+\sqrt[n]{a{b}^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right) \end{gathered}$$

Dacă n este impar:

$$\begin{gathered} a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-...-a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right) \Rightarrow \\ a+b=\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}-\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}{b}^2}-...-\sqrt[n]{a{b}^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right). \end{gathered}$$