Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (II)

423 vizualizări · 16 voturi

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Raționalizarea numitorului este procedeul prin care transformăm numitorul unei fracții dintr-un număr irațional în număr rațional (eliminând radicalii). Pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu o expresie care se numește conjugata numitorului.

A. Dacă avem fracții de forma:

$\frac{x}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}} s a u \frac{x}{\sqrt[3]{a^{2}} \pm \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}}$

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \Rightarrow a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[b]{b^{2}}) a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) \Rightarrow a + b = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{a b} + \sqrt[b]{b^{2}})$

B. Dacă avem fracții de forma:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b}} s a u \frac{x}{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}} (n - i m p a r)$

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + . . . + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) \Rightarrow a - b = (\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b}) (\sqrt[n]{a^{n - 1}} + \sqrt[n]{a^{n - 2} b} + \sqrt[n]{a^{n - 3} b^{2}} + . . . + \sqrt[n]{a b^{n - 2}} + \sqrt[n]{b^{n - 1}})$

Dacă n este impar:

$a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - . . . - a b^{n - 2} + b^{n - 1}) \Rightarrow a + b = (\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}) (\sqrt[n]{a^{n - 1}} - \sqrt[n]{a^{n - 2} b} + \sqrt[n]{a^{n - 3} b^{2}} - . . . - \sqrt[n]{a b^{n - 2}} + \sqrt[n]{b^{n - 1}}) .$

Deschide pagina de teorie: Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (... →

În această secvență vom continua exercițiile de raționalizare a numitorului, dar pentru început aș vrea să prezint câteva formule de calcul prescurtat pe care le vom aplica în rezolvarea exercițiilor.

Expresia a la a doua minus b la a doua se descompune în factori astfel a minus b pe lângă a plus b. Cunoașteți această formulă încă din clasele mai mici.

A la a treia minus b la a treia se va descompune în factori astfel a minus b pe lângă a la a doua plus a b plus b la a doua.

Pentru a verifica acest aspect putem să facem calculele.

Haideți să desfacem parantezele și avem a la a treia plus a la a doua b plus a b la a doua și acum îl mulțim pe b cu fiecare termen din paranteză și avem minus a la a doua b minus a b la a doua minus b la a treia.

Se reduc niște termeni. Iată a la a doua b cu minus a la a doua b și a b la a doua minus a b la a doua.

În final ne rămâne a la a treia minus b la a treia.

În consecință formula scrisă este corectă.

Pentru a la a patra minus b la a patra vom avea următoarea descompunere în factori a minus b pe lângă a la a treia plus a la a doua b plus a b la a doua plus b la a treia.

Haideți să verificăm dacă este corectă această formulă.

Desfacem parantezele și avem a la a patra plus a la a treia b plus a la a doua b la a doua plus a b la a treia minus a la a treia b minus a la a doua b la a doua minus a b la a treia minus b la a patra.

Se reduc termenii a la a treia b minus a la a treia b.

Avem apoi a la a doua b la a doua minus a la a doua b la a doua și a b la a treia minus a b la a treia.

În final rămâne a la a patra minus b la a patra.

Iată așadar că și această relație scrisă este corectă.

Pentru a la cincea minus b la cincea vom avea următoarea descompunere a minus b pe lângă a la patra plus a la a treia b plus a la a doua b la a doua plus a b la a treia plus b la a patra.

Pentru a reține mai ușor aceste formule iată câteva aspecte importante.

În a doua paranteză exponenții lui b cresc.

Iată aici avem 1 care poate fi considerat b la 0 apoi b la a întâia b la a doua b la a treia și b la a patra.

Exponenții lui a sunt în ordine descrescătoare.

Avem a la a patra a la a treia a la a doua a la a întâia și 1 adică a la 0 și întotdeauna suma exponenților este 4.

În mod asemănător putem deduce și formula pentru a la șasea minus b la șasea.

Vom avea a minus b pe lângă a la cincea plus a la patra b plus a la a treia b la a doua plus a la a doua b la a treia plus a b la a patra plus b la a cincea.

Și în cazul acesta exponenții lui a sunt în ordine descrescătoare.

Puterile lui b cresc iar suma exponenților este 5.

Haideți acum să scriem descomponerea factor pentru expresia a la n minus b la n.

Vom avea a minus b pe lângă a la n minus 1 plus a la n minus 2 b plus a la n minus 3 b la a doua plus puncte puncte plus penultimul termen va fi a b la n minus 2 iar ultimul termen este b la n minus 1.

Acum, în cazul în care avem într-un exercițiu un numitor de forma radical de ordinul n din a minus radical de ordinul n din b,

pentru a elimina radicalii va trebui să înmulțim această expresie cu conjugata ei,

astfel încât să obținem radical de ordinul n din a totul la n,

care este egal cu a.

De asemenea, radical de ordinul n din b la n va fi egal cu b.

Prin urmare, înmulțind această expresie cu conjugata ei,

vom obține, în final, a minus b.

Și astfel vom reuși să eliminăm radicalii.

Conjugata acestei expresii va fi următoarea.

Ne uităm la formula scrisă mai sus.

În cazul acesta, a este radical de ordinul n din a,

iar b va fi radical de ordinul n din b.

Prin urmare, conjugata va fi următoarea.

Radical de ordinul n din a la n minus 1 plus radical de ordinul n din a la n minus 2 b

plus radical de ordinul n din a la n minus 3 b la a doua

plus, așa mai departe, radical de ordinul n din a b la n minus 2

plus radical de ordinul n din b la n minus 1.

Așadar, atunci când avem numitori de forma aceasta,

radical de ordinul n din a minus radical de ordinul n din b,

vom amplifica cu conjugata acestei expresii

care este dată de relația scrisă în a doua paranteză

și, astfel, vom reuși să eliminăm radicalii obținând la numitor a minus b.

Haideți acum să vedem cum vom descompone în factori

expresiile de forma a la doua plus b la a doua,

a la treia plus b la a treia și așa mai departe.

Pentru a la a doua plus b la a doua

nu cunoaștem o descompunere în factori,

așadar, această expresie nu poate fi descompusă în factori.

Pentru a la a treia plus b la a treia

vom avea următoarea formulă a plus b

pe lângă a la a doua minus a b plus b la a doua.

Haideți să verificăm corectitudinea acestei relații.

Vom desface parantezele și avem a la a treia

minus a la a doua b plus a b la a doua

și acum înmulțim pe b cu fiecare termen din a doua paranteză

vom avea a la a doua b minus

a b la a doua plus b la a treia.

Se reduc următorii termeni minus a la a doua b

cu plus a la a doua b, a b la a doua

cu minus a b la a doua.

Prin urmare ne rămâne a la a treia plus b la a treia.

Deci formula scrisă este corectă.

Pentru a la a patra plus b la a patra

nu avem descompunere în factori,

iată așadar că atunci când exponenții sunt numere pare

expresiile nu pot fi descompuse în factori.

Dacă avem a la a cincea plus b la a cincea

această expresie se va descompune în factori

astfel a plus b pe lângă

a la a patra minus a la a treia b

plus a la a doua b la a doua minus

a b la a treia plus b la a patra.

Dacă veți desface parantezele

observați că se vor reduce niște termeni

și în final ne rămâne a la cincea plus b la cincea.

Să ne uităm puțin în a doua paranteză

observăm că semnele alternează

deci avem plus minus plus minus plus

de asemenea observăm că puterile lui b cresc

avem unul care poate fi considerat b la zero

apoi b la a întâia, b la a doua, b la a treia și b la a patra

iar exponenții lui a sunt în ordine descrescătoare

avem a la a patra, a la a treia, a la a doua

a la a întâia și a la zero. În mod asemănător

vom deduce și relația pentru a la a șaptea plus b la a șaptea

pentru cât pentru a la a șasea plus b la a șasea

nu avem descompunere în factori.

Și acum să vedem a la șaptea plus b la șaptea

va fi a plus b pe lângă

a la a șasea minus a la a cincea b

plus a la a patra b la a doua

minus a la a treia b la a treia

plus a la a doua b la a patra

minus a b la a cincea

plus b la a șasea

întotdeauna ultimul termen va avea semnul plus iar penultimul

va avea semnul minus. Și acum putem să scriem

relația pentru a la n plus b la n

în cazul în care n este număr impar

vom avea a plus b

pe lângă a la n minus unu minus

a la n minus doi b plus

a la n minus trei b la a doua

deci întotdeauna suma exponenților trebuie să fie n minus unu

minus puncte puncte

penultimul termen va fi a b la

n minus doi iar ultimul termen va fi plus

b la n minus unu. În cazul

în care vom avea într-un exercițiu un numitor de forma radical

de ordinul n din a plus radical de ordinul n din b

va trebui să înmulțim această expresie cu

conjugata ei eliminând astfel radicalii

și vom obține în final a plus b

pentru că, repet, radical de ordinul n din a

ridicat la puterea n este egal cu a

și acum să vedem conjugata acestei expresii

ne uităm la formula de mai sus iar în loc de a noi avem radical

de ordinul n din a. Prin urmare vom avea

radical de ordinul n din a la n minus unu

minus radical de ordinul n

din a la n minus doi b plus

radical de ordinul n din a la n minus trei

b la a doua minus și-o mai departe

penultimul termen va fi radical de ordinul n

din a b la n minus doi

iar ultimul termen este radical de ordinul n din b

la n minus unu. Să reținem și această

formulă care se va aplica atunci când vom raționaliza

numitor de forma aceasta radical de ordinul n

din a plus radical de ordinul n din b. Aceasta va fi

conjugata iar în final vom elimina

radicalii obținând la numitor a plus b.

Această formulă se aplică numai în cazul în care

n este număr impar deci n este de forma

2k plus unu. Și acum să facem în continuare

câteva aplicații.

Primul exercițiu

se cere să raționalizăm numitorul fracției

12 sub a radical de ordinul 3 din 7 minus unu.

Pentru a elimina radicalul de la numitor ar trebui să avem

sub radical 7 la a treia. Așadar vom folosi

următoarea relație a la a treia minus

b la a treia este egal cu a minus b

pe lângă a la a doua plus ab plus

b la a doua. În cazul de față a

este radical de ordinul 3 din 7 iar b

este unu. Pentru a obține a la a treia minus b la a treia

trebuie să amplificăm fracția cu conjugata acestei expresii

iar conjugata este cea de a doua paranteză.

Prin urmare vom amplifica fracția

cu următoarea expresie

radical de ordinul 3 din 7

la pătrat plus urmează ab

deci radical de ordinul 3 din 7 ori unu

plus b la pătrat adică unu la pătrat

și totul supra radical de ordinul

3 din 7 minus unu pe lângă

radical de ordinul 3 din 7 la pătrat plus

radical de ordinul 3 din 7 ori unu plus unu la pătrat

egal

cu 12

pe lângă radical de ordinul 3 din 49

plus radical de ordinul 3 din 7 plus unu

supra. La numitor vom avea a la a treia minus b la a treia

adică radical de ordinul 3 din 7

ridicat la putere a treia minus unu la a treia

egal cu 12 pe lângă radical de ordinul 3

din 49 plus radical de ordinul 3

din 7 plus unu supra 7 minus unu

6. Simplificăm cu 6 și obținem în final

2 pe lângă radical de ordinul 3 din 49

plus radical de ordinul 3 din 7 plus unu

și ultimul exercițiu

se cere să raționalizăm numitorul acestei fracții

minus 8 supra radical de ordinul 3 din 5

minus radical din 3. Înainte de a amplifica

această fracție cu conjugata expresiei de la numitor

va trebui să aducem radicalii la același ordin. Observăm

că primul radical este de ordinul 3, iar al doilea radical

este de ordinul 2. Cel mai mic multiplu comun

al numerelor 2 și 3 este 6, așadar va trebui să amplificăm

radicalii pentru a obține radicali

de ordinul 6. Vom avea minus

8 supra. Ca să obținem un radical de ordinul 6

înmulțim cu 2 atât indicele radicalului cât și

exponentul numărului de subradical. Deci vom avea

radical de ordinul 6 din 5 la a doua

și aici îl mulțim cu 3. Radical de ordinul 6

din 3 la a treia. Ca să eliminăm radicalii

de la numitor ar trebui să ridicăm la putere

a șasea fiecare radical. Prin urmare vom folosi

următoarea formulă pe care am văzut-o mai devreme.

a la șasea minus b la șasea

este egal cu a minus b pe lângă

a la cincea plus a la patra b

plus a la treia b la doua

plus a la doua b la treia

plus a b la patra plus

b la cincea. În cazul nostru a

este radical de ordinul 6 din 5 la a doua

iar b este radical de ordinul 6 din 3 la a treia

Prin urmare noi avem a minus b

deci mai trebuie să amplificăm fracția cu

a doua paranteză și vom avea

egal cu minus 8

pe lângă a la cincea adică

radical de ordinul 6 din 5 la a doua

totul la cincea. Urmează apoi a la patra b

deci radical de ordinul 6

din 5 la a doua la a patra

ori b adică radical de ordinul 6

din 3 la a treia. Urmează apoi a la a treia b la a doua

deci radical de ordinul 6 din 5 la a doua

totul la a treia. Ori b la a doua

radical de ordinul 6 din 3 la a treia

ridicat la a doua. Plus

a la a doua b la a treia.

radical de ordinul 6 din 5 la a doua

totul la a doua ori radical de ordinul 6 din 3 la a treia

la a treia suntem aici. Urmează a b la a patra

radical de ordinul 6 din 5 la a doua

ori radical de ordinul 6 din 3 la a treia

totul la a patra

si plus b la a cincea. Adica radical de ordinul 6

din 3 la a treia totul la a cincea.

Iar la numitor vom avea a la a șasea minus b la a șasea

adica radical de ordinul 6 din 5 la a doua

totul la a șasea minus radical de ordinul 6

din 3 la a treia totul la a șasea

egal.

cu minus opt pe langa

radical de ordinul 6 din 5 la a zecea

aici inmultim exponenții

plus aici o să scriem sub un singur radical

radical de ordinul 6 din 5 la a opta

ori 3 la a treia

plus radical de ordinul 6 din 5 la a doua

ori 5 la a șasea

ori 3 la a treia

totul la a doua

plus radical de ordinul 6 din 5 la a patra

ori 3 la a noua

plus radical de ordinul 6 din 5 la a doua

ori 3 la a 12

avem 3 la a treia totul la a patra

si plus radical de ordinul 6 din 3 la a 15

supra

5 la a doua minus 3 la a treia

egal

cu minus opt pe langa

acum vom scoate factorii de sub radical

5 la a zecea

5 la a șasea

5 la a patra

5 radical de ordinul 6

5 la a opta

5 la a șasea

5 radical de ordinul 6

din 5 la a doua

ori 3 la a treia plus

3 la a noua

3 radical de ordinul 6

din 5 la a patra

ori 3 la a treia

plus

3 la a doua totul la a șasea

3 la a doua

radical de ordinul 6

din 5 la a doua

3 la a doua

ori 3 la a treia

3 la a doua

9 radical de ordinul 6

din 3 la a treia

25 minus 27 minus 2

egal

se simplifica minus 8 cu minus 2

si in continuare sa vedem ce am mai putea face

putem de exemplu sa mai simplificam radicalii

si vom avea 4 pe langa

aici simplificam cu 2

si ne ramane radical de ordinul 3

din 5 la a doua plus

aici lasam sub acelasi radical

5 la a doua ori 3 la a treia

plus 15 plus

copiem si aici 3 radical de ordinul 6

din 5 la a patra ori 3 la a treia

plus aici putem simplifica cu 2

si ne ramane 9 radical de ordinul 3 din 5

plus 9 aici simplificam radicalul cu 3

deci ramane radical de ordinul 2 din 3

deci 9 radical din 3

am raspuns astfel cerintei exercitiului

am reusit sa rationalizam numitorii

cam aceasta ar fi forma finala

bineinteles ca sub radicali mai putem face calculele

insa scopul acestui exercitiu nu este sa invatam calcule

ci sa invatam operatiile cu radicalii de ordin superior

Deschide transcriptul lecției: Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (... →

Anterior

Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (I)

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.

Alte lecții din: Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului

Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (I)

Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (I)