Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (I)

În această lecție vom rezolva câteva exerciții cu radicali și vom vorbi și despre raționalizarea numitorului.

Primul exercițiu, 7 radical de ordinul 3 din 16 minus 4 radical de ordinul 3 din 54 plus 2 radical de ordinul 3 din 250.

Pentru început vom încerca să scoatem factorii de subradical și vom scrie 7 radical de ordinul 3 din 2 la a 4-a, adică 2 la a 3-a ori 2, minus 4 radical de ordinul 3, 54 înseamnă 27 ori 2, adică 3 la a 3-a ori 2, plus 2,

250 este 125 ori 2, adică 5 la a 3-a ori 2, egal.

Factorii care au exponentul 3 vor ieși de subradical și vom scrie 7 ori 2 ori radical de ordinul 3 din 2 minus 4 ori 3 ori radical de ordinul 3 din 2 plus 2 ori 5 ori radical de ordinul 3 din 2,

egal cu 14 radical de ordinul 3 din 2 minus 12 radical de ordinul 3 din 2 plus 10 radical de ordinul 3 din 2.

14 minus 12 este 2 plus 10 egal 12 radical de ordinul 3 din 2.

Următorul exercițiu.

Radical de ordinul 6 din 3 radical din 3 la a 3-a ori 2 la a 11 ori 6 ori radical de ordinul 4 din 3 radical de ordinul 3 din 3 la a 7-a ori 9.

Pentru început vom introduce acești factori subradical.

Acest radical este de ordinul 2, prin urmare atunci când introducem factorul 3 subradical, exponentul acestuia va fi 2, iar aici avem radical de ordinul 3, prin urmare vom avea subradical 3 la a 3-a.

Vom scrie radical de ordinul 6 din radical din 3 la a 2-a ori 3 la a 3-a ori 2 la a 11-a, iar în loc de 6 vom scrie 2 ori 3.

Ori radical de ordinul 4 din radical de ordinul 3, așa cum spuneam aici vom avea subradical 3 la a 3-a ori 3 la a 7-a, iar 9 este 3 la a 2-a.

Atunci când extragem un radical dintr-un alt radical trebuie să înmulțim ordinele radicalilor.

Aici avem radical de ordinul 6, iar aici avem radical de ordinul 2, în consecință vom avea radical de ordinul 12.

Din 3 la puterea 2 plus 3, 5 plus 1, 6, deci 3 la 6-a ori 2 la 11-a ori 2 face 2 la a 12-a ori, aici la fel înmulțim indicii radicalilor și obținem un radical de ordinul 12 din

3 la puterea a 12-a, 3 plus 7, 10 plus 2, 12.

Factorii care au exponentul 12 vor ieși în fața radicalului și avem 2 radical de ordinul 12 din 3 la 6-a ori 3, egal cu 6 radical de ordinul 12 din 3 la 6-a.

Acum putem să simplificăm radicalul acesta.

Ordinul radicalului este multiplu de 6, prin urmare simplificăm cu 6 și obținem 6 radical de ordinul 2 din 3, adică 6 radical din 3.

Următorul exercițiu.

Avem 5 supra radical de ordinul 3 din 6.

Radicalii în general sunt numere irraționale, adică fracți decimale infinite neperiodice.

Așadar încercăm să evităm împărțirea la un număr irrațional, iar pentru aceasta vom folosi raționalizarea numitorului.

Acesta este un procedeu prin care transformăm numitorul din număr irrațional într-un număr rațional.

Pentru a elimina radicalul de la numitor vom folosi următoarea formulă.

Radical de ordinul n din a la n este egal cu radical de ordinul n din a totul la n și egal cu a.

Așadar pentru a elimina acest radical va trebui ca sub radical să avem 6 la 3-a.

Observăm că 6 înmulțit cu 6 la 2-a ne dă 6 la 3-a.

Prin urmare vom amplifica această fracție cu radical de ordinul 3 din 6 la 2-a.

Și obținem 5 radical de ordinul 3 din 6 la 2-a supra radical de ordinul 3 din 6 înmulțit cu radical de ordinul 3 din 6 la pătrat.

Egal cu 5 radical de ordinul 3 din 36 supra, așa cum spuneam, radical de ordinul 3 din 6 la 3-a.

Egal cu 5 radical de ordinul 3 din 36 supra 6.

Am reușit astfel să transformăm numitorul dintr-un număr irrațional într-un număr rațional.

Următorul exercițiu.

Avem 4 supra radical din 7 minus radical din 3.

Pentru a raționaliza numitorul acestei fracții, vom amplifica această fracție cu conjugata expresiei de la numitor.

Mai exact, vom folosi următoarea formulă de calcul prescurtat.

a minus b pe lângă a plus b este egal cu a la pătrat minus b la pătrat.

În cazul nostru, a este radical din 7, iar b este radical din 3.

Avem așadar a minus b.

Ca să obținem radical din 7 la pătrat, respectiv radical din 3 la pătrat și astfel să eliminăm radicalii,

va trebui să amplificăm această fracție cu cea de-a doua paranteză, adică cu radical din 7 plus radical din 3.

Această expresie se numește conjugata expresiei de la numitor.

Obținem astfel, 4 pe lângă radical din 7 plus radical din 3

supra radical din 7 minus radical din 3

pe lângă radical din 7 plus radical din 3

egal cu 4 pe lângă radical din 7 plus radical din 3

supra radical din 7 la pătrat minus radical din 3 la pătrat

egal cu 4 pe lângă radical din 7 plus radical din 3

supra 7 minus 3, adică 4

simplificăm prin 4

și obținem în final radical din 7 plus radical din 3

și ultimul exercițiu

avem 8 supra 2 plus radical din 5 plus radical din 3

vom folosi aceeași formulă ca și în exercițiul anterior

cu mențiunea că

de data aceasta A va fi 2 plus radical din 5

iar B este radical din 3

Conjugata acestei expresii

va fi 2 plus radical din 5 minus radical din 3

Ca să se vadă mai clar aplicarea formulei de calcul prescurtat

vom grupa termenii astfel

și avem 8 pe lângă

2 plus radical din 5 minus radical din 3

aceasta este conjugata supra

2 plus radical din 5 plus radical din 3

înmulțit cu 2 plus radical din 5 minus radical din 3

egal

cu 8 pe lângă

2 plus radical din 5 minus radical din 3

supra

avem A plus B

A plus B

pe lângă

A minus B

adică A la a doua minus B la a doua

prin urmare obținem 2 plus radical din 5

la pătrat

minus radical din 3 la pătrat

egal

cu 8 pe lângă

2 plus radical din 5 minus radical din 3

supra

aici folosim iarăși o formulă de calcul prescurtat

învățată în clasele mai mici

A plus B

totul la pătrat

este A la pătrat

plus 2AB

plus B la pătrat

aici folosim această formulă

și avem 2 la a doua, 4

plus 2AB

adică 4 radical din 5

plus radical din 5 la pătrat

adică 5

minus radical din 3 la pătrat

este 3 egal

cu 8 pe lângă

2 plus radical din 5

minus radical din 3 supra

4 plus 5

9 minus 3 6

6 plus 4 radical din 5

la numitor

putem să dăm factor comun pe 2

și avem 8 pe lângă

2 plus radical din 5

minus radical din 3

supra 2 pe lângă

3 plus 2 radical din 5

acum simplificăm cu 2

și ne rămâne

4 pe lângă 2 plus radical din 5

minus radical din 3

supra 3 plus

2 radical din 5

va trebui să mai amplificăm o dată

cu conjugata expresiei

de la numitor

de data aceasta conjugata va fi

3 minus 2 radical din 5

așadar avem

4 pe lângă 2 plus radical din 5

minus radical din 3

totul pe lângă

3 minus 2 radical din 5

supra

3 plus 2 radical din 5

pe lângă

3 minus 2 radical din 5

egal

voi continua mai jos

la numărător

am putea

să desfacem parantezele

poate să mai reduc niște termeni

avem 4 pe lângă

2 ori 3, 6

minus 4 radical din 5

plus 3 radical din 5

minus 2 ori 5, 10

minus 3 radical din 3

și plus

2 radical din 15

supra

a plus b pe lângă a

minus b este a la a doua

adică 3 la a doua

minus b la a doua

2 radical din 5 la pătrat

egal

cu 4 pe lângă

6 minus 10 este

minus 4

minus 4 radical din 5

cu 3 radical din 5

este

minus radical din 5

apoi minus 3 radical din 3

copiem

și plus 2 radical din 15

totul supra

3 la a doua este 9

iar 2 radical din 5 la pătrat

înseamnă

4 ori 5, 20

9 minus 20 este

minus 11

egal

acest minus

trece la numărător

și astfel se schimbă semnele

tuturor termenilor din paranteză

și voi scrie astfel

4 supra 11

pe lângă 4 plus

radical din 5

plus 3 radical din 3

minus 2 radical din 15

în clipul următor vom rezolva

alte exerciți în care

avem la numitor radical de ordinul 3