Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (I)

Raționalizarea numitorului este procedeul prin care transformăm numitorul unei fracții dintr-un număr irațional în număr rațional (eliminând radicalii). Pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu o expresie care se numește conjugata numitorului.

A. Dacă la numitorul unei fracții avem un singur radical:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a^k}}$

se amplifică fracția cu 

$\sqrt[n]{a^{n-k}.}$

Se obține:

$\frac{x}{\sqrt[n]{a^k}}=\frac{x·\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^k}·\sqrt[n]{a^{n-k}}}=\frac{x·\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^n}}=\frac{x·\sqrt[n]{a^{n-k}}}{a}$

B. Dacă avem fracții de forma: 

$\frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} sau \frac{x}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

se amplifică fracția cu 

$\sqrt{a}-\sqrt{b} respectiv cu \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Se obține:

$$\begin{gathered} \frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{x\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{x\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{x\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b} \\ \frac{x}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{x\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{x\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{x\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b} \end{gathered}$$

C. Dacă avem fracții de forma: 

$\frac{x}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\pm \sqrt{c}}$

vom grupa termenii și vom elimina radicalii succesiv, aplicând procedeul de la punctul B de două ori.