Transcript: Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (II)

În această secvență vom continua exercițiile de raționalizare a numitorului, dar pentru început aș vrea să prezint câteva formule de calcul prescurtat pe care le vom aplica în rezolvarea exercițiilor.
Expresia a la a doua minus b la a doua se descompune în factori astfel a minus b pe lângă a plus b. Cunoașteți această formulă încă din clasele mai mici.
A la a treia minus b la a treia se va descompune în factori astfel a minus b pe lângă a la a doua plus a b plus b la a doua.
Pentru a verifica acest aspect putem să facem calculele.
Haideți să desfacem parantezele și avem a la a treia plus a la a doua b plus a b la a doua și acum îl mulțim pe b cu fiecare termen din paranteză și avem minus a la a doua b minus a b la a doua minus b la a treia.
Se reduc niște termeni. Iată a la a doua b cu minus a la a doua b și a b la a doua minus a b la a doua.
În final ne rămâne a la a treia minus b la a treia.
În consecință formula scrisă este corectă.
Pentru a la a patra minus b la a patra vom avea următoarea descompunere în factori a minus b pe lângă a la a treia plus a la a doua b plus a b la a doua plus b la a treia.
Haideți să verificăm dacă este corectă această formulă.
Desfacem parantezele și avem a la a patra plus a la a treia b plus a la a doua b la a doua plus a b la a treia minus a la a treia b minus a la a doua b la a doua minus a b la a treia minus b la a patra.
Se reduc termenii a la a treia b minus a la a treia b.
Avem apoi a la a doua b la a doua minus a la a doua b la a doua și a b la a treia minus a b la a treia.
În final rămâne a la a patra minus b la a patra.
Iată așadar că și această relație scrisă este corectă.
Pentru a la cincea minus b la cincea vom avea următoarea descompunere a minus b pe lângă a la patra plus a la a treia b plus a la a doua b la a doua plus a b la a treia plus b la a patra.
Pentru a reține mai ușor aceste formule iată câteva aspecte importante.
În a doua paranteză exponenții lui b cresc.
Iată aici avem 1 care poate fi considerat b la 0 apoi b la a întâia b la a doua b la a treia și b la a patra.
Exponenții lui a sunt în ordine descrescătoare.
Avem a la a patra a la a treia a la a doua a la a întâia și 1 adică a la 0 și întotdeauna suma exponenților este 4.
În mod asemănător putem deduce și formula pentru a la șasea minus b la șasea.
Vom avea a minus b pe lângă a la cincea plus a la patra b plus a la a treia b la a doua plus a la a doua b la a treia plus a b la a patra plus b la a cincea.
Și în cazul acesta exponenții lui a sunt în ordine descrescătoare.
Puterile lui b cresc iar suma exponenților este 5.
Haideți acum să scriem descomponerea factor pentru expresia a la n minus b la n.
Vom avea a minus b pe lângă a la n minus 1 plus a la n minus 2 b plus a la n minus 3 b la a doua plus puncte puncte plus penultimul termen va fi a b la n minus 2 iar ultimul termen este b la n minus 1.
Acum, în cazul în care avem într-un exercițiu un numitor de forma radical de ordinul n din a minus radical de ordinul n din b,
pentru a elimina radicalii va trebui să înmulțim această expresie cu conjugata ei,
astfel încât să obținem radical de ordinul n din a totul la n,
care este egal cu a.
De asemenea, radical de ordinul n din b la n va fi egal cu b.
Prin urmare, înmulțind această expresie cu conjugata ei,
vom obține, în final, a minus b.
Și astfel vom reuși să eliminăm radicalii.
Conjugata acestei expresii va fi următoarea.
Ne uităm la formula scrisă mai sus.
În cazul acesta, a este radical de ordinul n din a,
iar b va fi radical de ordinul n din b.
Prin urmare, conjugata va fi următoarea.
Radical de ordinul n din a la n minus 1 plus radical de ordinul n din a la n minus 2 b
plus radical de ordinul n din a la n minus 3 b la a doua
plus, așa mai departe, radical de ordinul n din a b la n minus 2
plus radical de ordinul n din b la n minus 1.
Așadar, atunci când avem numitori de forma aceasta,
radical de ordinul n din a minus radical de ordinul n din b,
vom amplifica cu conjugata acestei expresii
care este dată de relația scrisă în a doua paranteză
și, astfel, vom reuși să eliminăm radicalii obținând la numitor a minus b.
Haideți acum să vedem cum vom descompone în factori
expresiile de forma a la doua plus b la a doua,
a la treia plus b la a treia și așa mai departe.
Pentru a la a doua plus b la a doua
nu cunoaștem o descompunere în factori,
așadar, această expresie nu poate fi descompusă în factori.
Pentru a la a treia plus b la a treia
vom avea următoarea formulă a plus b
pe lângă a la a doua minus a b plus b la a doua.
Haideți să verificăm corectitudinea acestei relații.
Vom desface parantezele și avem a la a treia
minus a la a doua b plus a b la a doua
și acum înmulțim pe b cu fiecare termen din a doua paranteză
vom avea a la a doua b minus
a b la a doua plus b la a treia.
Se reduc următorii termeni minus a la a doua b
cu plus a la a doua b, a b la a doua
cu minus a b la a doua.
Prin urmare ne rămâne a la a treia plus b la a treia.
Deci formula scrisă este corectă.
Pentru a la a patra plus b la a patra
nu avem descompunere în factori,
iată așadar că atunci când exponenții sunt numere pare
expresiile nu pot fi descompuse în factori.
Dacă avem a la a cincea plus b la a cincea
această expresie se va descompune în factori
astfel a plus b pe lângă
a la a patra minus a la a treia b
plus a la a doua b la a doua minus
a b la a treia plus b la a patra.
Dacă veți desface parantezele
observați că se vor reduce niște termeni
și în final ne rămâne a la cincea plus b la cincea.
Să ne uităm puțin în a doua paranteză
observăm că semnele alternează
deci avem plus minus plus minus plus
de asemenea observăm că puterile lui b cresc
avem unul care poate fi considerat b la zero
apoi b la a întâia, b la a doua, b la a treia și b la a patra
iar exponenții lui a sunt în ordine descrescătoare
avem a la a patra, a la a treia, a la a doua
a la a întâia și a la zero. În mod asemănător
vom deduce și relația pentru a la a șaptea plus b la a șaptea
pentru cât pentru a la a șasea plus b la a șasea
nu avem descompunere în factori.
Și acum să vedem a la șaptea plus b la șaptea
va fi a plus b pe lângă
a la a șasea minus a la a cincea b
plus a la a patra b la a doua
minus a la a treia b la a treia
plus a la a doua b la a patra
minus a b la a cincea
plus b la a șasea
întotdeauna ultimul termen va avea semnul plus iar penultimul
va avea semnul minus. Și acum putem să scriem
relația pentru a la n plus b la n
în cazul în care n este număr impar
vom avea a plus b
pe lângă a la n minus unu minus
a la n minus doi b plus
a la n minus trei b la a doua
deci întotdeauna suma exponenților trebuie să fie n minus unu
minus puncte puncte
penultimul termen va fi a b la
n minus doi iar ultimul termen va fi plus
b la n minus unu. În cazul
în care vom avea într-un exercițiu un numitor de forma radical
de ordinul n din a plus radical de ordinul n din b
va trebui să înmulțim această expresie cu
conjugata ei eliminând astfel radicalii
și vom obține în final a plus b
pentru că, repet, radical de ordinul n din a
ridicat la puterea n este egal cu a
și acum să vedem conjugata acestei expresii
ne uităm la formula de mai sus iar în loc de a noi avem radical
de ordinul n din a. Prin urmare vom avea
radical de ordinul n din a la n minus unu
minus radical de ordinul n
din a la n minus doi b plus
radical de ordinul n din a la n minus trei
b la a doua minus și-o mai departe
penultimul termen va fi radical de ordinul n
din a b la n minus doi
iar ultimul termen este radical de ordinul n din b
la n minus unu. Să reținem și această
formulă care se va aplica atunci când vom raționaliza
numitor de forma aceasta radical de ordinul n
din a plus radical de ordinul n din b. Aceasta va fi
conjugata iar în final vom elimina
radicalii obținând la numitor a plus b.
Această formulă se aplică numai în cazul în care
n este număr impar deci n este de forma
2k plus unu. Și acum să facem în continuare
câteva aplicații.
Primul exercițiu
se cere să raționalizăm numitorul fracției
12 sub a radical de ordinul 3 din 7 minus unu.
Pentru a elimina radicalul de la numitor ar trebui să avem
sub radical 7 la a treia. Așadar vom folosi
următoarea relație a la a treia minus
b la a treia este egal cu a minus b
pe lângă a la a doua plus ab plus
b la a doua. În cazul de față a
este radical de ordinul 3 din 7 iar b
este unu. Pentru a obține a la a treia minus b la a treia
trebuie să amplificăm fracția cu conjugata acestei expresii
iar conjugata este cea de a doua paranteză.
Prin urmare vom amplifica fracția
cu următoarea expresie
radical de ordinul 3 din 7
la pătrat plus urmează ab
deci radical de ordinul 3 din 7 ori unu
plus b la pătrat adică unu la pătrat
și totul supra radical de ordinul
3 din 7 minus unu pe lângă
radical de ordinul 3 din 7 la pătrat plus
radical de ordinul 3 din 7 ori unu plus unu la pătrat
egal
cu 12
pe lângă radical de ordinul 3 din 49
plus radical de ordinul 3 din 7 plus unu
supra. La numitor vom avea a la a treia minus b la a treia
adică radical de ordinul 3 din 7
ridicat la putere a treia minus unu la a treia
egal cu 12 pe lângă radical de ordinul 3
din 49 plus radical de ordinul 3
din 7 plus unu supra 7 minus unu
6. Simplificăm cu 6 și obținem în final
2 pe lângă radical de ordinul 3 din 49
plus radical de ordinul 3 din 7 plus unu
și ultimul exercițiu
se cere să raționalizăm numitorul acestei fracții
minus 8 supra radical de ordinul 3 din 5
minus radical din 3. Înainte de a amplifica
această fracție cu conjugata expresiei de la numitor
va trebui să aducem radicalii la același ordin. Observăm
că primul radical este de ordinul 3, iar al doilea radical
este de ordinul 2. Cel mai mic multiplu comun
al numerelor 2 și 3 este 6, așadar va trebui să amplificăm
radicalii pentru a obține radicali
de ordinul 6. Vom avea minus
8 supra. Ca să obținem un radical de ordinul 6
înmulțim cu 2 atât indicele radicalului cât și
exponentul numărului de subradical. Deci vom avea
radical de ordinul 6 din 5 la a doua
și aici îl mulțim cu 3. Radical de ordinul 6
din 3 la a treia. Ca să eliminăm radicalii
de la numitor ar trebui să ridicăm la putere
a șasea fiecare radical. Prin urmare vom folosi
următoarea formulă pe care am văzut-o mai devreme.
a la șasea minus b la șasea
este egal cu a minus b pe lângă
a la cincea plus a la patra b
plus a la treia b la doua
plus a la doua b la treia
plus a b la patra plus
b la cincea. În cazul nostru a
este radical de ordinul 6 din 5 la a doua
iar b este radical de ordinul 6 din 3 la a treia
Prin urmare noi avem a minus b
deci mai trebuie să amplificăm fracția cu
a doua paranteză și vom avea
egal cu minus 8
pe lângă a la cincea adică
radical de ordinul 6 din 5 la a doua
totul la cincea. Urmează apoi a la patra b
deci radical de ordinul 6
din 5 la a doua la a patra
ori b adică radical de ordinul 6
din 3 la a treia. Urmează apoi a la a treia b la a doua
deci radical de ordinul 6 din 5 la a doua
totul la a treia. Ori b la a doua
radical de ordinul 6 din 3 la a treia
ridicat la a doua. Plus
a la a doua b la a treia.
radical de ordinul 6 din 5 la a doua
totul la a doua ori radical de ordinul 6 din 3 la a treia
la a treia suntem aici. Urmează a b la a patra
radical de ordinul 6 din 5 la a doua
ori radical de ordinul 6 din 3 la a treia
totul la a patra
si plus b la a cincea. Adica radical de ordinul 6
din 3 la a treia totul la a cincea.
Iar la numitor vom avea a la a șasea minus b la a șasea
adica radical de ordinul 6 din 5 la a doua
totul la a șasea minus radical de ordinul 6
din 3 la a treia totul la a șasea
egal.
cu minus opt pe langa
radical de ordinul 6 din 5 la a zecea
aici inmultim exponenții
plus aici o să scriem sub un singur radical
radical de ordinul 6 din 5 la a opta
ori 3 la a treia
plus radical de ordinul 6 din 5 la a doua
ori 5 la a șasea
ori 3 la a treia
totul la a doua
plus radical de ordinul 6 din 5 la a patra
ori 3 la a noua
plus radical de ordinul 6 din 5 la a doua
ori 3 la a 12
avem 3 la a treia totul la a patra
si plus radical de ordinul 6 din 3 la a 15
supra
5 la a doua minus 3 la a treia
egal
cu minus opt pe langa
acum vom scoate factorii de sub radical
5 la a zecea
5 la a șasea
5 la a patra
5 radical de ordinul 6
5 la a opta
5 la a șasea
5 radical de ordinul 6
din 5 la a doua
ori 3 la a treia plus
3 la a noua
3 radical de ordinul 6
din 5 la a patra
ori 3 la a treia
plus
3 la a doua totul la a șasea
3 la a doua
radical de ordinul 6
din 5 la a doua
3 la a doua
ori 3 la a treia
3 la a doua
9 radical de ordinul 6
din 3 la a treia
25 minus 27 minus 2
egal
se simplifica minus 8 cu minus 2
si in continuare sa vedem ce am mai putea face
putem de exemplu sa mai simplificam radicalii
si vom avea 4 pe langa
aici simplificam cu 2
si ne ramane radical de ordinul 3
din 5 la a doua plus
aici lasam sub acelasi radical
5 la a doua ori 3 la a treia
plus 15 plus
copiem si aici 3 radical de ordinul 6
din 5 la a patra ori 3 la a treia
plus aici putem simplifica cu 2
si ne ramane 9 radical de ordinul 3 din 5
plus 9 aici simplificam radicalul cu 3
deci ramane radical de ordinul 2 din 3
deci 9 radical din 3
am raspuns astfel cerintei exercitiului
am reusit sa rationalizam numitorii
cam aceasta ar fi forma finala
bineinteles ca sub radicali mai putem face calculele
insa scopul acestui exercitiu nu este sa invatam calcule
ci sa invatam operatiile cu radicalii de ordin superior