Proprietăți ale radicalilor de ordin n

În această lecție o să vedem care sunt cele mai importante proprietăți ale radicalilor de ordin N.

Și începem cu produsul a 2 radicali. Prima proprietate, radical de ordin N din A înmulțit cu radical de ordin N din B va fi egal cu radical de ordinul N din A ori B,

oricare ar fi A și B numere reale pozitive. Cu alte cuvinte, produsul a 2 radicali este egal cu radicalul produsului.

Aceste proprietăți se pot demonstra foarte ușor folosind definiția radicalului de ordin N și proprietățile puterilor.

Să vedem un exemplu concret. Radical de ordin 3 din 3 ori radical de ordin 3 din 9.

Conform proprietății menționate mai sus, vom avea radical de ordin 3 din 3 ori 9 egal cu radical de ordin 3 din 27 și egal cu 3.

Dacă N este număr natural impar, atunci proprietatea are loc oricare ar fi numerele reale A și B.

A doua proprietate. Radical de ordin N din A supra radical de ordin N din B va fi egal cu radical de ordin N din A supra B

oricare ar fi numerele reale A și B pozitive cu B diferit de 0. Așadar, câtul a 2 radicali va fi egal cu radicalul câtului.

Să vedem câteva exemple. Radical de ordin 5 din 96 supra radical de ordin 5 din 3.

Vom aplica proprietatea de mai sus și obținem radical de ordinul 5 din 96 supra 3 egal cu radical de ordin 5 din 32 și egal cu 2.

Un alt exemplu. Radical de ordin 3 din minus 1 supra 125.

Aplicând proprietatea de mai sus, putem scrie radical de ordin 3 din minus 1 supra radical de ordin 3 din 125

sau radical de ordin 3 din 1 supra radical de ordin 3 din minus 125. Așadar, acest semn minus poate fi scris fie la numitor fie la numărător egal cu minus 1 supra 5.

Dacă N este număr natural impar, atunci această proprietate are loc oricare ar fi numerele reale A și B.

O altă proprietate, P3. Radical de ordin N din A totul la puterea M va fi egal cu radical de ordin N din A la puterea M oricare ar fi numărul real A mai mare sau egal cu 0.

Așadar, ridicarea la putere a unui radical presupune ridicarea la puterea expresiei de subradical.

Haideți să demonstrăm această proprietate.

Voi nota cu P membrul stâng și cu Q membrul drept. Fie P radical de ordin N din A totul la M și cu Q notăm radical de ordin N din A la M.

Ne propunem să arătăm că P este egal cu Q.

Pentru aceasta, voi ridica fiecare dintre cele două expresii la puterea N.

Așadar, avem P la N egal cu radical de ordin N din A la puterea M și totul ridicat la puterea N.

Egal cu radical de ordin N din A. Aici folosim proprietățile puterilor și avem M ori N.

Care se mai poate scrie? Radical de ordin N din A la puterea N și totul ridicat la puterea M.

Dar conform definiție radicalului de ordin N, acest număr radical de ordin N din A la puterea N va fi egal cu A la M.

Acum Q la N va fi egal cu radical indice N din A la M și totul la N.

Conform definiție radicalului, radical de ordin N dintr-un număr ridicat la puterea N va fi egal cu acel număr de subradical.

Așadar, avem egal cu A la M.

Observăm așadar că P la N este egal cu Q la N și având în vedere că numerele P și Q sunt pozitive,

pentru că A este număr mai mare sau egal cu 0, rezultă din această relație că P este egal cu Q.

Așadar, am demonstrat această proprietate.

Să vedem cum putem să o aplicăm concret în exerciții.

Un prim exemplu.

Radical indice 3 din 7 ridicat la puterea 4.

Va fi egal cu radical de ordin 3 din 7 la 4.

Egal în continuare cu radical de ordin 3 din 7 la 3-a ori 7.

Și aplicând proprietatea P1 putem scrie egal cu radical de ordin 3 din 7 la 3-a înmulțit cu radical de ordin 3 din 7.

Dar radical de ordin 3 din 7 la 3-a este egal cu 7 ori radical de ordin 3 din 7.

Un alt exemplu.

Radical din 4 la 3-a.

Conform relație de mai sus, vom putea scrie egal cu radical din 4 totul ridicat la puterea 3-a.

Radical din 4 este 2 la 3-a și egal cu 8.

Un alt exemplu.

Radical indice 3 din 8 la 4-a.

Va fi egal cu radical indice 3 din 8 totul la puterea 4-a.

Egal cu 2 la 4-a și egal cu 16.

Trecem la următoarea proprietate.

Aceasta se referă la simplificarea ordinului și exponentului puterii expresiei de subradical.

P4

Are loc următoarea relație.

Radical indice nk din a la mk va fi egal cu radical indice n din a la m, oricare ar fi numărul pozitiv a.

Am simplificat așadar ordinul radicalului și exponentul puterii expresiei de subradical.

Un exemplu.

Radical de ordin 5 din 2 la puterea 15.

Va fi egal cu radical de ordin 5 din 2 la 5 ori 3.

Simplificăm cu 5 și vom obține 2 la 3-a, adică 8.

Un alt exemplu.

Radical de ordin 6 din 4 la 5-a.

Încercăm să exprimăm ordinul radicalului și exponentul numărului de subradical cu ajutorul aceluiași număr pentru a putea face apoi simplificări.

6 este 2 ori 3, iar 4 este 2 la 2-a și totul la 5-a.

Va fi egal cu radical indice 2 ori 3 din 2 la 2 ori 5.

Aici folosim proprietățile puterilor.

Acum putem simplifica cu 2 și ne rămâne radical indice 3 din 2 la 5-a, care este egal cu radical indice 3 din 32.

Acestea au fost două exemple în care am simplificat radicalii, iar operația inversă se va numi amplificarea radicalilor.

Trecem mai departe la proprietatea 5-a și anume extragerea radicalului dintr-un alt radical.

Radical de ordin n din radical de ordin m din a va fi egal cu radical de ordin n ori m din a, oricare ar fi numărul pozitiv a.

Așadar, pentru a extrage un radical dintr-un alt radical, se extrage radicalul de ordin egal cu produsul ordinelor.

De exemplu, radical de ordin 3 din radical din 10.

Radicalul mai mic are ordinul 2, care nu se scrie de obicei, așadar vom avea radical de ordin 3 ori 2 din 10.

Radical cu radical de ordin 6 din 10.

Un alt exemplu, radical de ordin 5 din radical de ordin 3 din minus 7.

Va fi egal cu radical de ordin 5 ori 3 din minus 7, egal cu radical de ordin 15 din minus 7.

Dacă m și n sunt numere impare, observăm că proprietatea are loc pentru orice număr real a.

Și o ultimă proprietate, discutăm despre scoaterea și introducerea factorilor subradical.

Mai întâi să vedem cum putem să scoatem factorii de subradical.

Radical de ordin n din a la nk ori b.

Aplicăm proprietatea P1, produsul radicalilor, și vom avea radical de ordin n din a la nk ori radical de ordin n din b.

Egal în continuare cu radical de ordin n din a la k totul la n ori radical de ordin n din b.

Confort definiție radicalului, primul factor va fi egal cu a la k și avem radical de ordin n din b.

Un exemplu, radical indice 3 din 40.

Vom încerca să scriem numarul 40 ca un produs de 2 factori, dintre care 1 să fie la puterea a 3-a, pentru a putea apoi să-l scoatem de subradical.

40 este egal cu 8 ori 5.

L-am scris așa deoarece 8 este puterea a 3-a alui 2.

Și va fi egal în continuare cu radical de ordin 3 din 2 la 3-a ori 5.

Egal cu radical de ordin 3 din 2 la 3-a ori radical de ordin 3 din 5.

Și egal cu 2 radical de ordin 3 din 5.

Introducerea factorilor subradical se va face după formula a radical de ordin n din b

Egal cu radical de ordin n din a la n ori b, ori care ar fi a și b numere reale pozitive.

De exemplu, 2 radical de ordin 5 din 3.

Va fi egal cu radical de ordin 5 din 2 la 5-a ori 3.

Egal cu radical de ordin 5 din 2 la 5-a ori 3.

Și egal cu radical de ordin 5 din 96.

Toate aceste proprietăți le vom aplica în lecțiile următoare atunci când vom face operații cu radicali.