Radicali de ordin n

În această lecție vom discuta despre radicalii de ordini superior.

Fie a un număr real nenegativ, atunci, prin rădăcina pătrată, se înțelege un număr real x care, ridicat la pătrat, dă o valoare egală cu a.

Rădăcina pătrată se mai numește și radical de ordini 2.

Din moment ce orice număr ridicat la pătrat este pozitiv, înseamnă că rădăcina pătrată se poate extrage doar din numere pozitive,

pentru că extragerea rădăcinii pătrate și ridicarea la putere sunt operații inverse.

De asemenea, radical din a este întotdeauna mai mare sau egal cu 0.

În mod asemănător, vom defini și rădăcina cubică sau rădăcina de ordinul 3.

Dacă a este un număr real, se pune problema existenței unui număr real x, astfel încât x la 3-a să fie egal cu a.

De exemplu, ne punem întrebarea care este latura unui cub având volumul egal cu 8.

Știm că 2 la 3-a este egal cu 8, prin urmare, latura cubului va fi egală cu 2.

Vom spune astfel că radical de ordin 3 din 8 este egal cu 2 sau radical indice 3 din 8 egal cu 2.

Să vedem alte câteva exemple.

3 la 3-a este 27, prin urmare, radical de ordin 3 din 27 va fi egal cu 3.

Minus 2 la 3-a este egal cu minus 8, așadar radical indice 3 din minus 8 va fi egal cu minus 2.

Observăm că în cazul radicalului de ordin 3 din a nu mai trebuie să punem condiția ca a să fie număr nenegativ.

Așadar fie a un număr real, atunci radical de ordin 3 din a este acel număr x cu proprietatea că x la 3-a este egal cu a.

Dacă a este pozitiv, atunci și x este pozitiv, iar dacă a este negativ, atunci și x este negativ.

În continuare vom extinde noțiunea de radical și vom aborda două cazuri.

Mai întâi vom discuta despre radical de ordin n dintr-un număr real pozitiv.

Dacă a este un număr real pozitiv, iar n un număr natural, mai mare sau egal cu 2,

atunci numărul real notat astfel se numește radical de ordin n din a și este numărul real pozitiv cu proprietatea că radical de ordin n din a la puterea n este egal cu a.

Mai putem citi radical indice n din a.

În cazul particular în care a este 0, atunci radical de ordin n din 0 va fi egal cu 0.

Să vedem câteva exemple.

Radical de ordin 5 din 32 este egal cu 2, pentru că 2 la 5-a este egal cu 32.

Sau radical indice 4 din 81 va fi egal cu 3, pentru că 3 la 4-a este 81.

Radical de ordin 3 din 27 supra 125 va fi egal cu 3 supra 5,

pentru că 3 supra 5 la 3-a este egal cu 27 supra 125.

În continuare vom discuta despre radical de ordin impar dintr-un număr negativ.

Fie a un număr real negativ, n un număr natural, n mai mare sau egal decât 3, n impar.

Am văzut mai devreme când am discutat despre radicalul de ordin 3 că atunci când a era negativ și radical de ordin 3 din a era negativ.

În general, dacă a este număr negativ, atunci putem extrage doar radical de ordin impar.

Așadar, dacă a este număr negativ, atunci radical de ordin n din a este numărul negativ cu proprietatea că radical de ordin n din a la puterea n este egal cu a.

Să vedem câteva exemple.

Radical de ordin 3 din minus 1 pe 8 va fi egal cu minus 1 pe 2.

Sau radical de ordin 5 din minus 243 este egal cu minus 3 pentru că minus 3 la puterea 5-a este egal cu minus 243.

În concluzie, să reținem că atunci când avem numere reale pozitive putem extrage radical de ordin par și impar, dar atunci când avem numere negative se poate extrage doar radical de ordin impar.