$Fie a, b \in \mathrm{ℝ}, a>0, a\ne 1, b>0.$

Logaritmul în baza a a numărului b este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține numărul b.

$a^x=b\iff {\log }_a\left(b\right)=x$

Exemple:

$$\begin{gathered} 2^3=8\Rightarrow {\log }_2\left(8\right)=3 \\ {3}^{-2}=\frac{1}{9}\Rightarrow {\log }_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2. \end{gathered}$$

Are loc următoarea identitate logaritmică:

$a^{{\log }_a\left(b\right)}=b.$

Au loc următoarele proprietăți:

$$\begin{gathered} \bullet lo{g}_a\left(1\right)=0 \\ \bullet lo{g}_a\left(a\right)=1 \\ \bullet lo{g}_a\left(a^n\right)=n. \end{gathered}$$

$Fie a, b \in \mathrm{ℝ}, a>0, a\ne 1, b>0.$

Logaritmul în baza a a numărului b este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține numărul b.

$a^x=b\iff {\log }_a\left(b\right)=x$

Exemple:

$$\begin{gathered} 2^3=8\Rightarrow {\log }_2\left(8\right)=3 \\ {3}^{-2}=\frac{1}{9}\Rightarrow {\log }_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2. \end{gathered}$$

Are loc următoarea identitate logaritmică:

$a^{{\log }_a\left(b\right)}=b.$

$Fie a, b >0; a, b \ne 1; x, y>0.$

Logaritmii au următoarele proprietăți:

P1. Logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor.

$\boxed{{\log }_a\left(xy\right)={\log }_a\left(x\right)+{\log }_a\left(y\right)}$

P2. Logaritmul unui raport este egal cu diferența dintre logaritmul numărătorului și cel al numitorului.

$\boxed{{\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a\left(x\right)-{\log }_a\left(y\right)}$

P3. Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponentul puterii și logaritmul bazei puterii.

$\boxed{{\log }_a\left(x^n\right)=n{\log }_a\left(x\right)}$

P4. Are loc următoarea formula de schimbare a bazei logaritmului:

$\boxed{{\log }_a\left(x\right)=\frac{{\log }_b\left(x\right)}{{\log }_b\left(a\right)}}$

Alte formule utile:

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)·{\log }_a\left(b\right) \\ {\log }_a\left(b\right)=\frac{1}{{\log }_b\left(a\right)} \end{gathered}$$

P5. Are loc următoare formulă de calcul:

$\boxed{{\log }_{a^n}\left(x\right)=\frac{1}{n}{\log }_a\left(x\right)}$

Cazuri particulare:

$$\begin{gathered} \bullet lo{g}_a\left(1\right)=0 \\ \bullet lo{g}_a\left(a\right)=1 \\ \bullet lo{g}_a\left(a^n\right)=n. \end{gathered}$$

$Fie a, b >0; a, b \ne 1; x, y>0.$

Logaritmii au următoarele proprietăți:

P1. Logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor.

$\boxed{{\log }_a\left(xy\right)={\log }_a\left(x\right)+{\log }_a\left(y\right)}$

P2. Logaritmul unui raport este egal cu diferența dintre logaritmul numărătorului și cel al numitorului.

$\boxed{{\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a\left(x\right)-{\log }_a\left(y\right)}$

P3. Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponentul puterii și logaritmul bazei puterii.

$\boxed{{\log }_a\left(x^n\right)=n{\log }_a\left(x\right)}$

P4. Are loc următoarea formula de schimbare a bazei logaritmului:

$\boxed{{\log }_a\left(x\right)=\frac{{\log }_b\left(x\right)}{{\log }_b\left(a\right)}}$

Alte formule utile:

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)·{\log }_a\left(b\right) \\ {\log }_a\left(b\right)=\frac{1}{{\log }_b\left(a\right)} \end{gathered}$$

P5. Are loc următoare formulă de calcul:

$\boxed{{\log }_{a^n}\left(x\right)=\frac{1}{n}{\log }_a\left(x\right)}$

Cazuri particulare:

$$\begin{gathered} \bullet lo{g}_a\left(1\right)=0 \\ \bullet lo{g}_a\left(a\right)=1 \\ \bullet lo{g}_a\left(a^n\right)=n. \end{gathered}$$