Numere complexe — Memorator Algebră

Numere complexe (noțiuni introductive)

Vezi videoclipul: Numere complexe (noțiuni introductive) Vezi toată lecția: Mulțimea numerelor complexe Citește teoria: Numere complexe (noțiuni introductive)

Pe mulțimea

$ℝ \times ℝ = \{(a, b) a, b \in ℝ\}, z = (a, b), z ` = (c, d) \in ℝ \times ℝ$

definim două operații algebrice:

1. Adunarea:

$z + z ` = (a + c, b + d) \in ℝ \times ℝ$

2. Înmulțirea:

$z \cdot z ` = (a c - b d, a d + b c) \in ℝ \times ℝ .$

Fiecare element al mulțimii $ℝ \times ℝ$ pe care sunt definite operațiile algebrice prezentate mai sus se numește număr complex. Mulțimea numerelor complexe este mulțimea:

$ℂ = \{z z = (a, b), a, b \in ℝ\} .$

În particular, numerele complexe (a,0) și (0,0) sunt de fapt numerele reale a și 0.

$(a, 0) = a \in ℝ (0, 0) = 0 \in ℝ .$

Forma algebrică a numerelor complexe

Vezi videoclipul: Forma algebrică a numerelor complexe Vezi toată lecția: Numere complexe scrise sub formă algeb... Citește teoria: Forma algebrică a numerelor complexe

Forma algebrică a unui număr complex este:

$z = a + b i, a, b \in ℝ, i^{2} = - 1 .$

Numărul real a se numește partea imaginară a numărului complex și se scrie a = Re(z).

Numărul real b se numește partea imaginară și se notează b = Im(z).

Numărul i se numește unitate imaginară.

Operații cu numere complexe

$z = a + b i, z ` = c + d i, a, b, c, d \in ℝ .$

Adunarea:

$z + z ` = (a + c) + (b + d) i$

Scăderea:

$z - z ` = (a - c) + (b - d) i$

Înmulțirea:

$z \cdot z ` = (a + b i) \cdot (c + d i) = a c - b d + (a d + b c) i$

Puterile numărului i

$i^{4 k} = 1 i^{4 k + 1} = i i^{4 k + 2} = - 1 i^{4 k + 3} = - i .$

Conjugatul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci conjugatul lui z este numărul:

$\bar{z} = a - b i .$

Proprietăți ale numerelor complexe conjugate:

$a) z + \bar{z} \in ℝ b) z \cdot \bar{z} \in ℝ . c) \bar{z + z `} = \bar{z} + \bar{z `} d) \bar{z \cdot z `} = \bar{z} \cdot \bar{z `} e) \bar{(\frac{z}{z `})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z `}} f) \bar{z^{n}} = {(\bar{z})}^{n} g) \bar{\bar{z}} = z .$

Observație. Pentru a demonstra că un număr complex z este real, arătăm că numărul z este egal cu conjugatul său.

$z \in ℝ \Leftrightarrow z = \bar{z} .$

Raportul a două numere complexe

Pentru a calcula raportul a două numere complexe, se amplifică fracția cu conjugatul numitorului.

Modulul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci modulul lui z este numărul real pozitiv:

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Proprietăți ale modulului:

$a) |z| \geq 0, \forall z \in ℂ b) |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0 c) |z| = |\bar{z}| d) {|z|}^{2} = z \cdot \bar{z} e) |z \cdot z `| = |z| \cdot |z `| f) |\frac{z}{z `}| = \frac{|z|}{|z `|}, z ` \neq 0 g) |z^{n}| = {|z|}^{n} h) |z + z `| \leq |z| + |z `| .$

Operații cu numere complexe (forma algebrică)

Vezi videoclipul: Operații cu numere complexe (forma alg... Vezi toată lecția: Operații cu numere complexe scrise sub... Citește teoria: Operații cu numere complexe (forma alg...

Operații cu numere complexe

$z = a + b i, z ` = c + d i, a, b, c, d \in ℝ .$

Adunarea:

$z + z ` = (a + c) + (b + d) i$

Scăderea:

$z - z ` = (a - c) + (b - d) i$

Înmulțirea:

$z \cdot z ` = (a + b i) \cdot (c + d i) = a c - b d + (a d + b c) i$

Puterile numărului i

$i^{4 k} = 1 i^{4 k + 1} = i i^{4 k + 2} = - 1 i^{4 k + 3} = - i .$

Conjugatul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci conjugatul lui z este numărul:

$\bar{z} = a - b i .$

Proprietăți ale numerelor complexe conjugate:

$a) z + \bar{z} \in ℝ b) z \cdot \bar{z} \in ℝ . c) \bar{z + z `} = \bar{z} + \bar{z `} d) \bar{z \cdot z `} = \bar{z} \cdot \bar{z `} e) \bar{(\frac{z}{z `})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z `}} f) \bar{z^{n}} = {(\bar{z})}^{n} g) \bar{\bar{z}} = z .$

Observație. Pentru a demonstra că un număr complex z este real, arătăm că numărul z este egal cu conjugatul său.

$z \in ℝ \Leftrightarrow z = \bar{z} .$

Raportul a două numere complexe

Pentru a calcula raportul a două numere complexe, se amplifică fracția cu conjugatul numitorului.

Modulul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci modulul lui z este numărul real pozitiv:

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Proprietăți ale modulului:

$a) |z| \geq 0, \forall z \in ℂ b) |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0 c) |z| = |\bar{z}| d) {|z|}^{2} = z \cdot \bar{z} e) |z \cdot z `| = |z| \cdot |z `| f) |\frac{z}{z `}| = \frac{|z|}{|z `|}, z ` \neq 0 g) |z^{n}| = {|z|}^{n} h) |z + z `| \leq |z| + |z `| .$

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe (aplicații)

Vezi videoclipul: Reprezentarea geometrică a numerelor c... Vezi toată lecția: Reprezentarea geometrică a numerelor c... Citește teoria: Reprezentarea geometrică a numerelor c...

$F i e z \in ℂ, z = a + b i, a, b \in ℝ .$

Fiecărui număr complex îi corespunde un unic punct în plan M(a,b) care se numește imaginea geometrică a numărului complex z. Numărul complex z se numește afixul punctului M.

Modulul numărului complex z este modulul vectorului de poziție al punctului M:

$|z| = O M = |\vec{O M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Dacă punctul A este imaginea geometrică a numărului complex z1 și punctul B este imaginea geometrică a numărului complex z2, atunci lungimea segmentului [AB] este:

$A B = |z_{1} - z_{2}| .$

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

Vezi videoclipul: Reprezentarea geometrică a numerelor c... Vezi toată lecția: Reprezentarea geometrică a numerelor c... Citește teoria: Reprezentarea geometrică a numerelor c...

$F i e z \in ℂ, z = a + b i, a, b \in ℝ .$

Fiecărui număr complex îi corespunde un unic punct în plan M(a,b) care se numește imaginea geometrică a numărului complex z. Numărul complex z se numește afixul punctului M.

Modulul numărului complex z este modulul vectorului de poziție al punctului M:

$|z| = O M = |\vec{O M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Dacă punctul A este imaginea geometrică a numărului complex z1 și punctul B este imaginea geometrică a numărului complex z2, atunci lungimea segmentului [AB] este:

$A B = |z_{1} - z_{2}| .$

Forma trigonometrică a unui număr complex

Vezi videoclipul: Forma trigonometrică a unui număr comp... Vezi toată lecția: Forma trigonometrică a numerelor compl... Citește teoria: Forma trigonometrică a unui număr comp...

$F i e z \in ℂ, z = a + b i, a, b \in ℝ .$

Forma trigonometrică a numărului complex z este:

$z = r (\cos t + i \sin t)$

unde

$r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} t = a r g (z) \in [0, 2 π) a r g u m e n t r e d u s .$

Numerele r și t se numesc coordonate polare (r este raza polară, iar t argumentul polar).

Mulțimea tuturor argumentelor numărului complex z este:

$A r g z = \{t + 2 k π k \in ℤ\} .$

Pentru a determina agumentul redus, vom tine cont de cadranul în care este situată imaginea geometrică a numărului complex. Notăm cu M(a,b) imaginea geometrică a numărului z.

$M \in C a d r . I \Rightarrow t = a r c t g \frac{b}{a} M \in C a d r . I I \Rightarrow t = π - a r c t g |\frac{b}{a}| M \in C a d r . I I I \Rightarrow t = π + a r c t g |\frac{b}{a}| M \in C a d r . I V \Rightarrow t = 2 π - a r c t g |\frac{b}{a}| .$

Înmulțirea numerelor complexe

Vezi videoclipul: Înmulțirea numerelor complexe Vezi toată lecția: Înmulțirea numerelor complexe scrise s... Citește teoria: Înmulțirea numerelor complexe

$F i e z_{1}, z_{2} \in ℂ, z_{1} = r_{1} (\cos t_{1} + i \sin t_{1}) z_{2} = r_{2} (\cos t_{2} + i \sin t_{2}) .$

Atunci

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} [c o s (t_{1} + t_{2}) + i s i n (t_{1} + t_{2})] |z_{1} \cdot z_{2}| = r_{1} \cdot r_{2} = |z_{1}| \cdot |z_{2}| a r g (z_{1} \cdot z_{2}) = \{\begin{cases} t_{1} + t_{2}, d a c ă t_{1} + t_{2} \in [0, 2 π) \\ t_{1} + t_{2} - 2 π, dacă t_{1} + t_{2} \in [2 π, 4 π) . \end{cases}$

Dacă avem n numere complexe, atunci produsul acestora va fi:

$z_{1} \cdot z_{2} \cdot . . . \cdot z_{n} = r_{1} r_{2} . . . r_{n} [\cos (t_{1} + t_{2} + . . . + t_{n}) + i \sin (t_{1} + t_{2} + . . . + t_{n})] .$

Ridicarea la putere a numerelor complexe

Vezi videoclipul: Ridicarea la putere a numerelor comple... Vezi toată lecția: Ridicarea la putere a numerelor comple... Citește teoria: Ridicarea la putere a numerelor comple...

$z \in ℂ, z = r (\cos t + i \sin t)$

Formula lui Moivre:

$z^{n} = r^{n} (\cos n t + i \sin n t) n \in ℕ^{*} . |z^{n}| = r^{n} = {|z|}^{n} a r g (z^{n}) = n t = n \cdot a r g (z) .$

Dacă numărul complex are modulul egal cu unu (r = 1), atunci se obține relația:

${(\cos t + i \sin t)}^{n} = \cos n t + i \sin n t .$

Împărțirea numerelor complexe

Vezi videoclipul: Împărțirea numerelor complexe Vezi toată lecția: Împărțirea numerelor complexe sub form... Citește teoria: Împărțirea numerelor complexe

$z_{1}, z_{2} \in ℂ, z_{2} \neq 0 . z_{1} = r_{1} (\cos t_{1} + i \sin t_{1}) z_{2} = r_{2} (\cos t_{2} + i \sin t_{2})$

Câtul celor două numere complexe se determină folosind formula:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (t_{1} - t_{2}) + i \sin (t_{1} - t_{2})] |\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} a r g (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = t_{1} - t_{2} = a r g (z_{1}) - a r g (z_{2}) .$

Rădăcina de ordin n dintr-un număr complex

Vezi videoclipul: Rădăcina de ordin n dintr-un număr com... Vezi toată lecția: Rădăcinile de ordinul n ale unui număr... Citește teoria: Rădăcina de ordin n dintr-un număr com...

$F i e z \in ℂ^{*}, z = r (\cos t + i \sin t), n \in ℕ, n \geq 2 .$

Un număr complex $u = ρ (\cos θ + i \sin θ)$ este rădăcină de ordin n a numărului complex z dacă $u^{n} = z .$

Există n rădăcini distincte ale numărului complex z și acestea sunt:

$u_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{t + 2 k π}{n} + i \sin \frac{t + 2 k π}{n}), k = \bar{0, n - 1} .$