Ridicarea la putere a numerelor complexe

În acest videoclip voi prezenta ridicarea la putere a numerelor complexe sub formă trigonometrică.

Am văzut în lecția trecută că produsul a două numere complexe exprimate trigonometric este Z1 or Z2 egal cu R1 R2 pe lângă cosinus de T1 plus T2 plus isinus de T1 plus T2,

unde R1 și R2 reprezintă modulele celor două numere complexe, iar T1 și T2 sunt argumentele acestora.

Această formulă se poate generaliza pentru produsul a N numere complexe.

Iată în cazul în care avem N numere, atunci produsul Z1 or Z2 or puncte puncte or ZN va fi egal cu R1 R2 RN pe lângă cosinus de T1 plus T2 plus puncte puncte plus TN plus isinus de T1 plus T2 plus puncte puncte plus TN.

În cazul în care aceste N numere complexe sunt egale, atunci obținem formula pentru ridicarea la putere a unui număr complex.

Iată Z la puterea N va fi egal cu R la puterea N pe lângă cosinus de NT, pentru că aici în paranteză avem N termeni plus isinus de NT.

Această formulă este cunoscută sub numele de formula lui Moavre.

Deducem astfel că modul din Z la N este egal cu R la N, dar R reprezintă modulul numărului complex Z, așadar modul din Z la N este egal cu modul din Z la puterea N.

Un argument al puterii este produsul dintre argumentul numărului complex Z și exponentul puterii.

Așadar, pentru a ridica la puterea N un număr complex, vom ridica modulul la puterea N, iar argumentul îl îl mânțim cu N.

Dacă numărul complex Z are modulul egal cu 1, atunci forma sa trigonometrică va fi cosinus de T plus isinus de T,

iar în acest caz, formula de mai sus se va scrie cosinus de T plus isinus de T ridicat la puterea N, egal cu cosinus de NT plus isinus de NT.

În unele cărți veți găsi formula lui Moavre scrisă sub această formă.

Această relație se poate demonstra foarte ușor prin inducție matematică, lăsăm demonstrația ca exercițiu.

În continuare, să rezolvăm următorul exercițiu.

Se cere să calculăm 1 minus 2i supra 3 minus i ridicat la puterea 32.

Pentru început, voi nota cu Z numărul din paranteză.

Z este egal cu 1 minus 2i supra 3 minus i.

În continuare, amplificăm cu conjugata și vom avea 1 minus 2i pe lângă 3 plus i supra 3 minus i înmulțit cu 3 plus i.

Egal cu 3 plus i minus 6i ne dă minus 5i minus 2i pătrat, i pătrat este minus 1, deci obținem plus 2 supra 3 la a doua 9 minus i pătrat, adică plus 1.

Egal cu 5 minus 5i supra 10, dăm factor comun pe 5 și apoi simplificăm cu 5 și obținem 1 minus i supra 2.

Deci Z va fi egal cu 1 supra 2 pe lângă 1 minus i.

Noi trebuie să calculăm Z la puterea 32.

Acesta va fi egal cu 1 supra 2 pe lângă 1 minus i, totul ridicat la puterea 32.

Egal cu 1 supra 2 la puterea 32 ori, haideți să notăm numărul complex 1 minus i cu u.

Și atunci vom avea înmulțit cu u la puterea 32.

Deci pentru a calcula numărul Z ridicat la puterea 32, trebuie de fapt să calculăm numărul u ridicat la puterea 32, unde u este egal cu 1 minus i.

Pentru a calcula 1 minus i la puterea 32, mai întâi vom exprima acest număr sub formă trigonometrică.

Modulul numărului complex u este egal cu radical din 1 la pătrat plus minus 1 la pătrat și egal cu radical din 2.

Am găsit modulul și acum trebuie să găsim argumentul redus al numărului complex u.

Pentru aceasta mai întâi voi reprezenta grafic imaginea geometrică a numărului complex u.

Observăm că imaginea geometrică este un punct din cadranul 4.

Argumentul redus este unghiul T, cel evidențiat cu albastru.

Să scriem că argumentul numărului complex u este egal cu T, iar T va fi egal cu 2pi minus alfa, unde alfa este unghiul acesta evidențiat cu roz.

Mai întâi voi calcula tangenta unghiului alfa.

Tangenta de alfa este 1 supra 1, adică 1.

Obținem alfa egal arctangenta de 1 și egal cu pi supra 4.

Sau altfel, se poate observa ușor că acest triunghi dreptunghic este isoscel, în consecință unghiul alfa are măsura egală cu 45 de grade.

Dacă alfa este pi supra 4, atunci T va fi egal cu 2pi minus pi supra 4, egal cu 7pi supra 4.

Numărul complex u va avea forma trigonometrică radical din 2 pe lângă cosinus de 7pi pe 4 plus isinus de 7pi supra 4.

Pentru a calcula z la puterea 32, mai întâi calculăm u la puterea 32.

U la 32 va fi egal cu radical din 2 la puterea 32 pe lângă cosinus de 32 ori 7pi supra 4, aici aplicăm formula lui Moivre, plus isinus de 32 ori 7pi supra 4.

Egal.

Radical din 2 la 32 se poate scrie radical din 2 la 2a, totul ridicat la puterea 16 pe lângă cosinus, aici simplificăm cu 4 ne dă 8, 7 ori 8 este 56pi plus isinus de 56pi.

Egal cu 2 la puterea 16 pe lângă, 56pi este un multiplu par de pi, în consecință cosinus de 56pi va fi egal cu cosinus de 0, iar sinus de 56pi este de asemenea egal cu sinus de 0.

Dar cosinus de 0 este 1 plus i ori sinus de 0 este egal cu 0.

Obținem în final 2 la puterea 16.

Și acum să revenim la Z.

Z la puterea 32 este egal cu 1 supra 2 la puterea 32 ori u la 32 egal cu 1 supra 2 la 32 înmulțit cu 2 la puterea 16.

Egal cu 1 supra 2 la puterea 16.