Forma trigonometrică a unui număr complex

$Fie z\in \mathrm{ℂ}, z=a+bi, a, b\in \mathrm{ℝ}.$

Forma trigonometrică a numărului complex z este:

$z=r\left(\cos t+i\sin t\right)$

unde 

$$\begin{gathered} r=\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2} \\ t =arg\left(z\right) \in [0,2\mathrm{\pi }) argument redus. \end{gathered}$$

Numerele r și t se numesc coordonate polare (r este raza polară, iar t argumentul polar).

Mulțimea tuturor argumentelor numărului complex z este:

$Argz=\left\{t+2k\mathrm{\pi } \overline{) \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\}.$

Pentru a determina agumentul redus, vom tine cont de cadranul în care este situată imaginea geometrică a numărului complex. Notăm cu M(a,b) imaginea geometrică a numărului z.

$$\begin{gathered} M\in Cadr. I \Rightarrow t=arctg\frac{b}{a} \\ M\in Cadr. II \Rightarrow t=\pi -arctg\left|\frac{b}{a}\right| \\ M\in Cadr. III \Rightarrow t=\pi +arctg\left|\frac{b}{a}\right| \\ M\in Cadr. IV \Rightarrow t=2\pi -arctg\left|\frac{b}{a}\right|. \end{gathered}$$