Forma trigonometrică a unui număr complex

În această lecție voi prezenta forma trigonometrică a numerelor complexe.

Am văzut că unui număr complex Z de forma a plus bi îi corespunde un unic punct în plan numit imaginea geometrică a numărului complex.

Acest punct, pe care l-am notat cu m, va avea coordonatele a și b, unde a este partea reală, iar b este partea imaginară a numărului complex.

Numerele a și b se numesc coordonate carteziene, dar poziția punctului m în plan mai poate fi caracterizată și de alte două elemente,

mai întâi de lungimea segmentului OM, pe care o voi nota cu r, apoi de unghiul pe care îl face semidreapta OM cu semiaxa pozitivă a numerelor reale.

Voi nota acest unghi cu t.

Numerele r și t se vor numi coordonate polare.

Dacă r este egal cu OM, iar OM, știm că este egal cu modulul numărului complex Z, atunci va rezulta că r este egal cu radical din a pătrat plus b pătrat.

Acest număr r se numește rază polară sau rază vectoare.

Numărul t se numește argumentul redus al numărului complex Z și se notează astfel, t este egal cu arg Z. Citim argumentul numărului complex Z.

Vom considera că unghiul t este în intervalul 0,2 pi.

Deci raza polară a imaginii lui Z este egală cu modulul lui Z, iar argumentul polar t al imaginii lui Z se numește argumentul redus al lui Z și se notează arg Z.

În concluzie, orice număr complex poate fi reprezentat în plan dacă se cunosc cele două coordonate polare.

Dacă notez proiecția punctului M pe axa OX cu A, atunci în triunghiul dreptunghic AOM, aplicând cosinus de t, obținem cosinus de t egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză, adică a mic supra r.

De aici se obține a egal cu r cosinus de t.

Dacă aplicăm sinus de t, avem sinus de t egal cu b supra r și obținem b egal cu r ori sinus de t.

Și acum înlocuim aceste două valori în expresie algebrică a numărului complex Z.

Z este a plus bi egal în continuare.

În loc de a, voi scrie r cosinus de t plus i ori, în loc de b, avem r sinus de t.

Se poate da factor comun pe r și obținem z egal cu r pe lângă cosinus de t plus i sinus de t.

Aceasta este forma trigonometrică a numărului complex Z, unde t este un unghi din intervalul 0,2pi.

Dacă punem în locului t valoarea t plus 2kpi, vom obține z egal cu r pe lângă cosinus de t plus 2kpi plus i sinus de t plus 2kpi, unde k este un număr întreg.

Însă funcțiile sinus și cosinus sunt periodice, având perioada principală 2pi, așadar cosinus de t plus 2kpi va fi egal cu cosinus de t și la fel sinus de t plus 2kpi este egal cu sinus de t.

Obținem așadar r pe lângă cosinus de t plus i sinus de t.

Și atunci orice număr t pentru care este verificată această relație se numește argument al lui Z.

Mulțimea tuturor argumentelor numărului complex Z se va nota astfel,

arg z egal cu mulțimea formată din argumentul redus al numărului complex Z plus 2kpi, unde k este număr întreg.

Așadar diferența dintre două argumente ale unui număr complex nenul este multiplul întreg de 2pi,

cu alte cuvinte, dacă raza este constantă, valorile lui t ce diferă prin 2kpi caracterizează același punct în plan.

Pentru determinarea argumentului polar t trebuie să avem în vedere cadranul în care este situată imaginea geometrică,

astfel dacă m este situat în cadranul întâi atunci abscisa este pozitivă și ordonata este pozitivă.

Dacă imaginea geometrică al lui Z este un punct situat în cadranul al doilea atunci a este negativ iar b este pozitiv.

Dacă m este situat în cadranul 3 a este negativ și b este de asemenea negativ,

iar dacă m este un punct din cadranul al patrulea atunci abscisa este pozitivă iar ordonata va fi negativă.

Haideți să vedem concret câteva exemple.

Avem numărul complex Z egal cu 1 plus radical dintre i și dorim să scriem acest număr sub formă trigonometrică.

Pentru aceasta va trebui să găsim cele două coordonate polare, adică raza polară și argumentul redus.

Pentru început am reprezentat în plan imaginea geometrică a numărului complex Z.

Am obținut punctul m având coordonatele 1 și radical din 3.

Am notat cu a proiecția punctului m pe axa OX.

Raza polară este lungimea segmentului OM iar argumentul redus este unghiul AOM.

Pentru a găsi raza R vom calcula modulul numărului complex Z și avem radical din 1 la pătrat plus radical din 3 la pătrat egal cu radical din 4 și egal cu 2.

Iar pentru a găsi argumentul T vom aplica în triunghiul dreptunghic AOM tangentă de T.

Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată.

Avem AM supra OA egal cu radical din 3 supra 1 și egal cu radical din 3.

Deci tangentă de T este radical din 3.

Noi trebuie să găsim unghiul T a cărui tangentă este radical din 3.

Pentru aceasta vom folosi următoarea notație T este egal cu arc tangentă de radical din 3.

Despre funcția arc tangentă vom discuta pe larg într-o altă lecție.

Deocamdată tot ce trebuie să știți este că această notație se referă la unghiul a cărui tangentă este radical din 3.

Iar acesta este pi supra 3.

Pentru că tangentă de pi supra 3 este radical din 3.

Am găsit raza polară și argumentul redus și acum putem să scriem forma trigonometrică a numărului complex Z.

Z va fi egal cu R pe lângă cosinus de T plus i sinus de T.

Egal cu 2 pe lângă cosinus de pi supra 3 plus i sinus de pi supra 3.

Aceasta este forma trigonometrică a numărului complex.

Haideți să scriem și argumentul numărului complex Z.

Acesta va fi mulțimea argumentelor de forma pi supra 3 plus 2k pi unde k este număr întreg.

Putem să facem și o scurtă verificare pentru a vedea dacă această formă trigonometrică este corectă.

Deci putem să calculăm mai departe și obținem 2 pe lângă cosinus de pi supra 3 este 1 pe 2 plus i sinus de pi supra 3 este radical din 3 pe 2.

Dacă desfacem parantezele și simplificăm obținem într-adevăr Z egal cu 1 plus radical din 3 i.

Așadar forma trigonometrică la care am ajuns este corectă.

Să vedem un alt exemplu.

Avem numărul complex Z de forma minus radical din 3 plus i.

Am reprezentat în plan imaginea sa geometrică și am obținut punctul M având coordonatele minus radical din 3 și 1.

Observăm că punctul M este situat în cadranul al doilea.

Pentru a scrie acest număr sub formă trigonometrică vom calcula mai întâi R adică modulul numărului complex Z

și avem radical din minus radical din 3 la pătrat plus 1 la pătrat egal cu radical din 4 și egal cu 2.

Argumentul redus al numărului complex Z este măsura în radiani a acestui unghi.

Întotdeauna considerăm unghiurile în sens trigonometric.

Deci acesta este argumentul T și mai notez unghiul AOM cu alfa.

Folosind această notație putem scrie că T este egal cu pi minus alfa.

Așadar vom calcula mai întâi unghiul alfa apoi unghiul T.

Pentru a calcula unghiul alfa între unghiul AOM aplicăm tangentă de alfa.

Aceasta va fi egală cu AM supra AO.

Și egal cu 1 supra AO va fi modul din minus radical din 3.

Considerăm valoarea aceasta în modul deoarece vorbim despre lungimea laturii AO.

Egal cu 1 pe radical din 3 și egal cu radical din 3 pe 3.

Atunci alfa va fi arc tangentă de radical din 3 pe 3, adică unghiul a cărui tangentă este radical din 3 supra 3 și egal cu pi supra 6.

T este egal cu pi minus alfa, adică pi minus pi supra 6 și egal cu 5 pi supra 6.

Am găsit raza polară și argumentul redus.

În consecință putem să scriem forma trigonometrică a numărului complex.

Z va fi egal cu R pe lângă cosinus de T plus I sinus de T.

Egal cu 2 pe lângă cosinus de 5 pi supra 6 plus I sinus de 5 pi supra 6.

Haideți să scriem și argumentul numărului complex Z.

Argumentul lui Z va fi argumentul redus 5 pi supra 6 plus 2K pi, unde K este număr întreg.

Continuăm cu un alt exemplu.

Avem numărul complex Z egal cu minus 2 minus 2 I și ne propunem să scriem acest număr sub formă trigonometrică.

Am reprezentat în plan imaginea geometrică a acestui număr.

Am obținut punctul M având coordonatele minus 2 minus 2.

Pentru a calcula raza polară R, vom calcula modulul numărului complex Z

și avem radical din minus 2 la pătrat plus minus 2 la pătrat.

Egal cu radical din 4 plus 4, adică radical din 8 și egal cu 2 radical din 2.

Argumentul redus este măsura în radiani a acestui unghi.

Acesta este argumentul T.

Și dacă notez măsura acestui unghi cu alfa, atunci T va fi egal cu pi plus alfa.

Mai întâi voi calcula unghiul alfa din triunghiul dreptunghic AOM.

Aplicam tangentă de alfa și avem cateta opusă AM supra cateta alăturată AO egal.

Considerăm modulul acestor numere.

Avem modul din minus 2 supra modul din minus 2, întrucât vorbim de lungimea laturilor AM respectiv AO și egal în continuare cu 1.

Alfa va fi arc tangentă de 1.

Unghiul a cărui tangentă este 1 are măsura egală cu pi supra 4.

Revenim la T.

T este egal cu pi plus pi supra 4 și egal cu 5 pi supra 4.

Deci argumentul redus T este egal cu 5 pi supra 4.

Și atunci forma trigonometrică a numărului Z va fi R pe lângă cosinus de T plus i sinus de T

egal cu 2 radical din 2 pe lângă cosinus de 5 pi supra 4 plus i sinus de 5 pi supra 4.

Aceasta este forma trigonometrică a numărului Z.

Putem să scriem și argumentul lui Z.

Vom avea argumentul redus adică 5 pi supra 4 plus 2k pi unde k este număr întreg.

Și să mai vedem un ultim exemplu.

Am ales de data aceasta un punct situat în cadranul 4.

Iată avem numărul complex Z egal cu 2 minus 3i.

Am construit imaginea sa geometrică.

Am notat cu M punctul de coordonate 2 și minus 3

și ne propunem să scriem acest număr sub formă trigonometrică.

Calculăm mai întâi R egal modul din Z și egal cu radical din 2 la pătrat plus minus 3 la pătrat

egal cu radical din 4 plus 9, 13.

Argumentul numărului complex Z este măsura în radiani a acestui unghi.

Acesta este unghiul T.

Voi nota cu alfa unghiul acesta AOM

și folosim relația T este egal cu 2pi minus alfa.

Deci unghiul T se obține dacă efectuăm o rotație completă apoi scădem acest unghi alfa.

Pentru a calcula unghiul alfa aplicăm tangenta în triunghiul AOM.

Tangenta de alfa este cateta opusă AM supra cateta alăturată AO

Egal AM este modul din minus 3 iar AO este 2.

Egal cu 3 pe 2.

Alfa va fi egal cu arc tangentă de 3 supra 2.

Nu cunoaștem unghiul a cărui tangentă este 3 supra 2 așadar vom lăsa unghiul alfa scris sub forma aceasta.

T va fi egal cu 2pi minus arc tangentă de 3 pe 2.

Am găsit raza polară și argumentul redus așadar să scriem forma trigonometrică a lui Z.

Z va fi egal cu R pe lângă cosinus de T plus i sinus de T.

Egal cu radical din 13 pe lângă cosinus de T plus i sinus de T.

Cosinus de 2pi minus arc tangentă de 3 pe 2.

Acesta este unghiul T.

Plus i sinus de 2pi minus arc tangentă de 3 pe 2.

Aceasta este forma trigonometrică a numărului complex Z.

Putem să scriem și argumentul lui Z.

Vom avea argumentul redus adică 2pi minus arc tangentă de 3 supra 2 plus 2kpi unde k este număr întreg.