Înmulțirea numerelor complexe

Efectuarea operațiilor de adunare și scădere a numerelor complexe sub formă trigonometrică se realizează ca și în cazul scrierii acestora sub formă algebrică.

Mai exact, se adună, respectiv se scad, părțile reale între ele și părțile imaginare între ele.

Însă operația de înmulțire, ridicare la putere sau extragerea rădăcinii prezintă multiple avantaje,

comparativ cu operațiile similare în care numerele complexe sunt exprimate algebric.

În acest videoclip, voi prezenta înmulțirea numerelor complexe sub formă trigonometrică.

Pentru început, aș vrea să reamintesc forma trigonometrică a unui număr complex.

Z este egal cu R pe lângă cosinus dt plus i sinus dt.

R se numește rază polară și aceasta reprezintă modulul numărului complex,

iar t este argumentul redus, iar acesta este un unghi din intervalul 0,2pi.

Argumentul extins sau mulțimea tuturor argumentelor numărului complex Z

este egal cu argumentul redus plus 2kpi, unde k este număr întreg.

Și acum să vedem cum înmulțim două numere complexe sub formă trigonometrică.

Avem numerele Z1 de forma R1 pe lângă cosinus dt1 plus i sinus dt1

și Z2 egal cu R2 pe lângă cosinus dt2 plus i sinus dt2.

Ne propunem să calculăm produsul Z1 ori Z2.

Mai întâi vom înmulți cele două module R1 ori R2

și apoi înmulțim cele două paranteze în modul obișnuit.

Obținem astfel cos dt1 ori cos dt2 plus cos dt1 ori i sinus dt2

plus i sinus dt1 cosinus dt2 plus i sinus dt1 ori i sinus dt2

dar i la pătrat este minus 1 și din acest motiv aici vom obține minus sinus dt1 sinus dt2.

În continuare vom separa partea reală de cea imaginară și avem R1 R2 pe lângă

cos dt1 cos dt2 minus sin dt1 sin dt2

Aceasta reprezintă formula pentru cos dt1 plus t2

apoi din următorii doi termeni dăm factor comun pe i

și vom avea cos dt1 sin dt2 plus sin dt1 cos dt2

iar aceasta este expresia pentru sin dt1 plus t2.

Am găsit astfel următoarea formulă de calcul pentru produsul a două numere complexe.

Z1 Z2 va fi egal cu R1 R2 pe lângă cos dt1 plus t2 plus i sinus dt1 plus t2.

Cu alte cuvinte, cele două module R1 și R2 se înmulțesc

iar argumentele reduse t1 și t2 se adună.

Din această relație deducem că modul din Z1 or Z2 este egal cu R1 or R2

dar R1 este modulul numărului Z1 iar R2 este modulului Z2.

Obținem astfel că modulul produsului Z1 or Z2 este egal cu produsul modulelor celor două numere.

Argumentul redus al produsului Z1 or Z2 se obține însumând argumentele reduse t1 și t2

însă trebuie să ținem cont de faptul că și argumentul produsului trebuie să fie un unghi din intervalul 02pi.

Așadar, această relație are loc atâta timp cât t1 plus t2 face parte din intervalul 02pi.

În cazul în care t1 plus t2 este mai mare de 2pi,

pentru a obține argumentul redus al produsului vom folosi următoarea relație

argumentului Z1 plus argumentului Z2 din care scădem 2pi.

Vom folosi această relație în cazul în care t1 plus t2 aparține intervalului 2pi-4pi.

Așadar, este important să reținem că și argumentul redus al produsului trebuie să fie un unghi din intervalul 02pi.

Dacă este mai mare decât 2pi, atunci în momentul în care calculăm argumentul o să scădem 2pi.

În ambele situații, argumentul extins al produsului sau mulțimea argumentelor

este formată din argumentul redus al numărului Z1 plus argumentul numărului Z2 plus 2kpi

unde k parcurge mulțimea numerelor întregi.

Haideți să vedem în continuare câteva exerciții.

Se cere să calculăm produsul acestor două numere complexe sub formă trigonometrică

punând în evidență modulul sau raza polară și argumentul redus al produsului.

Pentru început, înmulțim modulele celor două numere.

Așa cum spunea mai devreme, adunăm argumentele celor două numere.

Am obținut astfel că modulul este egal cu 10 și argumentul redus este egal cu 115 grade.

Trecem la punctul B.

Avem din nou un produs de două numere complexe exprimate trigonometric.

Mai întâi înmulțim modulele 2x3x6 pe lângă cosinus de 175 plus 225 ne dă 400 plus isinus de 400 grade.

Unglul de 400 grade este mai mare decât 2pi.

În consecință, pentru a afla argumentul redus al produsului va trebui să scădem 360 grade.

Obținem astfel 6 pe lângă cosinus de 400 minus 360 plus isinus de 400 minus 360 de grade.

Egal cu 6 pe lângă cosinus de 40 de grade plus isinus de 40 de grade.

Modulul este egal cu 6 iar argumentul redus este unghiul de 40 de grade.

Continuăm cu punctul C.

Avem din nou un produs de două numere complexe.

Vom avea 2 radical din 3 supra 3 pe lângă cosinus de pi supra 6 plus 2pi supra 3 plus isinus de pi supra 6 plus 2pi supra 3.

Egal cu 2 radical din 3 supra 3 pe lângă amplificăm a doua fracție cu 2 ne dă 4pi plus pi 5pi supra 6 plus isinus de 5pi supra 6.

Modulul este egal cu 2 radical din 3 supra 3 iar argumentul redus este 5pi supra 6.

Și un ultim exercițiu.

Avem radical din 2 ori radical din 6.

Este radical din 12 adică 2 radical din 3 pe lângă cosinus de 9pi pe 4 plus 11pi supra 12 plus isinus de 9pi pe 4 plus 11pi pe 12.

Egal cu 2 radical din 3 pe lângă amplificăm cu 3 3 ori 9 27 plus 11 38pi supra 12 plus isinus de 38pi supra 12.

Observăm că 38pi supra 12 este mai mare decât 2pi și atunci vom scrie astfel 38pi supra 12 se poate scrie 24pi pe 12 plus 14pi pe 12 și egal cu 2pi plus aici simplific cu 2 7pi supra 6.

Am obținut astfel egal cu 2 radical din 3 pe lângă cosinus de 2pi plus 7pi supra 6 plus isinus de 2pi plus 7pi supra 6.

Egal în continuare cu 2 radical din 3 pe lângă cosinus de 7pi supra 6.

Folosim din nou periodicitatea funcțiilor plus isinus de 7pi supra 6.

Modulul este 2 radical din 3.

Argumentul este 7pi supra 6.