Operații cu numere complexe (forma algebrică)

389 vizualizări · 11 voturi

Concepte: Numere complexe

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Operații cu numere complexe

$z = a + b i, z ` = c + d i, a, b, c, d \in ℝ .$

Adunarea:

$z + z ` = (a + c) + (b + d) i$

Scăderea:

$z - z ` = (a - c) + (b - d) i$

Înmulțirea:

$z \cdot z ` = (a + b i) \cdot (c + d i) = a c - b d + (a d + b c) i$

Puterile numărului i

$i^{4 k} = 1 i^{4 k + 1} = i i^{4 k + 2} = - 1 i^{4 k + 3} = - i .$

Conjugatul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci conjugatul lui z este numărul:

$\bar{z} = a - b i .$

Proprietăți ale numerelor complexe conjugate:

$a) z + \bar{z} \in ℝ b) z \cdot \bar{z} \in ℝ . c) \bar{z + z `} = \bar{z} + \bar{z `} d) \bar{z \cdot z `} = \bar{z} \cdot \bar{z `} e) \bar{(\frac{z}{z `})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z `}} f) \bar{z^{n}} = {(\bar{z})}^{n} g) \bar{\bar{z}} = z .$

Observație. Pentru a demonstra că un număr complex z este real, arătăm că numărul z este egal cu conjugatul său.

$z \in ℝ \Leftrightarrow z = \bar{z} .$

Raportul a două numere complexe

Pentru a calcula raportul a două numere complexe, se amplifică fracția cu conjugatul numitorului.

Modulul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci modulul lui z este numărul real pozitiv:

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Proprietăți ale modulului:

$a) |z| \geq 0, \forall z \in ℂ b) |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0 c) |z| = |\bar{z}| d) {|z|}^{2} = z \cdot \bar{z} e) |z \cdot z `| = |z| \cdot |z `| f) |\frac{z}{z `}| = \frac{|z|}{|z `|}, z ` \neq 0 g) |z^{n}| = {|z|}^{n} h) |z + z `| \leq |z| + |z `| .$

Deschide pagina de teorie: Operații cu numere complexe (forma algebrică) →

În această secvență vom rezolva câteva operații cu numere complexe.

Un număr complex Z are formă algebrică a plus bi.

a este partea reală, iar b se numește partea imaginară.

Conjugatul său are formă algebrică a minus bi, deci se schimbă semnul doar la partea imaginară.

Modulul unui număr complex este radical din partea reală la pătrat plus partea imaginară la pătrat

și trebuie să rețineți că i pătrat este egal cu minus 1.

În continuare să rezolvăm acest exercițiu, se dau numerele complexe Z1 egal cu 4 plus 3i și Z2 egal cu 1 minus i.

La punctul a trebuie să calculăm conjugatul conjugatului numărului complex Z1.

O să mai scriu încă o dată numărul Z1 este 4 plus 3i.

Mai întâi vom scrie Z1 conjugat și egal cu 4 minus 3i.

Acum conjugatul conjugatului numărului complex Z1 va fi egal cu 4 plus 3i.

Am schimbat din nou semnul părții imaginare.

Observăm astfel că numărul complex Z1 conjugat de două ori are aceeași forma algebrică cu numărul Z1.

Aceasta este o proprietate importantă a numerelor complexe, așadar este bine să rețineți că numărul Z conjugat de două ori este egal cu Z.

La punctul b trebuie să calculăm Z1 plus Z2.

Z1 plus Z2 este egal cu 4 plus 3i plus 1 minus i.

Vom aduna mai întâi părțile reale, avem 4 plus 1 egal cu 5, iar 3i minus i este egal cu 2i.

La punctul c trebuie să calculăm modul din Z1 minus Z2.

Mai întâi vom calcula diferența Z1 minus Z2.

Și avem 4 plus 3i minus 1 minus i egal cu 4 plus 3i minus 1 plus i.

Egal, 4 minus 1 este 3, iar 3i plus i este 4i.

Și acum vom calcula modul din Z1 minus Z2.

Egal cu modul din 3 plus 4i.

Egal cu radical din 3 la a doua plus 4 la a doua.

Egal, 3 la a doua este 9, 4 la a doua este 16, 9 plus 16 este 25.

Iar radical din 25 este egal cu 5.

Vom continua cu punctul d.

Trebuie să calculăm Z1 plus Z2 conjugat.

Mai întâi voi calcula Z2 conjugat.

Dacă Z2 este 1 minus i, atunci Z2 conjugat va fi 1 plus i.

Și acum calculăm Z1 plus Z2 conjugat.

Vom avea 4 plus 3i plus 1 plus i.

4 plus 1 este 5, 3i plus i este 4i.

La punctul e trebuie să calculăm modul din Z1 ori Z2.

Mai întâi vom calcula produsul Z1 ori Z2.

Și avem 4 plus 3i înmulțit cu 1 minus i.

Înmulțirea se face obișnuit ca și la numere reale.

Înmulțim 4 cu fiecare număr din a doua paranteză.

Apoi înmulțim numărul 3i cu fiecare număr din a doua paranteză.

4 ori 1 este 4, 4 ori minus i este minus 4i.

3i ori 1 este 3i, 3i ori minus i este minus 3i pătrat.

Egal cu 4 minus 4i plus 3i.

I la a doua este minus 1, iar minus 3 ori minus 1 este plus 3.

4 cu 3 este 7, iar minus 4i plus 3i este minus i.

În continuare vom calcula modul din Z1 ori Z2.

Și avem modul din 7 minus i.

Egal cu radical din 7 la a doua plus minus 1 la a doua.

Egal cu radical.

7 la a doua este 49 plus 1, 50.

50 este 25 ori 2 și obținem în final 5 radical din 2.

Continuăm cu punctul F.

Trebuie să calculăm suma Z1 la pătrat plus Z2 la pătrat.

Mai întâi calculez Z1 la pătrat.

Vom avea 4 plus 3i totul la a doua.

Egal.

Aici aplicăm formula de calcul prescurtat.

A plus B totul la a doua.

Este egal cu A la a doua plus 2AB plus B la a doua.

Și vom avea 4 la a doua plus 2 ori 4 ori 3i plus 3i la a doua.

Egal cu 16 plus 24i.

3i la a doua este 9i pătrat, dar i pătrat este minus 1.

Așadar voi scrie minus 9.

Egal.

16 minus 9 este 7 plus 24i.

Acum să calculăm Z2 la pătrat.

Avem 1 minus i totul la a doua.

Aici aplicăm formula A minus B la a doua.

Este egal cu A la a doua minus 2AB plus B la a doua.

Și avem 1 la a doua, adică 1 minus 2i plus i la pătrat.

Egal cu 1 minus 2i.

I la a doua, cum spuneam, este minus 1.

Și obținem în final minus 2i.

Z1 la pătrat plus Z2 la pătrat va fi egal cu 7 plus 24i minus 2i.

Egal cu 7 plus 22i.

Și ultimul punct.

Trebuie să calculăm raportul Z1 supra Z2.

Egal cu 4 plus 3i supra 1 minus i.

Pentru a scrie acest număr su forma algebrică va trebui să amplificăm cu conjugata numitorului.

Conjugata va fi 1 plus i.

Și vom avea 4 plus 3i pe lângă 1 plus i supra 1 minus i pe lângă 1 plus i.

Egal 4 ori 1 este 4 plus 4i plus 3i plus 3i pătrat.

Supra a minus b pe lângă a plus b este a la a doua minus b la a doua.

Deci vom avea 1 la a doua minus i la a doua.

Egal.

Cu 4 plus 4i și cu 3i este 7i.

3i la a doua va fi egal cu minus 3 supra 1 minus i la a doua este minus 1.

Deci avem minus minus 1 adică plus 1. Egal.

4 minus 3 este 1 plus 7i supra 2.

Scriem acest număr su forma algebrică și vom avea 1 pe 2 plus 7 pe 2i.

Un alt exercițiu.

Determinați x și y știind că 1 plus 3i înmulțit cu x plus 1 minus 2i înmulțit cu y este egal cu 4 minus i.

Înainte de a rezolva acest exercițiu trebuie mai întâi să discutăm puțin despre egalitatea a două numere complexe.

Dacă avem numărul complex z1 de forma a1 plus b1i iar z2 de forma a2 plus b2i

atunci aceste două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă a1 este egal cu a2 și b1 este egal cu b2.

Cu alte cuvinte, două numere complexe scrise sub forma algebrică sunt egale dacă atât părțile reale cât și părțile imaginare coincid.

Avem aici o egalitate de două numere complexe.

Al doilea număr complex, 4 minus i, este scris sub forma algebrică, însă primul număr complex nu este sub forma algebrică.

Va trebui mai întâi să desfacem parantezele, să separăm partea reală de cea imaginară

iar apoi vom pune condiția ca partea reală a primului număr complex să fie egală cu 4

iar partea imaginară să fie egală cu minus 1.

Așadar mai întâi desfacem parantezele și vom avea x plus 3xi plus y minus 2yi egal cu 4 minus i.

x plus y, aceasta va fi partea reală, plus, din acești doi termeni o să-l dăm factor comun pe i

și vom avea 3x minus 2y înmulțit cu i egal cu 4 minus i.

Și acum vom pune condiția ca x plus y să fie egal cu 4

iar partea imaginară, adică 3x minus 2y să fie egal cu minus 1.

Așadar vom obține un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Prima ecuație a sistemului va fi x plus y egal cu 4

a doua ecuație va fi 3x minus 2y egal cu minus 1.

Voi rezolva acest sistem prin metoda reducerii.

Înmulțim prima ecuație cu 2.

Vom obține 2x plus 2y egal cu 8

și 3x minus 2y egal cu minus 1.

Adunăm cele două ecuații și avem 5x egal cu 7.

Obținem astfel x egal cu 7 supra 5.

Înlocuim valoarea lui x într-una din ecuații, de exemplu în prima.

Haideți să mai scrim odată x plus y egal cu 4.

x este 7 supra 5, deci avem 7 pe 5 plus y egal cu 4.

Rezultă y egal cu 4 minus 7 supra 5.

y va fi egal 20 minus 7, 13 supra 5.

Așadar obținem x egal cu 7 pe 5, y egal cu 13 supra 5.

Deschide transcriptul lecției: Operații cu numere complexe (forma algebrică) →

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.