Împărțirea numerelor complexe

În acest videoclip ne propunem să calculăm câtul a două numere complexe sub formă trigonometrică,

punând în evidență modulul și un argument al câtului.

Avem numerele complexe Z1 de forma R1 ori cosinus de T1 plus isinus de T1 și Z2 egal cu R2 ori cosinus de T2 plus isinus de T2.

Pentru a calcula raportul Z1 supra Z2, mai întâi vom exprima raportul modulelor lor și avem R1 supra R2.

Apoi, în continuare, vom amplifica această fracție cu conjugata numitorului.

Conjugata va fi cosinus de T2 minus isinus de T2, iar la numitor vom obține cos pătrat de T2 plus sin pătrat de T2.

În continuare, desfacem parantezele și avem cosinus de T1 ori cosinus de T2 minus i cosinus de T1 sinus de T2 plus isinus de T1 cosinus de T2.

Urmează minus i pătrat sinus de T1 sinus de T2, dar ținem cont de faptul că i pătrat este minus 1.

În consecință, vom avea plus sinus de T1 sinus de T2.

La numitor, cos pătrat de T2 plus sinus pătrat de T2 este egal cu 1.

În continuare, vom separa partea reală de cea imaginară.

Cosinus de T1 cosinus de T2 plus sinus de T1 sinus de T2 se poate restrânge sub forma cosinus de T1 minus T2.

Apoi, din ceilalți doi termeni, îl dăm factor comun pe i și vom avea sinus de T1 cosinus de T2 minus cosinus de T1 sinus de T2.

Această relație se poate restrânge sub forma sinus de T1 minus T2.

În consecință, vom obține următoarea formulă de calcul pentru câtul a două numere complexe.

Z1 supra Z2 va fi egal cu R1 supra R2 ori cosinus de T1 minus T2 plus i sinus de T1 minus T2.

Din această relație deducem că modul din Z1 supra Z2 este egal cu R1 supra R2,

însă R1 reprezintă modulul numărului complex Z1, iar R2 reprezintă modulul numărului complex Z2.

Așadar, modulul câtului a două numere complexe este egal cu câtul modulelor acestora.

Un argument al câtului va fi diferența dintre argumentul primului număr complex și argumentul celui de-al doilea număr complex.

Mulțimea tuturor argumentelor numărului Z1 supra Z2 va fi formată din argumentului Z1 minus argumentului Z2 plus 2KP, unde K este număr întreg.

Să vedem un exemplu.

Avem numărul complex Z1 egal cu 7 pe lângă cosinus de 50 de grade plus i sinus de 50 de grade și Z2 egal cu radical din 7 pe lângă cosinus de 75 plus i sinus de 75 de grade.

Vom calcula Z1 supra Z2 și vom avea 7 supra radical din 7, am calculat raportul modulelor, ori cosinus de 50 de grade minus 75 de grade, deci facem diferența dintre cele două argumente, plus i sinus de 50 de grade minus 75 de grade.

Vom obține radical din 7 pe lângă cosinus de minus 25 de grade plus i sinus de minus 25 de grade.

Noi trebuie să avem în vedere faptul că argumentul redus al unui număr complex trebuie să aparține intervalului 0,2P.

Observăm că minus 25 de grade nu face parte din acest interval.

În consecință vom aduce acest argument în intervalul 0,2P folosind periodicitatea funcțiilor sinus și cosinus.

Mai exact vom folosi relația cosinus de x este egal cu cosinus de x plus 2KP, unde K este număr întreg.

Așadar la minus 25 de grade vom aduna 2P astfel încât unghiul obținut să aparține intervalului 0,2P.

Așadar avem radical din 7 pe lângă cosinus de minus 25 de grade plus 360, deci am adunat 2P, plus i sinus de minus 25 plus 360.

În final vom obține radical din 7 ori cosinus de 335 de grade plus i sinus de 335 de grade.

În acest caz modulul câtului este radical din 7, iar argumentul redus este unghiul cu măsura de 335 de grade.

Haideți să facem un exercițiu.

Vom calcula minus 1 plus i radical din 3 la puterea 3-a supra 1 plus i la puterea 6-a.

Pentru început voi nota cu Z1 numărul complex minus 1 plus i radical din 3 și cu Z2 numărul complex 1 plus i.

Vom scrie aceste numere complexe sub formă trigonometrică.

Modulul numărului Z1 este radical din minus 1 la pătrat plus radical din 3 la pătrat.

Obținem radical din 4 egal cu 2.

Pentru a calcula argumentul redus al numărului Z1 vom reprezenta grafic imaginea sa geometrică.

Obținem punctul M având coordonatele minus 1 și radical din 3.

Observăm că imaginea geometrică a numărului Z1 este un punct situat în cadranul 2.

Argumentul numărului Z1 este unghiul T, cel evidențiat cu albastru.

Să scriem argumentul lui Z1 este egal cu T, dar T va fi egal cu pi minus alfa.

Calculăm tangenta unghiului alfa.

Avem cateta opusă supra cateta alăturată, deci radical din 3 pe 1.

Și obținem că unghiul alfa este egal cu arc tangentă de radical din 3, egal cu pi supra 3.

Așadar unghiul T va fi egal cu pi minus pi supra 3, egal cu 2 pi supra 3.

Așadar putem să exprimăm numărul complex Z1 sub formă trigonometrică.

Și vom avea 2 pe lângă cosinus de 2 pi supra 3 plus isinus de 2 pi supra 3.

În continuare exprimăm numărul Z2 sub formă trigonometrică.

Modulul numărului complex Z2 este radical din 1 la pătrat plus 1 la pătrat și egal cu radical din 2.

Voi reprezenta grafic imaginea geometrică a numărului Z2.

Iată, obținem punctul M având coordonatele 1-1. Acesta este un punct situat în cadranul întâi.

Argumentul numărului complex Z2 este unghiul T.

Observăm că acest unghi are măsura egală cu 45 de grade, deoarece avem aici un triunc dreptunghichisoscel.

Sau mai putem calcula arc tangent de 1 și obținem pi supra 4.

În consecință, forma trigonometrică a numărului complex Z2 va fi radical din 2 pe lângă cosinus de pi supra 4

plus isinus de pi supra 4.

Am exprimat cele două numere sub formă trigonometrică și acum trebuie să calculăm Z1 la a treia supra Z2 la a șasea.

Calculăm Z1 la a treia supra Z2 la a șasea.

Și obținem linie de fracție 2 la a treia pe lângă cosinus de 3 ori 2 pi supra 3 plus isinus de 3 ori 2 pi supra 3.

Pentru a ridica acest număr la a treia am folosit formula lui Mavram.

Procedăm la fel și cu al doilea număr complex.

Avem radical din 2 la a șasea pe lângă cosinus de 6 ori pi supra 4 plus isinus de 6 ori pi supra 4.

Egal cu 2 la a treia pe lângă, aici se simplifică cu 3.

Ne rămâne cosinus de 2 pi plus isinus de 2 pi supra.

Radical din 2 la a șasea este egal cu 2 la a treia pe lângă.

Aici simplificăm cu 2 și obținem cosinus de 3 pi supra 2 plus isinus de 3 pi supra 2.

Egal, simplificăm cu 2 la a treia și acum calculăm raportul celor două numere complexe sub formă trigonometrică.

Așadar va trebui să scădem argumentele acestora și obținem cosinus de 2 pi minus 3 pi supra 2 plus isinus de 2 pi minus 3 pi supra 2.

Egal, cosinus, aici simplificăm cu 2, 4 pi minus 3 pi este pi supra 2 plus isinus de pi supra 2.

Să ne reamintim puțin cercul trigonometric.

Cosinus este pe axa OX iar sinus este pe axa OY. Așadar cosinus de pi supra 2 va fi egal cu 0 iar sinus de pi supra 2 este egal cu 1.

În final obținem I.