Reprezentarea geometrică a numerelor complexe (aplicații)

În acest videoclip vom rezolva următorul exercițiu.

Reprezentați în planul complex mulțimea punctelor de afix Z pentru care au loc relațiile.

La punctul A, modul din Z este egal cu 4.

La punctul B, modul din Z este mai mic decât 6.

Modul din Z mai mare sau egal decât 2.

Modul din Z este mai mare sau egal decât 2 și mai mic sau egal decât 5.

Modul din Z minus 1 plus 2i este egal cu 3.

Și la punctul F, 1 este mai mic decât modul din Z minus 2 plus i și mai mic decât 4.

Vom rezolva pe rând fiecare situație în parte și începem cu punctul A.

Trebuie să găsim mulțimea punctelor de afix Z pentru care modul din Z este egal cu 4.

Vă reamintesc că modulul unui număr complex este distanța de la origine până la imaginea sa geometrică.

Astfel, dacă Z este un număr complex de forma A plus BI și notesc cu M imaginea sa geometrică,

atunci modul din Z este egal cu lungimea segmentului OM.

Așadar, va trebui să găsim toate punctele M din plan pentru care lungimea segmentului OM este egală cu 4.

Iată câteva dintre acestea.

Însă ele nu sunt singurele deoarece toate punctele situate pe cercul de centrul O și rază 4

respectă această condiție ca OM să fie egal cu 4.

Dacă vă mai amintiți, cercul era mulțimea tuturor punctelor din plan egal depărtate de un punct fix.

Așadar, punctul M va descrie un cerc. Iată-l!

Punctele de afix Z pentru care modul din Z este egal cu 4 sunt punctele situate pe cercul de centrul O și rază egală cu 4.

Trecem mai departe la punctul B.

Trebuie să găsim punctele de afix Z pentru care modul din Z este mai mic strict decât 6.

Dacă am fi avut egalitate, adică modul din Z egal cu 6, am fi construit un cerc de centrul O și rază egală cu 6.

Însă din moment ce modul din Z este strict mai mic decât 6,

vom construi cercul de centrul O și rază 6, dar vom lua în considerare doar punctele situate în interiorul acestui cerc.

Așadar, punctele de afix Z pentru care modul din Z este strict mai mic decât 6

sunt punctele situate în interiorul cercului de centrul O și rază 6.

Continuăm cu punctul C.

Avem modul din Z mai mare sau egal decât 2.

Punctele pentru care modul din Z este egal cu 2

sunt punctele situate pe cercul de centrul O și rază egală cu 2.

Însă noi avem aici modul din Z mai mare sau egal decât 2.

Așadar, putem lua în considerare și punctele situate în exteriorul acestui cerc.

Mulțimea punctelor de afix Z pentru care modul din Z este mai mare sau egal decât 2

este mulțimea punctelor de pe cercul de centrul O și rază 2

reunite cu punctele situate în exteriorul acestui cerc.

Continuăm mai departe cu punctul D.

Avem modul din Z mai mare sau egal decât 2 și mai mic sau egal decât 5.

Prima inegalitate se reduce la cazul precedent.

Am văzut că atunci când modul din Z este mai mare sau egal decât 2

avem punctele situate pe cercul de centrul O și rază 2

reunite cu punctele situate în exteriorul acestui cerc.

Însă trebuie să avem grijă ca modul din Z să fie în același timp mai mic sau egal decât 5.

Așadar va trebui să mai construim un al doilea cerc cu centrul în origine și rază egală cu 5

și astfel se va forma o coroană circulară. Iată!

Cercul din interior albastru este cercul de centrul O și rază 2.

Aici avem punctele de afix Z pentru care modul din Z este egal cu 2.

Apoi punctele situate în exteriorul acestui cerc

sunt punctele de afix Z pentru care modul din Z este mai mare decât 2.

Și am construit al doilea cerc de centrul O și rază egală cu 5

pentru a respecta cea de-a doua inegalitate, adică modul din Z mai mic sau egal decât 5.

În consecință, punctele de afix Z pentru care modul din Z este mai mare sau egal decât 2 și mai mic sau egal decât 5

sunt punctele din coroana circulară determinată de cercurile concentrice de centrul O

și rază 2, respectiv 5, la care se adaugă punctele acestor cercuri.

Mergem mai departe la punctul E.

Avem modul din Z minus 1 plus 2i este egal cu 3.

Am notat cu U numărul complex 1 plus 2i, iar M este imaginea sa geometrică.

Așadar, M este un punct fix în plan, având coordonatele 1, respectiv 2.

Folosind notația de mai sus, modulul se poate scrie astfel

Modul din Z minus U este egal cu 3.

Dar modulul diferenței a două numere complexe reprezintă distanța dintre imaginele lor geometrice.

Dacă notesc cu A imaginea geometrică a numărului complex Z, iar M este imaginea geometrică a numărului complex U,

atunci modul din Z minus U este egal cu lungimea segmentului AM.

M este un punct fixat în planul complex, iar A este un punct variabil.

Noi trebuie să găsim toate punctele A pentru care distanța AM este egală cu 3.

Din moment ce punctul fix este punctul M, înseamnă că va trebui să construim un cerc cu centrul în acest punct,

iar raza acestui cerc va fi egală cu 3.

Iată!

Așadar, punctele de a fix Z pentru care are loc această relație sunt punctele situate pe cercul de centrul M și rază egală cu 3.

În continuare, trecem la punctul F.

Avem modul din Z minus 2 plus I, iar acest modul se mai poate scrie astfel, modul din Z minus 2 minus I.

Am ales să scriem sub forma aceasta pentru a obține în modul o diferență dintre două numere complexe.

Am notat cu U numărul complex 2 minus I și atunci această inegalitate se va scrie astfel,

1 este mai mic decât modul din Z minus U și mai mic decât 4.

U este numărul complex 2 minus I și am notat cu M imaginea sa geometrică.

M este un punct din plan având coordonatele 2 respectiv minus 1.

Dacă notesc cu A imaginea geometrică a numărului complex Z, iar M este imaginea geometrică a numărului complex U,

atunci AM va fi egal cu modul din Z minus U.

Și atunci din această relație vom obține că 1 este mai mic decât AM și mai mic decât 4.

M este un punct fixat în plan, iar A este un punct variabil.

Noi trebuie să găsim toate punctele aflate la o distanță față de M mai mare decât 1 și mai mică decât 4.

Dacă M este punctul fixat, înseamnă că trebuie să construim un cerc cu centrul în M,

iar punctele situate față de M la o distanță mai mare decât 1 vor fi punctele situate în exteriorul cercului de centrul M și rază 1,

iar punctele situate la o distanță mai mică decât 4 vor fi punctele situate în interiorul unui cerc cu centrul în M și rază egală cu 4.

Cu alte cuvinte trebuie să construim două cercuri, așadar vom obține o coroană circulară.

Cercul mai mic albastru este cercul cu centrul în M și rază egală cu 1.

Cercul galben din exterior este cercul cu centrul în M și rază egală cu 4.

Punctele de afix Z, pentru care lungimea segmentului AM este cuprinsă între 1 și 4, sunt punctele situate în coroana circulară determinată de cele două cercuri.