Definiție.  Fie o mulțime finită cu n elemente, n număr natural nenul,

$A=\left\{a_1, a_2, ..., a_n \right\}$.

Se numește permutare a mulțimii A, oricare mulțime ordonată formată cu elementele acesteia.

Definiție. Se numește permutare de grad n a mulțimii A={1,2,..., n}, orice funcție bijectivă

$\sigma :A\to A$

Mulțimea permutărilor de grad n se notează cu Sn, iar numărul de elemente al acesteia este |Sn|=n!.

Permutările de grad n se notează de obicei cu litere grecești și se reprezintă sub forma

                         $\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& ...& k& ...& n\\ \sigma \left(1\right)& \sigma \left(2\right)& ...& \sigma \left(k\right)& ...& \sigma \left(n\right)\end{array}\right)$

Exemple:

Dacă n=1, A={1}, |S1|=1!=1, iar

$S_1=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\right\}$

Dacă n=2, A={1,2}, |S2|=2!=2, iar

$S_2=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\right\}$

Dacă n=3, A= {1,2,3}, |S3|= 3!=6, iar

$S_3=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\right\}$

Definiție.Se numește permutare identică de grad n, permutarea

$e=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& ...& k& ...& n\\ 1& 2& ...& k& ...& n\end{array}\right)$

Definiție. Se numește transpoziție permutarea care lasă neschimbate toate elementele cu excepția elementelor i, j pe care le schimbă între ele, notată cu

 ${\delta }_{ij}=\left(\begin{array}{cccccccccccccc}1& 2& ...& i-1& i& i+1& ...& k& ...& j-1& j& j+1& ...& n\\ 1& 2& ...& i-1& j& i+1& ...& k& ...& j-1& i& j+1& ...& n\end{array}\right)$

Exemple. Dacă n=4, 

${\delta }_{23}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 2& 4\end{array}\right)=\left(23\right)$     ${\delta }_{12}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 3& 4\end{array}\right)$

Definiție. Compunerea sau produsul a două permutări de grad n este tot o permutare de grad n definită astfel

$\left(\sigma \circ \delta \right)\left(k\right)= \sigma \left(\delta \right(k\left)\right), \forall k\in A, \sigma ,\delta \in S_n, A=\left\{1,2,...,n\right\}$

sau altfel scris

$\sigma \delta =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ \sigma \left(\delta \right(1\left)\right)& \sigma \left(\delta \right(2\left)\right)& ...& \sigma \left(\delta \right(n\left)\right)\end{array}\right)$

Proprietăți ale compunerii permutărilor de grad n

1. Proprietatea de asociativitate

$\left(\sigma \delta \right)\theta =\sigma \left(\delta \theta \right), \forall \sigma ,\delta ,\theta \in S_n$

2. Proprietatea elementului neutru

$\sigma e=e\sigma =\sigma ,\forall \sigma \in S_n$

3. Proprietatea elementului invers

$\forall \sigma \in S_n, \exists {\sigma }^{-1}\in S_n astfel încât \sigma {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\sigma =e$

Puterea unei permutări de grad n

${\sigma }^0=e, {\sigma }^1=\sigma , {\sigma }^2=\sigma \sigma , {\sigma }^3=\sigma \sigma \sigma , ..., {\sigma }^n= \underset{}{\underset{n}{\underbrace{\sigma \sigma ...\sigma }}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \sigma \in S_n}$

Proprietăți ale puterilor permutărilor de grad n

${\sigma }^m{\sigma }^n={\sigma }^{m+n}, \forall m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \forall \sigma \in S_n$

${\left({\sigma }^m\right)}^n={\sigma }^{mn},\forall m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \forall \sigma \in S_n$

Definiție. Compunerea sau produsul a două permutări de grad n este tot o permutare de grad n definită astfel

$\left(\sigma \circ \delta \right)\left(k\right)= \sigma \left(\delta \right(k\left)\right), \forall k\in A, \sigma ,\delta \in S_n, A=\left\{1,2,...,n\right\}$

sau altfel scris

$\sigma \delta =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ \sigma \left(\delta \right(1\left)\right)& \sigma \left(\delta \right(2\left)\right)& ...& \sigma \left(\delta \right(n\left)\right)\end{array}\right)$

Proprietăți ale compunerii permutărilor de grad n

1. Proprietatea de asociativitate

$\left(\sigma \delta \right)\theta =\sigma \left(\delta \theta \right), \forall \sigma ,\delta ,\theta \in S_n$

2. Proprietatea elementului neutru

$\sigma e=e\sigma =\sigma ,\forall \sigma \in S_n$

3. Proprietatea elementului invers

$\forall \sigma \in S_n, \exists {\sigma }^{-1}\in S_n astfel încât \sigma {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\sigma =e$

Puterea unei permutări de grad n

${\sigma }^0=e, {\sigma }^1=\sigma , {\sigma }^2=\sigma \sigma , {\sigma }^3=\sigma \sigma \sigma , ..., {\sigma }^n= \underset{}{\underset{n}{\underbrace{\sigma \sigma ...\sigma }}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \sigma \in S_n}$

Proprietăți ale puterilor permutărilor de grad n

${\sigma }^m{\sigma }^n={\sigma }^{m+n}, \forall m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \forall \sigma \in S_n$

${\left({\sigma }^m\right)}^n={\sigma }^{mn},\forall m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \forall \sigma \in S_n$

$1. {\delta }_{ij}={\delta }_{ji}$

$2. {\delta }_{ij}\circ {\delta }_{ij}=e$

$3. \delta { }_{ij}^{-1}={\delta }_{ij}$

4. Orice permutare de grad n se poate scrie ca un produs de transpoziții de grad n, scrierea nefiind unică.

Definiție. Perechea (i,j) se numește  inversiune a permutării

$\sigma \in S_n, i,j\in \left\{1,2,...,n\right\}, i<j dacă \sigma \left(i\right)>\sigma \left(j\right)$

Numărul inversiunilor permutării $\sigma$  se notează $m\left(\sigma \right)$

$0\le m\left(\sigma \right)\le C_n^2, \forall \sigma \in S_n$

Definiție. Se numește semnul permutării   

$\sigma , \epsilon \left(\sigma \right)=(-1{)}^{m\left(\sigma \right)}, \sigma \in S_n$

Definiție. O permutare se numește pară dacă are semnul  +1.

Definiție. O permutare se numește impară dacă are semnul  -1.

Permutarea identică este o permutare pară, iar transpoziția este o permutare impară.

 Fie  n un număr natural nenul,

$\forall \sigma \in S_n, \epsilon \left(\sigma \right)= \prod _{1\le i<j\le n}^{}\frac{\sigma \left(j\right)-\sigma \left(i\right)}{j-i}.$

$\forall \sigma ,\delta \in S_n, \epsilon \left(\sigma \delta \right)=\epsilon \left(\sigma \right)\epsilon \left(\delta \right).$

$\forall \sigma \in S_n, \epsilon \left(\sigma \right)=\epsilon \left({\sigma }^{-1}\right).$

Numărul permutărilor pare este egal cu numărul permutărilor impare.

$\left|A_n\right|=|S_n-A_n|=\frac{n!}{2}$