Proprietăți ale transpozițiilor

În acest videoclip vom evidenția câteva proprietăți ale transpozițiilor.

Știm deja că o transpoziție este un caz particular de permutare și anume, dacă delta IJ este o permutare de grad N,

delta IJ are reprezentarea, lui 1 îi corespunde 1, lui 2 îi corespunde 2, lui I-1 îi corespunde I-1,

lui I-1 îi corespunde I-1, lui K-1 îi corespunde K, lui J-1 îi corespunde J-1, lui J-1 îi corespunde I,

lui J-1 îi corespunde J-1, iar lui N-1 îi corespunde tot N.

Cu alte cuvinte, fiecărui element îi corespunde el însuși, cu excepția elementelor I și J, astfel încât lui I-1 îi corespunde J, iar lui J-1 îi corespunde I.

Din definiția transpoziției obținem o primă proprietate și anume că delta IJ este egal cu delta JI, să încadrăm această proprietate și să o notăm cu P1.

Ce se întâmplă când compunem o transpoziție cu ea însuși?

Să calculăm imaginele delta IJ compus cu delta IJ de I.

Conform definiției compunerii a două funcții, va fi egal cu delta IJ de delta IJ de I, adică delta IJ de I este J, adică delta IJ de J, iar delta IJ de J este I, adică I.

Delta IJ compus cu delta IJ de J, o să fie delta IJ de delta IJ de J, adică delta IJ de J, delta IJ de J, lui J-ul îi corespunde I, deci delta IJ de I, dar delta IJ de I este J.

Delta IJ compus cu delta IJ aplicat unui K este delta IJ de delta IJ de K, lui K-ul îi corespunde K, deci este delta IJ de K, adică exact K.

Oricare ar fi K diferit de I și K diferit de J, obținem următoarea proprietate, și anume că delta IJ compus cu delta IJ este permutarea identică, sau, scris altfel, delta IJ la pătrat este permutarea identică.

Reținem o a doua proprietate și o notăm cu P2.

Pornind de la egalitatea delta IJ la pătrat egal cu E, o transpoziție este o permutare, adică este o funcție obiectivă și, în consecință, există transpoziția inversă.

Înmulțind la stânga în această egalitate cu inversa transpoziției delta IJ, am obține următoarea egalitate.

Delta IJ, inversa transpoziției delta IJ, înmulțit cu delta IJ la pătrat, este egal cu inversa transpoziției delta IJ, ori permutarea identică.

Adică, acest produs este egal cu transpoziția delta IJ, iar, în dreapta egalității, avem inversa transpoziției delta IJ.

Obținem, astfel, următoarea proprietate și anume că inversa transpoziției delta IJ este egal cu transpoziția însăși.

Această proprietate o notăm cu P3.

Câte transpoziții de gradient există?

Deoarece delta IJ este egal cu delta IJ, numărul transpozițiilor de gradient este egal cu numărul submulțimilor neordonate,

ce se pot forma cu elementele mulțimii 1, 2, respectiv N, și anume combinări de N luate câte 2, care, conform formulei combinărilor, este egal cu N înmulțit cu N-1 supra 2.

Să vedem ce legături există între permutările de gradient și transpozițiile de gradient.

Să considerăm următoarea permutare de grad 4.

Sigma este egal cu 1, 2, 3, 4, cu imaginele 4, 1, 2, 3.

Această egalitate o vom înmulți la stânga cu transpoziția 1, 4.

Obținem astfel egalitatea transpoziția 1, 4 înmulțită cu permutarea sigma este egal cu 1, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 1 înmulțit cu 1, 2, 3, 4, 4, 1, 2, 3.

Adică, delta 1, 4 înmulțit cu permutarea sigma este egal cu 1, 2, 3, 4, lui 1 îi corespunde 4, lui 4 îi corespunde 1.

Deci, lui 1 îi corespunde 1, lui 2 îi corespunde 1, lui 1 îi corespunde 4, lui 3 îi corespunde 2, lui 2 îi corespunde 2, lui 4 îi corespunde 3, deci lui 3 îi corespunde 3.

Această egalitate o vom înmulți acum tot la stânga cu transpoziția delta 2, 4.

Obținem astfel următoarea egalitate, delta 2, 4 înmulțit cu delta 1, 4 înmulțit cu sigma este egal cu 1, 2, 3, 4, 1, 4, 3, 2 înmulțit cu 1, 2, 3, 4, 1, 4, 2, 3.

Avem astfel egalitatea, delta 2, 4 înmulțit cu delta 1, 4 înmulțit cu sigma este egal cu 1, 2, 3, 4, lui 1 îi corespunde 1, lui 1 îi corespunde 1, lui 2 îi corespunde 4, lui 4 îi corespunde 2, lui 3 îi corespunde 2, lui 2 îi corespunde 4, lui 4 îi corespunde 3, lui 3 îi corespunde 3.

Ceea ce nu este altceva decât transpoziția 3, 4.

Rescriem acum această egalitate astfel, delta 2, 4 înmulțit cu delta 1, 4 înmulțit cu sigma este egal cu transpoziția 3, 4.

Înmulțim acum tot la stânga această egalitate cu transpoziția 2, 4.

Obținem așadar delta 2, 4 la pătrat ori delta 1, 4 ori sigma egal cu delta 2, 4 ori delta 3, 4.

Dar delta 2, 4 la pătrat este permutarea identică.

Avem astfel, permutarea identică înmulțit cu delta 1, 4 este delta 1, 4 ori sigma egal cu delta 2, 4 ori delta 3, 4.

Înmulțim la stânga din nou cu delta 1, 4 și vom obține delta 1, 4 la pătrat înmulțit cu sigma este egal cu delta 1, 4 ori delta 2, 4 și ori delta 3, 4.

Dar delta 1, 4 este permutarea identică și în concluzie avem că sigma este egal cu delta 1, 4 ori delta 2, 4 ori delta 3, 4.

Adică sigma este produsul dintre transpoziția 1, 4, transpoziția 2, 4 respectiv transpoziția 3, 4.

Putem întâlni această descompunere scrisă sub această formă transpoziția 1, 4 înmulțită cu transpoziția 2, 4 și înmulțită cu transpoziția 3, 4.

Am obținut astfel o scriere a permutării sigma ca un produs de transpoziții.

Obținem astfel cea de-a patra proprietate și anume că orice permutare de gradient se poate scrie ca un produs de transpoziții de gradient, scrierea nefiind unică.