Operații cu permutări- aplicații

Definiție. Compunerea sau produsul a două permutări de grad n este tot o permutare de grad n definită astfel

$\left(\sigma \circ \delta \right)\left(k\right)= \sigma \left(\delta \right(k\left)\right), \forall k\in A, \sigma ,\delta \in S_n, A=\left\{1,2,...,n\right\}$

sau altfel scris

$\sigma \delta =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ \sigma \left(\delta \right(1\left)\right)& \sigma \left(\delta \right(2\left)\right)& ...& \sigma \left(\delta \right(n\left)\right)\end{array}\right)$

Proprietăți ale compunerii permutărilor de grad n

1. Proprietatea de asociativitate

$\left(\sigma \delta \right)\theta =\sigma \left(\delta \theta \right), \forall \sigma ,\delta ,\theta \in S_n$

2. Proprietatea elementului neutru

$\sigma e=e\sigma =\sigma ,\forall \sigma \in S_n$

3. Proprietatea elementului invers

$\forall \sigma \in S_n, \exists {\sigma }^{-1}\in S_n astfel încât \sigma {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\sigma =e$

Puterea unei permutări de grad n

${\sigma }^0=e, {\sigma }^1=\sigma , {\sigma }^2=\sigma \sigma , {\sigma }^3=\sigma \sigma \sigma , ..., {\sigma }^n= \underset{}{\underset{n}{\underbrace{\sigma \sigma ...\sigma }}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \sigma \in S_n}$

Proprietăți ale puterilor permutărilor de grad n

${\sigma }^m{\sigma }^n={\sigma }^{m+n}, \forall m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \forall \sigma \in S_n$

${\left({\sigma }^m\right)}^n={\sigma }^{mn},\forall m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}, \forall \sigma \in S_n$